人教A版（2019）高数 必修第一册 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一） 学案

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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）
班级 姓名
学习目标
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　函数的周期性(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的 ．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做f(x)的 ．思考　周期函数的周期是否唯一？知识点2　正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性与对称性函数y＝sin xy＝cos x图象 INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\DOC\\550.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\word\\550.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\word\\550.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\word\\550.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\0吕芳\\e\\2020年\\同步\\数学 人教A版 必修第一册（新教材）（米）\\全书完整的Word版文档\\550.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\DOC\\551.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\word\\551.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\word\\551.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "I:\\王真\\2020\\同步\\数学\\新教材\\数学人A必修第一册\\word\\551.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\0吕芳\\e\\2020年\\同步\\数学 人教A版 必修第一册（新教材）（米）\\全书完整的Word版文档\\551.TIF" \* MERGEFORMATINET 定义域周期最小正周期奇偶性对称性对称轴 对称轴 对称中心 对称中心 【即时训练】(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)A．y＝cos|2x|　　 B．y＝|sin 2x|C．y＝sin D．y＝cos(2)函数f(x)＝3sin是(　　)A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
三角函数的周期性 例1、求下列函数的最小正周期：(1) (2) (3)结论：函数及函数，的周期变式1、求下列函数的最小正周期：(1)y＝|sin x|； (2) (3)
三角函数的奇偶性 例2、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝.
三角函数的对称性 例3、写出函数的对称轴，对称中心.变式2、写出下列函数的对称轴与对称中心(1)； (2).
课后作业
一、基础训练题
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(　　)
A．5　　　　 B．10　　　　
C．15　　　　 D．20
2．(多选题)下列函数中，周期为4π的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝ D．y＝2cos x
3．下列函数中周期为，且为偶函数的是(　　)
A．y＝sin 4x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f ＝1，则f 的值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．2
5．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为(　　)
A．3 B．6 C．12 D．24
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点(，0)对称 B．关于点(，0)对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
7．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则φ可能是(　　)
A． B．－ C．－ D．
8．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.
9．函数f(x)＝sin(ω≠0)，f(x)的奇偶性是________，若f(x)的周期为π，则ω＝________.
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos 3x； (2)f(x)＝xsin(x＋π)； (3)f(x)＝sin； (4)f(x)＝|sin x|＋cos x.
11、求函数y＝sin的图象的对称轴方程与对称中心的坐标．
二、综合训练题
12．已知函数f(n)＝sin ，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)的值．
13．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是(　　)
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是奇函数
C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
三、能力提升题
14．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
15．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于(　　)
A．1 B．
C．0 D．－
16．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）
参考答案
1、【答案】B　
【解析】由已知得＝，又ω＞0，所以＝，ω＝10.
2、【答案】AD
【解析】由周期公式知A，D中的函数周期为T＝＝＝4π.B中T＝＝＝π.
∵y＝sin 的周期为T＝＝4π，∴y＝的周期为T＝2π，故选AD.
3、【答案】C
【解析】显然周期为的有A和C，又因为y＝sin＝cos 4x是偶函数，故选C.
4、【答案】B　
【解析】由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f ＝f ＝f ＝－f ＝－1.
5、【答案】B
【解析】函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，
所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6.
6、【答案】B
【解析】因为函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin(＋)．
令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，
令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．
故f(x)的对称中心为(－＋2kπ，0)(k∈Z)，对比选项可知B正确．
7、【答案】B
【解析】由题意知，当x＝时，f ＝sin＝0，故＋φ＝kπ(k∈Z)，
解得φ＝kπ－(k∈Z)．当k＝0时，φ＝－，故φ可能是－.
8、【答案】－3　[由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]
9、【答案】偶函数　±2
【解析】f(x)＝sin＝－cos ωx.∴f(－x)＝－cos(－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
10、[解]　(1)f(－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f(x)，x∈R，
所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数．
(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝sin＝－cos x，x∈R. 又f(－x)＝－cos＝－cos x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(4)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数．
11、[解]　要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝＋(k∈Z)，
即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，所以令y＝0，即sin＝0，
所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)，
故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．
12、解　∵f(x)＝sin ，∴T＝＝8，又f(1)＝sin ＝，f(2)＝sin ＝1，
f(3)＝sin ＝，f(4)＝sin π＝0，f(5)＝sin ＝－，f(6)＝sin ＝－1，
f(7)＝sin ＝－，f(8)＝sin 2π＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，又2 020＝252×8＋4，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝252[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝＋1＋＋0－－1－＝0.
13、【答案】BD　[当φ＝π时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sin x，是奇函数．
当φ＝时，f(x)＝sin＝cos x，是偶函数．
所以A、C错误，B正确．
无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确．
14、【答案】A
【解析】由题意得3cos(2×＋φ)＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos(＋φ)＝0，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
15、【答案】B
【解析】　f ＝f ＝f ＝sin ＝.
16、【答案】－9
【解析】令g(x)＝x3cos x，∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，
∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
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