(共25张PPT)
15.1.1从分数到分式
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.了解分式的概念.
2.理解分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
新知导入
什么是单项式？
什么是多项式？
几个数或字母的积的式子是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.如：3，-a，4y，mn等
几个单项式的和是多项式.如：5m+n，x2-y2等
整式包括什么？
包括单项式和多项式.
新知讲解
1.长方形的面积为10cm ，长为7cm.宽应为____cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为______.
S
a
2. 把体积为200cm 的水倒入底面积为33cm 的圆柱形容器中，水面高度为_____cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为____.
V
S
新知讲解
3.一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大船速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速是多少？
如果设江水的流速为vkm/h，则轮船顺流航行90km所用时间为_________h，逆流航行60km所用时间为_________h，由方程_________________ 可以解出 v 的值.
新知讲解
思考
式子 ，，，, 有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
都具有分数的形式
相同点
不同点
(观察分母)
分母中有字母
归纳总结
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
分式的定义
归纳总结
①形如的式子；
②A、B都是整式；
③分母B中含有字母.
分式必须满足三个条件：
注意：
①分式是不同于整式的另一类有理式，分母中含有字母是分式的一大特点.
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.
新知讲解
我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
思考
新知讲解
提示
1. 分数有意义吗？
没有意义
分数有意义的条件是分母不为0.
2. 类似地分式有意义的条件是什么呢？
分式有意义的条件是分母B≠0.
新知讲解
当B≠0时，分式有意义
当B=0时，分式无意义
当时，分式=0
典例精析
例1.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) (2) (3) (4)
解：(1)要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
(2)要使分式有意义，则分母x-1≠0，即x≠1；
(3)要使分式有意义，则分母5-3b≠0，即b≠
(4)要使分式有意义，则分母x-y≠0，即x≠y
新知讲解
(1)分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.
(2)分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关．
【方法总结】
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.列式表示下列各量.
(1)某村有n个人，耕地40公顷，人均耕地面积为 公顷.
(2)△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD长为 .
(3)一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 千米/小时.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.若值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
D
3.当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )
A. B.C.D.
A
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.当x取何值时，分式有意义？x 取何值时，分式的值为0？
解：时，分式有意义；
x=0时，分式的值为0.
5.已知m=2时, 分式无意义; 当m=4时, 分式
的值为0, 求a与b的值.
解: 由题意得 b=m=2;
m+2a=4+2a=0, 则a=-2.
∴ a与b的值分别是-2和2.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6. 当分式值等于零时，对多项式4-m2+xmn-n2进行分解因式．
解：∵
∴
∴x=2
∴
课堂总结
分式
定义
值为零的条件
有意义的条件
一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子叫做分式 ，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
分式有意义的条件是B ≠0.
分式值为零的条件是A=0且B ≠0.
板书设计
1.分式：
一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子叫做分式 ，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
2.有意义的条件
分式有意义的条件是B ≠0
3.值为零的条件
分式值为零的条件是A=0且B ≠0.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列代数式中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
C
2.当a＝－1时，分式 的值( )
A.没有意义 B.等于零
C.等于1 D.等于－1
A
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零.
∴当x=1时分式的值为零.
∴ x≠-1.
而x+1≠0，
∴x=±1，
则x2-1=0，
3.当x为何值时，分式的值为零
作业布置
【综合拓展类作业】
4．若=2，求的值．
解：∵ =2 ，
∴x﹣y=﹣2xy，
∴原式= = = =
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《15.1.1从分数到分式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 “从分数到分式” 是人教版九年制义务教育课本中八年级第一学期第十五章的第一节内容，是中学知识体系的重要组成部分。分式的概念与整式是紧密相连的，是前面知识的延伸，同时也是对前面知识的进一步运用和巩固。学生掌握了分式的意义后，为进一步学习分式、函数、方程等知识作好铺垫；学好本章不仅能提高学生的运算能力、运算速度，还有助于培养学生的观察、类比归纳能力，并让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律；让学生在自主探索的学习过程中享受成功的喜悦，形成良好的学习氛围，提高学生学习数学的兴趣。
学习者分析 学生通过小学分数的学习，学生头脑中已形成了分数的相关知识，知道分数的分子、分母都是具体的数。因此，在学习的过程中，学生可能会用学习分数的思维定势来认知和理解分式。同时，学生在七年级上册中已学过整式，分式与整式一样也是代数式，因此，学生在学习过程中应该能较好地迁移知识。
教学目标 1.了解分式的概念. 2.理解分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件． 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件
教学重点 掌握分式的定义。
教学难点 能熟练地求出分式有意义的条件和分式的值为零的条件。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1.整式包括什么？ 2. 什么是单项式？ 3. 什么是多项式？学生活动1： 学生回顾旧知活动意图说明：以比赛的形式，从学生回顾旧知识引入，激发学生的学习兴趣。环节二：新知探究教师活动2： 1.长方形的面积为10cm ，长为7cm.宽应为____cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为______. 2. 把体积为200cm 的水倒入底面积为33cm 的圆柱形容器中，水面高度为_____cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为____. 3.一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大船速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速是多少？ 如果设江水的流速为vkm/h，则轮船顺流航行90km所用时间为_________h，逆流航行60km所用时间为_________h，由方程_________________ 可以解出 v 的值. 思考 式子 ，，，, 有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 相同点：都具有分数的形式 不同点：(观察分母) 分母中有字母 分式的定义： 一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. 