福建省将乐县2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（含解析）

将乐县2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2． 已知，设，，则M与N的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
3．若集合，，，则的关系是（　　）
A． B．
C． D．
4．若，则正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd
5．集合，，且，实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
6．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 （ ）A． B．
C． D．
7．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
8．已知命题，0，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．3 B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知全集，集合，，则（ ）
A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为
10．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
11．下列四个命题中，是真命题的有（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．，都有
C．若a，b是实数，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的充分条件
12．已知，，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为9
C．有最小值为 D．有最小值为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、若集合，，则 ．
14．“，”是假命题，则实数的取值范围为 .（用区间表示）
15、已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 .（用区间表示）
16、已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示）
四、简答题
17．(10分）设集合，A=，.
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.
18．（1）已知且，求的最小值.
（2）已知，，且．证明：．
19．(12分）已知集合，.
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
20、 已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为,求实数的值；
（2）设,若不等式对任意实数都成立,求实数的取值范围；
21．(12分）已知二次函数.
(1)若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，存在使不等式成立，求实数的取值范围.
22、某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
将乐县2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试卷 答案
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【解析】由题意，方程的两根为，方程的两根为，
根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素．故选C．
2． 已知，设，，则M与N的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】C【解析】【分析】通过作差即可比较两者的大小.
【详解】解：由题意知，，所以，故选:C.
3．若集合，，，则的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】已知，，，
显然可表示整数，而只能表示偶数；所以.故选A．
4．若，则正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】C【解析】对于A:取，则，故A错，对于B:若，则，故B错误，对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，对于D:若，则，，故D错误.故选C．
5．集合，，且，实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【解析】由集合，且，
又由，可得，当时，此时集合，满足；
当时，可得，要使得，则满足或，解得或，
综上可得，实数的值为或或.故选D.
6．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或，
所以的取值范围是．故选D．
7．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为为正实数且，所以，所以,
因为，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；故选D.
8．已知命题，0，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】C【分析】分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知全集，集合，，则（ ）
A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为
【答案】ACD【解析】因为，所以，因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；由，，得，所以，故B不正确；
由，，所以，所以， 故C正确；由，得中的元素个数为，故D正确.故选ACD.
10．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【答案】BD【分析】根据差集定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A：由且，故，故A错误；
对于B：由且，则，故，故B正确；
对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，故C错误；
对于D：或，则或，故D正确.故选：BD.
11．下列四个命题中，是真命题的有（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．，都有
C．若a，b是实数，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的充分条件
【答案】AD
【解析】A：“”的否定为“”，故A正确；
B：当时，有，所以“，都有”错误，故B错误；
C：当时，满足，但不满足；当时，满足，但不满足，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D：若，则且，所以“”是“”的充分条件，故D正确，故选AD.
12．已知，，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为9
C．有最小值为 D．有最小值为3
【答案】ABD【解析】由，，且，可知，即，当且仅当 时取等号，故A正确；，当且仅当,即 时取等号，故B正确；由，，且，可知，故，
当时，取得最小值为 ，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，故D正确，故选ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、若集合，，则 ．
【答案】【解析】因为，所以，得，所以，
又因为，所以，得或，所以，
所以.故答案为：
14．“，”是假命题，则实数的取值范围为 .（用区间表示）
【答案】
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题， 当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.故答案为：.
15、已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 .（用区间表示）
【解题思路】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.【解题思路】因为命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，
因为集合，当时，集合，符合；
当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：.
16、已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示）
解：由得：，则，∴
， ，
当且仅当，即，时，等号成立﹒∴，解得：或．
必用17．(10分）设集合，A=，.
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案.
（2）根据题意可得B A，讨论集合B是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知当时，，故或，
而，故；.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得B A，
故当时，，符合题意；.
当时，需满足，且中等号不能同时取得，解得，.
综合以上，m的取值范围为或..
18．（1）已知且，求的最小值.
（2）已知，，且．证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为且，
则
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
19．(12分）已知集合，.
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案；
（2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案.
【详解】（1）由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则；
由，则，即，解得..
（2）p是q的必要不充分条件等价于B A.
①当时，，解得，满足.
②当时，原问题等价于（不同时取等号）解得.
综上，实数k的取值范围是.
20、 已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为,求实数的值；
（2）设,若不等式对任意实数都成立,求实数的取值范围；
【答案】（1） （2）
【解析】【详解】试题分析：（1）把问题转化为一元二次方程的问题，利用方程的根建立二次一次方程组，求得a和b的值．
（2）把不等式整理成确定等号左边的最小值，进而确定等号右边的范围求得b的范围．
试题解析：（1）因为不等式的解集为，
所以由题意得为函数两个根,
所以,解得．
（2）当时,恒成立,即恒成立．因为 ,所以 解之得,
所以实数的取值范围为 ： 考点：1．二次函数的性质；2．函数恒成立问题
21．(12分）已知二次函数.
(1)若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，存在使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合根的判别式即可得解；
（2）分离参数，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）若，则，，
因为不等式对一切实数x恒成立，则，解得；
综上所述，实数的取值范围是；
（2）若，不等式即为：，
当时，可变形为：，即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
，即，实数的取值范围是：.
22、某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【解答过程】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．