三明市四地四校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学答案解析部分
单选题（共8题，每题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A A B D C D
二．多选题（共4题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11 12
答案 BD AD BCD AC
12．【答案】AC
【分析】根据题意作图，结合正方体的几何性质，可得AB的正误，建立空间直角坐标值，利用线线角与点面距的公式，可得CD的正误.
【详解】由题意，可作图如下：
对于A，根据正方体的几何性质，易知平面BCDG故A正确的；
对于B，根据正方体的几何性质，易知CG平面AFG，若ED与平面AFG平行，则要有ED⊥CG，在正方形BCDG中这是不可能的。故B是错误的；
对于C建立空间直角坐标系，如下图：
由图可知，，，，
在平面内取，，
设平面的法向量，由，
可得，化简可得，令，则，，
所以平面的一个法向量，取
设点到平面的距离，故.C正确
对于D由图可知， 由图可知，该阿基米德体的定点分为为正方体各棱的中点，
则其是由六个正方形和八个正三角形组成的，所以该立体图形的体积
V=4×4×4-8×，故D是错误的。
故选：AC.
三．填空题（共4题，每题5分，20分）
13．【答案】1 14．【答案】0
15．【答案】(x-1)2+y2=4 16．【答案】8
四．解答题（共6题，17题10分，其他每题12分，70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】
（1）3x+4y-25=0 (2) 5
详解：（1）依题意可知直线AB的斜率 ……………….1分
故AB边上的高的斜率 ……………….2分
即AB边上的高的直线方程为：y-4=（x-3） ……………….4分
化简得3x+4y-25=0 ………………5分
（2）依题意可知直线AB的方程为y-2=（x-4） ……………..6分
化简得4x-3y-10=0 ……………..7分
故点C到直线AB的距离为 ……………8分
又|AB|==5 ……………9分
故⊿ABC的面积S==5 ……………10分
18．【答案】
(1)； (2).
【详解】（1）设圆的标准方程为：， …………….1分.
由圆经过，两点，且与y轴的正半轴相切，
得，解得， …………..5分
所以圆的标准方程为：. …………….6分
（2）圆心到直线的距离为 ， …….8分
所以， ………….12分
19．【答案】
(1)见解析；(2)
【详解】(1)证明:连接OP，因为O，P分别为BD和SD的中点，所以， …….2分
又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC. …….5分
(2)解:如图，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，
OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系. ……..6分
设OD=OS=OA=OB=OC=2
则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(-2,0,0)，S(0,0,2)，D(0,-2,0)，P(0,-1,1) ……..7分
则(-4,0,0) ， (-2,-1,1)， (-2,-2,0) ……….8分
设平面ACP的法向量为，
则
所以x=0,令得z=1，则平面ACP的一个法向量=(0,1,1) ……..10分
设BC与平面ACP所成的角为θ
θ=30 ………..11分
故直线BC与平面PAC的余弦值为 ………..12分
20．【答案】
（1）；（2）.
【详解】解：（1）
……………2分
； …………..4分
（2）设；则， ……..5分
在中， ……6 分
， ………….7分
………………8分
面积 ……….9分
…………10分
． ………..11分
故椭圆的标准方程为 ……..12分
21．【答案】
(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）证明：因为平面平面，
且平面平面，
因为，且平面
所以平面． ……..2分
因为平面，所以． ………..4分
（2）解：在中，因为，
所以，所以． ……….5分
所以，建立空间直角坐标系，如图所示．
所以， ……..6分
易知平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则． …………7分
则，
即平面与平面夹角的余弦值为． ……………8分
（3）解：B、E到平面 PCD的距离相等，则有平面 …….9分
因为点E在棱，所以．
因为．
所以． ……..10分
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以． ………11分
所以，所以． ……..12分
22．【答案】
(1)R=1或R=
(2)存在Q（-1,-1）．
【详解】（1）依题意可知两圆的相交弦与x轴垂直
联立方程组 ………2分
得 故有 ………3分
化简得R4-14R2+13=0 ………4分
故得R2=1或R2=13 ………..5分
故圆的半径为R=1或R= ………..6分
（2）由（1）及R<2可知R=1，则圆的方程为， …….7 分
设，，
当直线的斜率存在，则可设直线的方程为，
代入圆方程可得：，则，得，
且，， ……….9分
所以
． ……………10分
又直线，斜率之和为2，
化简得m=k-1
代入，得y=kx+k-1=k(x+1)-1，
直线恒过定点Q(-1,-1)． ………….11分
当直线的斜率不存在时，，，，
直线，斜率之和为2，，解得x1=-1，
但，且，故不合题意，舍去．
综上，直线恒过定点Q(-1,-1)． …………………..12分三明市四地四校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
（满分150分，完卷时间120分钟）
学校__________ 班级________ 姓名___________ 座号_______
一、单选题（共8题，每题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
1．直线x-y+2=0的倾斜角是（ ）
A． B．45 C． D．135
2．已知向量，，且，则实数等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线经过第一、二、三象限，则有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与圆相切，则实数a的值为（ ）
A．3 B．6 C．或5 D．3或
7．已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
8．过点(0,2)引直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，当⊿AOB面积取最大值时，直线的斜率为（ ）
A． B． C．±1 D．
二、多选题（共4题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线l：x+y+2=0在y轴上的截距为2
B．直线x+y+1=0的方向向量为（1，-1)
C．经过点，且在x，y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0
D．已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A B两点，则△AOB面积的最小值为4
10．已知空间向量，，则（ ）
A． B．
C． D．在的投影向量的坐标是
11．设圆：，点，若圆上存在两点到的距离为2，则的可能取值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ）
A．AG⊥平面BCDG
B．若E是棱BC的中点，则DE与平面AFG平行
C．点到平面的距离为
D．
三、填空题（共4题，每题5分，20分）
13．两条平行直线与间的距离是___________．
(
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
)14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC1与B1C所成的角的余弦值为___________
15．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，
则该圆的标准方程为___________．
16．在平面直角坐标系中，两动直线L1: kx-y+16-8k=0与L2: x+ky+8k+2=0相交于点A，
O为原点，则线段OA的长度的最大值是___________．
四、解答题（共6题，17题10分，其他每题12分，70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在平面直角坐标系中，已知⊿ABC中，A(1,-2)，B(4,2)，C(3,4)，求:
(1) ⊿ABC中AB边上的高的直线方程；
(2) ⊿ABC的面积。
18．已知圆经过，两点，且与y轴的正半轴相切
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于，求．
19．如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点，且=2
(1)证明:SB∥平面ACP.
(2)求直线BC与平面ACP的所成角的余弦值
20．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知的面积为，求椭圆的标准方程．
21．如图，在四棱锥中，平面平面，，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)棱上是否存在点E，它与点B到平面PCD的距离相等，若存在求线段的长；若不存在说明理由．
22．已知圆C:与圆的相交弦长为
(1)求圆C的半径R的值；
(
P
N
M
O
x
y
)(2)若对于R<2的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标。
