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分课时教学设计
第一课时《15.1.2分式的基本性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十五章第一节第二课时：分式的基本性质。分式的基本性质是分式本章的重点内容之一，是分式变形的依据，也是进一步学习分式的通分、约分以及四则运算的基础。教材在这里安排的篇幅很小，内容很简练，学生自己学习的难度较高。学生掌握本节内容是学好本章及以后学习方程、函数等问题的关键，对后续学习有重要影响。
学习者分析 学习的过程是自我生成的过程，其基础是学生原有的知识。在学习本节课之前，学生原有的知识是分数基本性质的运用。八年级学生一方面可能会对原有知识有所遗忘，从心理上愿意去验证，愿意去猜想，从而激活原有知识；另一方面，八年级学生已经具备了一定的归纳总结能力，那么如何让学生灵活运用分式的基本性质进行化简和约分就是本节内容要突破的难点。
教学目标 1.理解并掌握分式的基本性质． 2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形． 3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分
教学重点 理解并掌握分式的基本性质。
教学难点 灵活运用分式的基本性质进行分式变形
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 问题1：下列分数哪两个之间是相等的？并说出理由. ，， 解：学生活动1： 学生回顾旧知活动意图说明：从分数的变形着手，复习分数的基本性质，为类比学习新知做铺垫。猜想得到分式的基本性质。环节二：新知探究教师活动2： 问题2：下列两式成立吗？为什么？ 分数的基本性质：分数的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于0的数，分数的值不变. 那分式有类似的性质吗？想一想. 即对于任意一个分数： 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 学生活动2： 学生回答 让学生观察思考，并与小学学过的分数对比，学生先回答，教师后归纳总结. 活动意图说明：在这个活动中，体现了学生的学习是在原有知识上自我生成的过程环节三：新知讲解教师活动3： 例1、填空： (1) (2) 运用分式的基本性质应注意什么 (1) “ 都 ”：分子和分母是同时乘或除以某个整式，而不是只有分子或分母单独进行. (2) “ 同一个 ”：分子和分母都乘或除以同一个整式，该整式是同一个. (3) “ 不为 0 ”：时刻注意分母不等于零.学生活动3： 教师提出问题，学生尝试回答，最后教师引导与总结 活动意图说明：让学生运用类比的方法发现分式的基本性质，并通过合作交流，更好地总结出分式的基本性质，从而实现了学生主动参与、应用新知的目的。环节四：新知讲解教师活动4： 想一想：联想分数的约分.由例题你能想出如何对分式进行约分 与分数约分类似,关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母. 观察例1(1)，你能想出如何对分式进行约分吗？ 约去分子分母的公因式. 怎么找公因式呢？ （1）找系数的最大公约数； （2）找分子、分母相同因式的最低次幂； （3）两者的乘积即为公因式. 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式： 分子与分母没有公因式的式子. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.学生活动4： 学生先独立思考，然后组内交流，代表发言 活动意图说明：培养学生类比归纳能力. 激励学生主动探索，由已知得到未知。体现了新课程理念。环节五：典例精析教师活动5： 例3、约分： (1) (2) (3) 解：(1)； (2) (3) 约分的基本步骤 (１)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (２)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 注意事项： (1)约分前后分式的值要相等. (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. (3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.学生活动5： 学生看题思考 学生回答问题活动意图说明：培养他们语言表达能力,让学生的个性得到充分的展示 环节六： 新知讲解教师活动6： 联想分数的通分，由例1你能想出如何对分式进行通分吗？ 与分数的通分类似，在例1(2)中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把和化成分母相同的分式. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 通分的关键：确定最简公分母. 最简公分母：一般取各分母的所有因式的________ 的积作公分母. 确定几个分式的最简公分母的方法： (1)因式分解： (2)系数：各分式分母系数的最小公倍数； (3)字母：各分母的所有字母的最高次幂 (4)多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂 (5)积：学生活动6: 同桌讨论后单独回答 活动意图说明：通过类比分数的通分学习分式的通分，学生在对熟悉的知识进行回顾后自然而然得出分式约分中的各部分相关知识，不需要机械化的讲解。环节七：教师活动七： 例3、通分 (1) (2) 解：（1）最简公分母是2a2b2c. 解：(2)最简公分母是 (x + 5)(x - 5). 学生活动七： 学生组内交流，派代表发言，教师补充 活动意图说明：通过例题加深对分式基本性质的理解，巩固分式基本性质的应用条件、基本方法、需要注意的问题.
