长安区2021 级高三上期中教学质量检测
数学（理科）试题
时间：100 分钟 总分：150 分
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 = | 3( + 2) < 1 ， = |0 < < 2 ，则 ∩ =（ ）
A. 0,3 B. 0,1 C. 2,2 D. , 2
2. 体育老师为测试学生的身体素质，在体育课上收集了 10 位同学的铅球成绩，数据如下
（单位：m）：9.80，9.70，9.55，9.54，9.35，9.42，9.41，9.48，9.30，9.25，则下列
结论错误的个数是（ ）
①平均数为 9.48；②中位数为 9.45；③极差为 0.55.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
3. 已知复数 z满足 z 1 i 1 2i，则复数 z 的虚部为（ ）
3 3 i 3 3A. B. C. D. i
2 2 2 2
4. 折扇（图 1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，
2
又有雅趣．图 2中的扇形OCD为一把折扇展开后的平面图，其中 COD ，
3
OC OD 1，设向量m 3OC 2OD， n 2OC kOD，若m n 11，则实数 k的
值为（ ）
A. 14 B. 7 C.3 D. 1
理科数学 第 1页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
x2 y2
5. 已知双曲线C : 1的离心率大于 2，则实数m的取值范围是（ ）
1 m 3 m
A. 1,3 B. 1,1 C. ,1 D. 0,1
6. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第
1 1 1
二、第三局比赛中获胜的概率分别为 ， ， ，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
4 3 3
2 7 5 1
A. B. C. D.
9 36 36 9
y x(4 x)
7. 已知 x， y满足约束条件 ，则 z x y的最大值是（ ）
x y 0
25
A. 0 B. 6 C. D.7
4
8. 已知抛物线C : y 2 4x 的焦点为 F ，其准线与 x轴的交点为A，点 P在抛物线C上，
且 PA PF ，则 =（ ）2
5 1
A. B. 5 2 C. 5 1 D. 3 5
2
9. 已知数列 a n 1n 的前 n项和 S 2n n n，将数列 an 与数列 2 的公共项从小到大排列
得到数列 bn ，Tn 为数列 an bn 的前 n项和，则满足 < 2023的正整数 n的最大值为
（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.设函数 f x 的定义域为R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
f x ax2 b，若 (0) + (3) = 12 17，则 ( ) =（ ）
2
5
A． 2 B． C． 4 D．5
2
1
11. 设 f (x) ，将 f (x) 的图像向右平移 个单位，得到 g(x) 的图像，设
cos x 3
理科数学 第 2页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
h(x) f (x) g(x) x ， , ，则 h(x)的最大值为（ ） 12 4
3 6 6 6A. B. 2 6 C. D.
2
1 1
12. 已知实数 , , 满足： a 34 3 4 ,b 1 ln3,c 4 2 3 ，则（ ）
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
8 π
13. 已知 cos 3 sin ，则 cos ______.5 3
14. 等差数列 an 中的 1， 2023是函数 f (x) x3 6x2 4x 1的极值点，则
1 1012 =______.
4
15. 已知在三棱锥 P ABC中， PA BC 4， ⊥ ， PA 平面 ABC，则三棱锥
P ABC 的外接球表面积的最小值为______.
1
16. 若存在 ∈ [1, +∞)，使得关于 的不等式(1 + ) + ≥ 成立，则实数 的取值范围为__.
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
17．（12 分）在△ ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosC , sin A 2 cosB.
3
（1）求 tanB的值；
（2）若 c 5,求△ ABC 的面积.