分式必须满足三个条件： ①形如的式子； ②A、B都是整式； ③分母B中含有字母. 注意： ①分式是不同于整式的另一类有理式，分母中含有字母是分式的一大特点. ②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性学生活动2： 学生回答 让学生观察思考，并与小学学过的分数对比，学生先回答，教师后归纳总结. 活动意图说明：以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念.． 环节三：新知讲解教师活动3： 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 提示：1. 分数有意义吗？没有意义 分数有意义的条件是分母不为0 2. 类似的分式有意义的条件是什么呢？ 分式有意义的条件是分母B≠0. 当B≠0时，分式有意义 当B=0时，分式无意义 当时，分式=0 学生活动3： 教师提出问题，学生尝试回答，最后教师引导与总结 活动意图说明：我们知道除数不能为0，通过学生思考、讨论等活动，让学生充分认识到分式的一大要求：分母不能为0且分子为0，分式的值就为0.环节四：典例精析教师活动4： 例1.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1) (2) (3) (4) 解：(1)要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0； (2)要使分式有意义，则分母x-1≠0，即x≠1； (3)要使分式有意义，则分母5-3b≠0，即b≠ (4)要使分式有意义，则分母x-y≠0，即x≠y 方法总结： (1)分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0. (2)分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关．学生活动4： 学生思考问题，教师进行个别提问，学生进行阐述，教师进行总结. 活动意图说明：通过经历对例题和变式的探究过程，加深学生对概念的理解，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
板书设计 1.分式： 一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子叫做分式 ，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母. 2.有意义的条件 分式有意义的条件是B ≠0 3.值为零的条件 分式值为零的条件是A=0且B ≠0.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.列式表示下列各量. (1)某村有n个人，耕地40公顷，人均耕地面积为 公顷. (2)△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD长为 . (3)一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 千米/小时. 2.若值为正数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 3.当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是( ) A. B.C.D. 选做题： 4.当x取何值时，分式有意义？x 取何值时，分式的值为0？ 5.已知m=2时, 分式无意义; 当m=4时, 分式的值为0, 求a与b的值. 【综合拓展类作业】 6. 当分式值等于零时，对多项式4-m2+xmn-n2进行分解因式
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2.当a＝－1时，分式 的值( ) A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D.等于－1 选做题 3.当x为何值时，分式的值为零 【综合拓展类作业】 4．若=2，求的值．
教学反思 概念的获得是本节课的重点，在分式构建概念过程中没有采用数学内部的逻辑结构引入，即从运算的角度引入，而是从实例引入。这样处理的原因有两个，一是分式不是脱离实际而产生的，而是反映现实问题中的数量关系的一种模型。二是义务教育阶段对单项式除以多项式及多项式除以多项式的除法不作要求，因此我选择从实际问题引入课题。 课堂教学中在问题的设计和练习题目设计上我关注了各个层次的学生，学生在探究环节不乏精彩发言和独到的见解，但是，考虑到学生的年龄特点还可以设计一些情境激发学生的兴趣。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十五章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念；2.能利用分式的基本性质进行约分和通分；3.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算；4.能解可以化为一元一次方程的分式方程.
内容分析 掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义；会用代数式、方程描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力；探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念.
学情分析 在七年级上册中，学生已经学习了整式，分式与整式一样也是代数式，因此研究与学习的方法与整式相类似;另一方面，“分式”是“分数”的“代数化”，学生可以通过类比进行分式的学习。另外，在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加,人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。
单元目标 教学目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式.2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算.4.结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质能用科学记数法表示小于1的正数.5.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.6.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.(二)教学重点、难点教学重点：分式基本性质、分式运算、分式方程教学难点:分式的四则混合运算；分式方程的增根问题；列分式方程解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1分式215.2分式的运算615.3分式方程2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1分式1.了解分式的概念， 2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.会对分式进行判断，能利用分式的基本性质进行解题任务1.认识分式任务2.探究分式的基本性质 任务3.出示例题15.2分式的运算掌握分式的乘除，乘方，加减运算法则，并进行混合运算能熟练运用法则进行分式的混合运算任务1：分式的乘除运算法则任务2.分式的乘除法则任务3.分式的乘方法则15.3分式方程1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.2.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.学生会解分式方程并理解分式方程增根问题；会利用分式方程解决实际问题。任务1.认识分式方程并探究解分式的步骤任务2.探究分式方程的增根问题任务3.出示实际问题体会分式方程的运用。
活动1：回顾旧知
活动2：通过填空的形式引出分式的概念
活动2：归纳分式乘除法则
活动3：例题
活动2：类比分数的混合运算进行分式的混合运算
活动1：复习引入本节课
15.2.2分式的加减（第2课时）
活动3：例题
活动2：通过类比分数的加减归纳出分式的加减法则
活动1：通过实际问题引入课题
15.2.2分式的加减（第1课时）
15.2.1分式的乘除（第2课时）
活动3：例题
活动2：根据乘方的意义归纳分式的乘方法则
活动3：例题
活动1：通过探究问题引入新课
活动4：例题
15.2.1分式的乘除(第1课时)
活动3：探究分式的约分和通分
活动2：类比分数的基本性质归纳分式的基本性质
15.1.2分式的基本性质
分式
活动1：引入课题
活动1：引入课题
15.1.1从分数到分式
活动4：例题
活动3：探究分式有意义以及分式为0的条件
活动1：复习幂的运算引入新课
活动2：通过探究归纳整数负指数幂的运算
15.2.3整数指数幂（第1课时）
活动3：探究负指数幂的运算法则
活动4：例题
活动2：通过探究较小数的科学记数法
活动1：复习引入新课
15.2.3整数指数幂（第2课时）
分式
活动3：例题
活动3：思考分式方程的增根问题
活动2：探究解分式方程的方法
活动1：通过引言问题引入新课
15.3分式方程（第1课时）
活动4：例题
活动1：引入新课
活动3：例题
活动2：探究分式方程的应用问题
15.3分式方程（第2课时）
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