板书设计 一、分式的基本性质 二、分式的约分 1.约分的基本方法是： 先找出分式的分子、分母公因式,再约去公因式. 2.约分的结果是：整式或最简分式 三、分式的通分 1.分式通分的关键是：找到最简公分母 2.若分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再找出最简公分母
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．分式，，，中最简分式的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．使等式自左到右变形成立的条件是（ ） A． B． C． D．且 3．下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.如果把分式中的x和y都扩大到原来的5倍，那么分式的值( ) A．扩大到原来的5倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 5.已知，则________． 【综合拓展类作业】 6．已知x＋y＝2，x－y＝，求分式的值
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式成立的是( ) A. =- B. C. D. 2.下列各式中是最简分式的( ) A. B. 选做题 3．约分：(1) (2) 4．通分： （1）与；（2）与； 【综合拓展类作业】 5．阅读材料： 已知＝＝≠0，求的值． 解：设＝＝＝k(k≠0)，则x＝3k，y＝4k，z＝6k.(第一步) 所以＝＝＝.(第二步) (1)回答下列问题． ①第一步运用了________的基本性质． ②第二步的解题过程运用了________的方法，由利用了________________性质． (2)模仿材料解题： 已知x：y：z＝2：3：4，求的值．
教学反思 在得到分式基本性质的过程中，通过类比分数的基本性质得到的，让学生掌握类比归纳的思想方法。 本课利用多媒体讲授，使知识更形象、具体直观，利于学生对知识的掌握。采用小组合作学习的形式让学生交流讨论，这样可以培养合作学习的意识。虽然内容量不大，但对分式的约分有一定的难度，教师在这里起到点拨的作用，引导学生发现问题，探究问题。 课中引导学生从分数的基本性质类比得到分式的基本性质。分式的基本性质学完后，对基本性质进行应用，主要是两方面，一是分式的变形；二是分式的约分。这个教学过程中，让学生在思考与回答的过程中体会到学习数学的快乐。知识的拓展针对吃不饱的学生而设的，因而设置了分层练习跟分层作业。教学中仍存在的问题，多学习理论知识，多钻研教材和学生的状况，尽量能在往后的课堂教学以不变应万变。
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15.1.2分式的基本性质
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
新知导入
问题1：下列分数哪两个之间是相等的？
解：
，，
问题2：下列两式成立吗？为什么？
分数的基本性质：
分数的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于0的数，分数的值不变.
即对于任意一个分数：
那分式有类似的性质吗？想一想.
归纳总结
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
， (c≠0)其中A，B，C是整式.
示例：
分式的
基本性质
分母乘以x
分子乘以x
分母除以b2
分子除以b2
典例精析
例1、填空：
(1)
(2)
÷x
÷x
÷3x
÷3x
x2
2x
×a
×a
a
×b
×b
2ab－b2
归纳总结
运用分式的基本性质应注意什么
(1) “ 都 ”：
(2) “ 同一个 ”：
(3) “ 不为 0 ”：
分子和分母是同时乘或除以某个整式，而不是只有分子或分母单独进行.
分子和分母都乘或除以同一个整式，该整式是同一个.
时刻注意分母不等于零.
新知讲解
想一想：联想分数的约分.由例题你能想出如何对分式进行约分
与分数约分类似,关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.
观察例1(1)，你能想出如何对分式进行约分吗？
约去分子分母的公因式.
新知讲解
分数有意义的条件是分母不为0.
怎么找公因式呢？
找公因式方法:
（1）找系数的最大公约数；
（2）找分子、分母相同因式的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
新知讲解
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
最简分式：
分子与分母没有公因式的式子.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
新知讲解
例3、约分：
(1) (2) (3)
解：(1)；
(2)
(3)
分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分
归纳总结
约分的基本步骤
(１)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(２)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意事项：
(1)约分前后分式的值要相等.
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
新知讲解
联想分数的通分，由例1你能想出如何对分式进行通分吗？
与分数的通分类似，在例1(2)中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把和化成分母相同的分式.
新知讲解
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
最简公分母：一般取各分母的所有因式的________ 的积作公分母.
通分的关键：确定最简公分母.
最高次幂
新知讲解
确定几个分式的最简公分母的方法：
(1)因式分解：
(2)系数：各分式分母系数的最小公倍数；
(3)字母：各分母的所有字母的最高次幂
(4)多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
(5)积：
新知讲解
例3、通分
(1) (2)
解：（1）最简公分母是2a2b2c.
解：(2)最简公分母是 (x + 5)(x - 5).
