人教A版（2019）高数 必修第一册 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二） 学案

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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）
班级 姓名
学习目标
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．
3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点　正弦函数、余弦函数的图象和性质解析式y＝sin xy＝cos x图象定义域值域奇偶性周期性单调性在 上单调递增，在 上单调递减在 上单调递增，在 上单调递减最值x＝ 时，ymax＝ ；x＝ 时，ymin＝ .x＝ 时，ymax＝ ；x＝ 时，ymin＝ .对称性对称轴 对称轴 对称中心 对称中心 【即时训练】(1)函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值分别为(　　)A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)(2)下列函数在上是增函数的是(　　)A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sin2x D．y＝cos2x
三角函数的最值与值域 例1、求下列函数的最大和最小值，并写出相应的x的取值集合.(1) (2)例2、求下列函数的值域：(1)y＝cos，x∈； (2)y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R.小结：三角函数最值问题的2种常见类型及求解方法(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
三角函数的单调性 例3、(1)求函数y＝2sin的单调区间； (2)求函数y＝sin的单调递增区间．变式1、(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________．(2)已知函数y＝cos，则它的单调递减区间为________．
比较大小 例4、比较下列各组数的大小：(1)sin 220°与sin 230°； (2)cos 与cos ； (3)sin与cos.
课后作业
一、基础训练题
1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数
2．函数f(x)＝2sin x在区间上的最大值为(　　)
A．0 B．－ C． D．2
3．对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在上单调递增 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
4．(多选题)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．cos 400°>cos
C．sin 3>sin 2 D．sin >cos
5．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
6．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)
A．[－1,1] B．
C． D．
7．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为___________________________．
9．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
10．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
11．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
二、综合训练题
12．(多选题)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
13．函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈，当x＝________时，f(x)最小且最小值为________．
三、能力提升题
14．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．
15．若函数f(x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________，f(x)在上的值域为________．
16．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）
参考答案
1、【答案】C　
【解析】因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增．
2、【答案】D【解析】∵x∈，∴0≤sin x≤1，∴f(x)＝2sin x∈[0,2]．故选D.
3、【答案】B 【解析】因为函数y＝sin x在上单调递减，所以f(x)＝sin 2x在上单调递减，故A错误；因为f(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．
4、【答案】BD【解析】y＝sin x在上单调递增，又－<－，∴sincos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立．
y＝sin x在上单调递减，又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立．
sin ＝－sin ， cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .
∵0<<<，且y＝sin x在上单调递增．∴sin cos ，故D成立．
5、【答案】C
【解析】∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2. ∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
6、【答案】C　
【解析】令sin x＝t，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，
∴当t＝－时，f(t)min＝－；当t＝1时，f(t)max＝1.
7、【答案】(－π，0]　　
【解析】因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．
8、【答案】cos 150°＜cos 760°＜sin 470°　
【解析】[cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，
所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.
9、【答案】±2
【解析】当a>0时，得所以ab＝2.
当a<0时，得所以ab＝－2，综上所述ab＝±2.
10、解　(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. 即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
11、解　(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
所以当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
12【答案】ABC
【解析】A显然正确．f(x)的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝－＋kπ，k∈Z，当k＝3时，x＝，故B正确．
令f(x)＝0，∴x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，∴x＝为f(x)的一个零点，故C正确．
令t＝x＋，当x∈时，t∈，
由y＝cos t的图象知y＝cos t在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
13、【答案】　－
【解析】令t＝cos x，x∈，∴t∈，y＝3t2－4t＋1＝32－.
∵y＝32－在t∈上单调递减，∴当t＝，即x＝时，ymin＝3×2－4×＋1＝－.
14、【答案】2π
【解析】作出函数y＝sin x的图象，如图所示．由图可知，
b－a的最大值为－＝， b－a的最小值为－＝.
所以最大值与最小值之和为＋＝2π.
15、【答案】　[0,1]　
【解析】根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，∴sin＝1，
∴＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋，k∈Z.又0＜ω＜2，∴ω＝.
又f(x)＝sin x，x∈∴x∈，∴当x＝，即x＝时，f(x)max＝1.
当x＝0，即x＝0时，f(x)min＝0，∴f(x)在上的值域为[0,1]．
16、【答案】8　
【解析】因为T＝＝6.所以在[0，＋∞)第一次出现最大值x＝＝，
第二次出现最大值x＝，所以t≥.又因为t∈Z，所以t的最小值为8.
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