山东省德州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

德州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
2023.11
第I卷（选择题共60分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）
A.0 B. C.0或 D.0或
3.已知直线过定点，直线过定点与相交于点，则（ ）
A.10 B.12 C.13 D.20
4.直线与圆的公共点个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个
5.如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点是的中点，若记，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知大小为的二面角棱上有两点，若，则的长为（ ）
A. B.40 C.22 D.
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.圆的圆心为 B.点在圆内
C.圆的半径为5 D.点在圆内
10.已知椭圆的焦距是，则的值可能是（ ）
A. B.13 C. D.19
11.已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A.直线恒过点
B.
C.直线被圆截得的最短弦长为
D.当时，圆上存在无数对点关于直线对称
12.如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ）
A.平面
B.到平面的距离为
C.过点作正方体的截面，所得截面的面积是
D.平面与平面夹角余弦值为
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是__________.
14.已知，若四点共面，则__________.
15.已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则__________.
16.若点在曲线上运动，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）当时，求实数的值.
18.（12分）已知直线和直线的交点为.
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程.
19.（12分）已知圆经过两点，且圆的圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于两点，为坐标原点，求.
20.（12分）设抛物线的焦点为是抛物线上横坐标为4的点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的面积.
21.（12分）如图，内接于为的直径，为的中点，且平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
22.（12分）如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.
德州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题答案
1.D
2.C
解析：由题意得，解得或.故选C.
3.C
解析：由直线过定点，
直线可化为，
令，解得，即直线恒过定点，
又由直线和，满足，
所以，所以，所以.
故选：C.
4.D
5.A
解析：根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简 运算，即可求解.
由在三棱锥中，点分别是的中点，点是的中点，
如图所示，连接，根据空间向量的线性运算法则，
可得：
.
故选：A.
6.A
7.B
8.B
解析：由题意得，则，
所以椭圆方程为，因为，所以在椭圆内，所以直线与
椭圆总有两个交点，
因为，所以点为线段的中点，设，则，
，所以，所以，
所以，即，
所以，所以直线为，即，
因为为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，
故选：B
9.ABC
解析：圆的圆心为，半径为5，正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，错误.
故选：
10.BD
解析：由题知，或，解得或.
故选：BD
11.ABD
解析：直线，恒过点，所以正确；
圆的圆心坐标为，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2.
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以不正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确.
故选：ABD.
12.ABD
解析：以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，
则，
则平面，故正确；向量为平面的法向量，
且，所以到平面的距离为
，故B正确；
作中点的中点的中点，连接，
则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，
则截面面积为：，故C错误；
平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
设两个平面夹角为，故D正确.
故选：ABD.
13.
解析：两直线方程联立，得，所以交点为
设与直线垂直的直线方程为，
把代入中，得，
故答案为：
14.5
解析：因为，且四点共面，
所以，则，解得，
故答案为：5
解析：椭圆得，
设，则，
，
，
，即.
故答案为：
16.
解析：曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆，
表示点与点连线的斜率，不妨设即直线，
又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则，
化简得解得，故的最大值为.
故答案为：.
17.（1）；
（2）；
（3）当时，，得，或.
18.（1）联立，解得，可知交点
设与直线平行的直线方程为
把交点代入可得，.
所求的直线方程为：.
（2）设与直线垂直的直线方程为，
到的距离为，解得或-6，
直线的方程为：或
19.（1）因为，所以，线段的中点坐标为，
则的中垂线方程为，即，
故圆的圆心在直线上.
联立方程组，解得，故圆圆心的坐标为，
圆的半径，
则圆的标准方程为.
（2）设，联立方程组，
整理得，
则.
故
20.（1）依题意，，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，，则直线的方程为，
由消去得：，
解得，
所以的面积.
21解析：（1）因为是的直径，所以，
因为，所以，
又因为为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面
（2）因为，
所以，
所以，
因为平面平面，
所以，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
显然，是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则
令，则，
所以.
设二面角所成角为，
则
，
所以二面角的正弦值为
22.（1）由题意可知：焦点在轴上，
设椭圆的标准方程为：，
由椭圆的离心率，即，
，
将代入椭圆方程：，解得：，
，
椭圆的标准方程为：；
（2）由题意可知：直线有斜率，且，设直线方程为，
，
整理得：，
，故
由韦达定理可知：，
由得：，
故直线方程为
，因此
所以
因此，为定值.