18．（12 分）如图，三棱锥 A BCD中，DA DB DC，
BD CD， ADB ADC 60 ，E 为 BC 的中点．
(1)证明： BC DA；
(2)点 F 满足 EF DA，求二面角D AB F 的正弦值．
理科数学 第 3页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
19．(12 分) 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任
取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该
轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再
放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽
球试验的轮次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望；
1
(2)为验证抽样试验成功的概率不超过 2 ，有 1000 名数学爱好者独立的进行该抽球试验，
记 t 表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
b
求 y 关于 t的回归方程 y a ，并预测成功的总人数（四舍五入精确到 1）．
t
n
xi yi nx y
附：经验回归方程系数：b i 1 ， a y b n x；
x2 nx 2i
i 1
5
2 1 1 5
参考数据： xi 1.46， x 0.46， x 2 0.212（其中 xi ， x t 5 xi ）．i 1 i i 1
x2 y2
20．（12 分）已知椭圆 E： ＋ ＝1(a>b>0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为 3的
a2 b2
3
三角形，且点(1, )在 E 上.
2
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)如图，设 F1，F2是椭圆 E 的左、右焦点，椭圆 E 的一个内接平行四边形 ABCD 的一组对边
分别过点 F1和 F2，求这个平行四边形的面积的取值范围．
理科数学 第 4页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
, ≤ 0
21．（12 分）已知函数 = 2 + 2 1 , > 0.
2
（1）设 g(x) xf (x)，求 g(x)的单调区间；
（2）求证：存在恰有 2个切点的曲线 y f (x)的切线．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，每题 10 分，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22．（10 分）
x 2 t
在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 6 （ t为参数），以坐标原点O为极点，
y t
x 5 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 ( ) = 0．
6
（1）求C的普通方程和 l的直角坐标方程；
（2）若 l与C有两个不同的交点，求实数m的取值范围．
【选修 4-5：不等式选讲】
23.（10 分）
已知函数 f x 2 x 2x m m 0 的图象关于直线 x 1对称．
（1）求 f x 的最小值；
1 4
（2）设 a，b均为正数，且 a b m，求 的最小值．
a b
理科数学 第 5页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}数学（理科）答案
时间：120 分钟 总分：150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C A B C C A B D C D
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
4 1
13． 14． 115．8 16．[ 1, + ∞)
5 2 2
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1 2 2
17．【解析】（1）因为 cosC ，C 0, ，所以 sinC ．
3 3
因为 A B C π ，
1 2 2所以 sin A sin B C sinBcosC cosB sinC sinB cosB，…………2 分3 3
1 2 2 1 2
由题意 sin B cosB 2 cosB，所以 sin B cosB，
3 3 3 3
所以 tan B 2 ．……………………………………………………………………3 分
（2）由（1）知 tan B 2 ，所以 sin B
6
， cosB
3
．…………………………4 分
3 3
b c b 6 5 15由正弦定理得 ，所以 …………………………6 分
sin B sinC 3 2 2 2
3
又 sin A 2 cosB 6 ， ……………………………………………………………8 分
3
1
所以 S bcsin A
1 15 5 6 5 2 ．………………………………………10 分
2 2 2 3 4
