西安市长安区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D.
2.已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
4.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为( )
A． B． C． D．
6．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
8．已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设椭圆：＋的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．椭圆的离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
10.已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线可以是圆
B．当时，曲线是焦点在轴上的椭圆
C．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线
D．当曲线是双曲线时，其焦距为8
11.已知,分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为45°
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
12. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（ ）
A．过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条
B．的最小值为
C．若的内切圆与圆外切，则圆的半径为
D．过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.）
13. 抛物线的准线方程为 .
14. 直线与直线平行，则实数的值为 .
15．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
16.椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围为 .
四、解答题(本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（10分）
已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)设，求的值域.
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
19．（12分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线的长为，求的面积.
20.（12分）
已知圆过点和，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．
21.（12分）
如图，在四棱锥中，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，点是中点，且四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
22．（12分）
在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求面积的最大值；
(2)是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.西安市长安区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D B A B D B B C
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
选项 AB BCD AD AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）
13. 14. -2 15. 16.
四、解答题：(共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．解：（1），
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，所以，
即，所以在上的值域为.
18．解：（1）连接，交于点，连接，∵为中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，得.
设直线与平面所成角为，则，
∴，
∴，即直线与平面所成角的余弦值为.
19．解：（1）由已知及正弦定理得，
则，
在中，，∴，又因为，故.
（2）由，得，
由题意得，则，
即有，解得，
故的面积为.
20. 解：（1）圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则圆的标准方程为，
由点在圆上得：，
又圆与直线相切，有．
于是，解得，或
所以圆的标准方程为，或
（2）设点坐标为，点坐标为，
由为的中点，，则，即
又点在圆上，若圆的方程为，有，
则，整理得：，
此时点的轨迹方程为．
若圆的方程为，有，
则，整理得：，
此时点的轨迹方程为，
综上，点的轨迹方程为或.
21.（1）证明：由题意知为等边三角形，
所以，又，所以，在中，由余弦定理得
，，
所以，所以，
又，，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：取的中点，连接，，则，又，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，即是三棱锥的高.
因为点是中点，
所以，解得.又平面，所以.
取中点，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，
，，
设平面的一个法向量为，
所以
令，解得，，所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，则，
令，解得，，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角的大小为，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为。
22．解：（1）依题意，设，直线的斜率显然存在，
故设直线为，联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，
故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为.
（2）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，
由（1）知，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以；
综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.