新知讲解
分数和分式在约分和通分的做法上有什么特点？这些做法的根据是什么？将答案填入下表中：
约分 通分
分数
分式
依据
找分子与分母的
最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的
最小公倍数
找所有分母的
最简公分母
分数/分式的基本性质
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．分式，，，中最简分式的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．使等式自左到右变形成立的条件是（ ）
A． B． C． D．且
3．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
B
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如果把分式中的x和y都扩大到原来的5倍，那么分式的值( )
A．扩大到原来的5倍 B．不变
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍
5.已知，则________．
B
课堂练习
【综合拓展类作业】
6．已知x＋y＝2，x－y＝，求分式的值
课堂总结
分式的
基本性质
内容
作用
分式进行约分
和通分的依据
注意
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
(3)分子分母只能同乘或同除同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式
进行分式运算的基础
板书设计
一、分式的基本性质
三、分式的通分
二、分式的约分
1.约分的基本方法是：
先找出分式的分子、分母公因式,再约去公因式.
2.约分的结果是：整式或最简分式
1.分式通分的关键是：找到最简公分母
2.若分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再找出最简公分母
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式成立的是( )
A. =- B. C. D.
2.下列各式中是最简分式的( )
A. B.
D
B
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3．约分：(1) (2)
解： （1）原式；
（2）原式．
4．通分：
（1）与；（2）与；
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）∵与的最简公分母是6，
∴ = ， = ；
（2）∵与的最简公分母是3，
∴ = ， = ；
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
【综合拓展类作业】
(1)回答下列问题．
①第一步运用了________的基本性质．
②第二步的解题过程运用了________ 的方法，由利用了________________性质．
等式
代入消元
分式的基本
作业布置
【综合拓展类作业】
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十五章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念；2.能利用分式的基本性质进行约分和通分；3.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算；4.能解可以化为一元一次方程的分式方程.
内容分析 掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义；会用代数式、方程描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力；探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念.
学情分析 在七年级上册中，学生已经学习了整式，分式与整式一样也是代数式，因此研究与学习的方法与整式相类似;另一方面，“分式”是“分数”的“代数化”，学生可以通过类比进行分式的学习。另外，在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加,人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。
单元目标 教学目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式.2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算.4.结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质能用科学记数法表示小于1的正数.5.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.6.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.(二)教学重点、难点教学重点：分式基本性质、分式运算、分式方程教学难点:分式的四则混合运算；分式方程的增根问题；列分式方程解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1分式215.2分式的运算615.3分式方程2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1分式1.了解分式的概念， 2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.会对分式进行判断，能利用分式的基本性质进行解题任务1.认识分式任务2.探究分式的基本性质 任务3.出示例题15.2分式的运算掌握分式的乘除，乘方，加减运算法则，并进行混合运算能熟练运用法则进行分式的混合运算任务1：分式的乘除运算法则任务2.分式的乘除法则任务3.分式的乘方法则15.3分式方程1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.2.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.学生会解分式方程并理解分式方程增根问题；会利用分式方程解决实际问题。任务1.认识分式方程并探究解分式的步骤任务2.探究分式方程的增根问题任务3.出示实际问题体会分式方程的运用。
活动1：回顾旧知
活动2：通过填空的形式引出分式的概念
活动2：归纳分式乘除法则
活动3：例题
活动2：类比分数的混合运算进行分式的混合运算
活动1：复习引入本节课
15.2.2分式的加减（第2课时）
活动3：例题
活动2：通过类比分数的加减归纳出分式的加减法则
活动1：通过实际问题引入课题
15.2.2分式的加减（第1课时）
15.2.1分式的乘除（第2课时）
活动3：例题
活动2：根据乘方的意义归纳分式的乘方法则
活动3：例题
活动1：通过探究问题引入新课
活动4：例题
15.2.1分式的乘除(第1课时)
活动3：探究分式的约分和通分
活动2：类比分数的基本性质归纳分式的基本性质
15.1.2分式的基本性质
分式
活动1：引入课题
活动1：引入课题
15.1.1从分数到分式
活动4：例题
活动3：探究分式有意义以及分式为0的条件
活动1：复习幂的运算引入新课
活动2：通过探究归纳整数负指数幂的运算
15.2.3整数指数幂（第1课时）
活动3：探究负指数幂的运算法则
活动4：例题
活动2：通过探究较小数的科学记数法
活动1：复习引入新课
15.2.3整数指数幂（第2课时）
分式
活动3：例题
活动3：思考分式方程的增根问题
活动2：探究解分式方程的方法
活动1：通过引言问题引入新课
15.3分式方程（第1课时）
活动4：例题
活动1：引入新课
活动3：例题
活动2：探究分式方程的应用问题
15.3分式方程（第2课时）
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