理科数学参考答案 第 1页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
18.【解析】【详解】（1）连接 AE,DE，因为 E 为 BC 中点，DB DC，所以DE BC①，
因为DA DB DC， ADB ADC 60 ，所以 ACD与△ABD均为等边三角形，
AC AB，从而 AE BC②，由①②， AE DE E， AE,DE 平面 ADE，
所以，BC 平面 ADE，而 AD 平面 ADE，所以 BC DA．
（2）不妨设DA DB DC 2， BD CD， BC 2 2,DE AE 2．
AE2 DE2 4 AD2， AE DE，又 AE BC,DE BC E，DE,BC 平面
BCD AE 平面 BCD．
以点 E为原点， ED,EB,EA所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设D( 2,0,0), A(0,0, 2),B(0, 2,0),E(0,0,0) ，
设平面DAB与平面 ABF 的一个法向量分别为n1 x1, y1, z1 ,n2 x2 , y2 , z2 ，
二面角D AB F 平面角为 ,而 AB 0, 2, 2 ，
因为 EF DA 2,0, 2 ，所以 F 2,0, 2 ，即有 AF 2,0,0 ，
2x1 2z1 0 ，取 x1 1，所以 n1 (1,1,1)；
2y1 2z1 0
2y2 2z2 0
，取 y2 1，所以 n (0,1,1)，
2x
2
2 0
n n
所以， cos
1 2
2 6 ，从而
3 sin 1
6 3
．
n1 n2 3 2 9 3
理科数学参考答案 第 2页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
所以二面角D AB F 的正弦值为 3 ．
3
19．【解析】参考答案：
1 1
（1）解：X 的取值可能为 1，2，3，所以 P(X 1) ( 1)
2 ;
C2 4
1 P(X 1 1 1 1 2 2) 1 ( )2 ( )2 ； P(X 3) 1 ( )2 2 1 1 1 1 ( 1 ) ，
C2 C3 12 C2 C3 3
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
1 1
P 2
4 12 3
1
所以数学期望为： E(X ) 1 2 1 3 2 3 2 24 29 ；
4 12 3 12 12
1 5
（2）解：令 xi t ，则 y b
x a ，由题知： xi yi 315, y 90，所以
i i 1
5
xi yi 5x y
b i 1 315 5 0.46 90 108 5 270，
x2 5x2 1.46 5 0.212 0.4i
i 1
所以 a 90 270 0.46 34.2， y 270x 34.2，
270
故所求的回归方程为： y 34.2，
t
所以估计 t 6时， y 11；估计 t 7时， y 4，估计 t 8时， y 0；
预测成功的人的总人数为 450 11 4 465 .
a2＝b2＋c2，
a＝2，
1 9
20．【解析】解：（1）由题意可知 ＋ ＝1，a2 4b2 解得 b＝ 3，
bc＝ 3， c＝1，
x2 y2
∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.(4 分)
4 3
（2）易知直线 AB 的斜率不为 0.由(1)得 F2(1，0)，故可设直线 AB 的方程为 x＝ty＋1，
理科数学参考答案 第 3页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
x＝ty＋1，
联立 消去 x 并整理，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，(6 分)
3x2＋4y2＝12，
－6t －9
显然Δ>0 恒成立，∴y1＋y2＝ ，y1y2＝ .(7 分)
3t2＋4 3t2＋4
－6t 2 －9 12 t2＋1
∴|y1－y2|＝ （y1＋y ）
2
2 －4y
2
1y2＝ 3t ＋4 －4× ＝ ，(8 分)
3t2＋4 3t2＋4
1 6 t2＋1
∴S△OAB＝S△OF2A＋S△OF2B＝ ×|OF2|×|y1－y2|＝ ，
2 3t2＋4
24 t2＋1
∴椭圆 E 的内接平行四边形 ABCD 的面积 S＝4S△OAB＝ .(9 分)
3t2＋4
24m 24
令 m＝ 1＋t2≥1，则 S＝ ＝ 1 .(10 分)3m2＋1 3m＋
m
1
设 f(m)＝3m＋ ，易知在[1，＋∞)上单调递增，∴f(m)∈[4，＋∞)
m
∴S∈(0，6]，故平行四边形的面积取值范围是(0，6].(12 分)
xex , x 0
21.【解析】【解答】（1）解：数 g(x) ，
x
3 1 2x2 x, x 0
2
(x 1)ex , x 0
g (x) ，
3x2 4x
1
, x 0
2
令 g (x) 4 10 0，可得 x 1或 x ， ------------------------------------------2 分
6
4 10 4 10
当 x 1或 0 x 或 x 时， g (x) 0，
6 6
当 1 4 10 4 10 x 0或 x 时， g (x) 0，
6 6
4 10 4 10
所以 g(x)的单调减区间为 ( , 1)和 (0, ) 和 ( , )，单调增区间为 ( 1,0)和
6 6
理科数学参考答案 第 4页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
(4 10 , 4 10 ) ．---------------------------------------------------------------------------------------5 分
6 6
ex2 , x 0（ ）证明： f (x) ，
2x 2, x 0
假设存在直线以 A(x1， f (x1))， B(x2 ， f (x2 ))为切点，
不妨设 x1 x2 ，则 x1 0， x2 0，
以 A(x1， f (x1))为切点的切线方程为： y e
x1 x ex1 (1 x1)，
以 B(x2 ， f (x2 ))
1
为切点的切线方程为： y (2 2x2 )x x
2
2 ，--------------------------------82
分
ex1 2 2x
2
所以 ，
ex1 (1 1 x ) x 2
1 2 2
令 t ex1 ，则 t (0，1]， t 2 8t 4tlnt 2 0，----------------------------------------------------10
分
令 (t) t2 8t 4tlnt 2， t (0，1]， (t) 2t 4 4lnt 在 (0，1]上递增，
(t) （1） 2 0，所以 (t)在 (0，1]上递减，
（1） 5 0， (e 3) 0，
故存在唯一的 t满足 t 2 8t 4tlnt 2 0，即存在恰有 2个切点的曲线 y f (x)的切线．
------------------------------------------------------------------------12 分
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，每题 10 分，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22．【解析】
【答案】（1）C的普通方程为 y2 6x 2, y 0， l的直角坐标方程为 3x y 2m 0；
理科数学参考答案 第 5页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
3 3
（2） m m
6 12
【解析】
【分析】（1）利用消参即可得到曲线C的普通方程，利用 y sin , x cos 将直线 l的
极坐标方程化为直角坐标方程；
2
3 y 3 3
（2）将曲线C代入直线 l可得 2m , y 0 ，通过二次函数的性质即
6
可求得 2m的取值范围，即可求解
【小问 1 详解】
x 2 t 2 y2
由曲线C的参数方程为 6 （ t为参数）可得曲线C的普通方程 x ，即
y t
6
y2 6x 2, y 0，
因为直线 l的极坐标方程为
sin m 1sin 3
1 3
cos m sin cos m 0 ， 3 2 2 2 2
且 y sin , x cos ，
1 3
所以直线 l的直角坐标方程为 y x m 0即 3x y 2m 0
2 2
【小问 2 详解】
2
将曲线C l x 2 y代入直线 ，消 可得 3 y 2m 0，整理得
6
2
3y2 6y 2 3 3 y 3 3
2m , y 0 ，
6 6
理科数学参考答案 第 6页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
2
0 y 3 3 y 3 3所以当 时，函数 t 单调递减，当 y 3时，函数
6
3 2y 3 3
t 单调递增，
6
y 0 3 3且当 时，
2
3 3
t 3 ，当 y 3时， tmin ，
6 3 6
3 3 3 3
故要使 l与C有两个不同的交点，只需 2m ，即 m ，
6 3 6 12
故实数m
3 3
的取值范围 m m 6 12
【选修 4-5：不等式选讲】
9
23.【答案】（1）4； （2）
4
【解析】
【分析】（1）先整理 f x ，再利用题意中的对称求出m 4，然后用三角不等式求出最小
值即可；
（2）由（1）可得 a b 4，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解
【小问 1 详解】
f x 2 x 2x m 2x 2x m ，
令 2x 0 m，解得 x 0；令 2x m 0，解得 x ，
2
因为函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，
所以0 m 2 1，解得m 4，
2
所以 f x 2x 2x 4 2x 2x 4 4，当且仅当 2x 2x 4 0时，取等号，
理科数学参考答案 第 7页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
故 f x 的最小值为 4；
【小问 2 详解】
1
由（1）可得a b 4，即 a b 1，
4
1 4 1 1 4 a b 1 b 4a 5 1
b 4a 9
所以 2 5
a b 4 a b 4 a b 4 a b
，
4
b 4a 4 8
当且仅当 即a ,b 时，取等号，
a b 3 3
1 4 9
故 的最小值为 .
a b 4
理科数学参考答案 第 8页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
