人教A版（2019）高数 必修第一册 5.4三角函数的图象与性质综合应用 学案

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5.4三角函数的图象与性质综合应用
班级 姓名
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质；
2.掌握求解函数周期性、单调性、对称性与最值的方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
完成右边的内容 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域值域单调性奇偶性对称性周期性2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质周期性y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝奇偶性φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数单调性根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递减区间对称性利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 已知函数，求：函数f(x)的单调性； (2)函数f(x)的对称中心与对称轴； (3)当x在时，f(x)的范围; (4)若y=f(x+φ)是偶函数，求φ； (5)若y=f(x+θ)(|θ|＜)关于(，0)对称，求θ； (6)做出函数f(x)图像.
函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象与性质 已知函数，做出函数f(x)图像； 求函数f(x)的单调区间，对称中心与对称轴；求函数f(x)的最值及取最值时x的值； 当f(x)≥1时，求x的取值范围.
函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象与性质 已知，求：f(x)的定义域； (2)f(x)的单调区间； (3)f(x)的对称轴；(4)当f(x)＜1时，求x的取值范围.
换元法的运用 例4、(1)函数y＝cos2x＋sin x的最大值为________．(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
课后作业
一、基础训练题
1．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝－sin x D．y＝－cos x
2．设函数f(x)＝2sin,若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D．
3．(多选题)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在(，π)上单调递减
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为4π，且 x∈R，有f(x)≤f()成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A．(－，0) B．(－，0) C．(，0) D．(，0)
5．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π
C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称
6．(多选题)已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点对称 B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－
C．若x∈，则函数f(x)的最小值为＋1 D．若07．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
8．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为__________．
9．已知函数f(x)＝sin．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
二、综合训练题
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－　 B． C．－　 D．
11．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是__________．
12．求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值．
三、能力提升题
13．已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是
－2，求a和b的值．
5.4三角函数的图象与性质
参考答案
1、【答案】D
【解析】作出四个函数的图象(图略)，知y＝sin x，y＝cos x在上单调递减，不符合；
而y＝－sin x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D.
2、【答案】B
【解析】依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝T(k∈Z)．
∴当k＝0时，|x1－x2|min＝T＝×＝2.
3、【答案】ABC
【解析】A项，因为f(x)＝cos(x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos(x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos(x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，
所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos(x＋)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，
所以(，)是f(x)的单调递减区间，[，π)是f(x)的单调递增区间，D项错误．]
4、【答案】A
【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.
因为f(x)≤f()恒成立，所以f(x)max＝f()，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin(x＋)．令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(2kπ－，0)(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为(－，0)．
5、【答案】AB　
【解析】令kπ－6、【答案】BC
【解析】对于函数f(x)＝2sin＋1，
当x＝时，f(x)＝＋1，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－1，为最小值，故函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－，故选项B正确；当x∈，2x－∈，故当2x－＝或时，f(x)取得最小值为＋1，故选项C正确；若07、【答案】　
【解析】由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝.
8、【答案】－π　
【解析】由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π.
9．解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．
故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．
(2)因为当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－．
10、【答案】D
【解析】 f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin＝.
11、【答案】∪(0,1)∪　
【解析】∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3,3)上的奇函数，
从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0,1)∪.
12、[解]　y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－2＋.
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
13、[解]　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
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班级 姓名
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质；
2.掌握求解函数周期性、单调性、对称性与最值的方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
完成右边的内容 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域值域单调性奇偶性对称性周期性2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质周期性y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝eq \f(2π,ω)奇偶性φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数单调性根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z得单调递减区间对称性利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，求得其对称轴
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 已知函数，求：函数f(x)的单调性； (2)函数f(x)的对称中心与对称轴； (3)当x在时，f(x)的范围; (4)若y=f(x+φ)是偶函数，求φ； (5)若y=f(x+θ)(|θ|＜eq \f(π,2))关于(eq \f(π,2)，0)对称，求θ； (6)做出函数f(x)图像.
函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象与性质 已知函数，做出函数f(x)图像； 求函数f(x)的单调区间，对称中心与对称轴；求函数f(x)的最值及取最值时x的值； 当f(x)≥1时，求x的取值范围.
函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象与性质 已知，求：f(x)的定义域； (2)f(x)的单调区间； (3)f(x)的对称轴；(4)当f(x)＜1时，求x的取值范围.
换元法的运用 例4、(1)函数y＝cos2x＋sin x的最大值为________．(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
课后作业
一、基础训练题
1．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝－sin x D．y＝－cos x
2．设函数f(x)＝2sin,若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D．eq \f(1,2)
3．(多选题)设函数f(x)＝cos(x＋eq \f(π,3))，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(8π,3)对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝eq \f(π,6) D．f(x)在(eq \f(π,2)，π)上单调递减
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的最小正周期为4π，且 x∈R，有f(x)≤f(eq \f(π,3))成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A．(－eq \f(2π,3)，0) B．(－eq \f(π,3)，0) C．(eq \f(2π,3)，0) D．(eq \f(5π,3)，0)
5．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π
C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称
6．(多选题)已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点对称 B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－eq \f(π,12)
C．若x∈，则函数f(x)的最小值为＋1 D．若07．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
8．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,6)，则φ的值为__________．
9．已知函数f(x)＝sin．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
二、综合训练题
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－eq \f(1,2)　 B．eq \f(1,2) C．－　 D．
11．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是__________．
12．求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值．
三、能力提升题
13．已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是
－2，求a和b的值．
5.4三角函数的图象与性质
参考答案
1、【答案】D
【解析】作出四个函数的图象(图略)，知y＝sin x，y＝cos x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，不符合；
而y＝－sin x的图象虽满足在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D.
2、【答案】B
【解析】依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))T(k∈Z)．
∴当k＝0时，|x1－x2|min＝eq \f(1,2)T＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,\f(π,2))＝2.
3、【答案】ABC
【解析】A项，因为f(x)＝cos(x＋eq \f(π,3))的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos(x＋eq \f(π,3))图象的对称轴为直线x＝kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(8π,3)对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos(x＋eq \f(4π,3))．令x＋eq \f(4π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ－eq \f(5π,6)，当k＝1时，x＝eq \f(π,6)，
所以f(x＋π)的一个零点为x＝eq \f(π,6)，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos(x＋eq \f(π,3))的单调递减区间为[2kπ－eq \f(π,3)，2kπ＋eq \f(2π,3)](k∈Z)，
单调递增区间为[2kπ＋eq \f(2π,3)，2kπ＋eq \f(5π,3)](k∈Z)，
所以(eq \f(π,2)，eq \f(2π,3))是f(x)的单调递减区间，[eq \f(2π,3)，π)是f(x)的单调递增区间，D项错误．]
4、【答案】A
【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝eq \f(1,2).
因为f(x)≤f(eq \f(π,3))恒成立，所以f(x)max＝f(eq \f(π,3))，即eq \f(1,2)×eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
由|φ|＜eq \f(π,2)，得φ＝eq \f(π,3)，故f(x)＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3))．令eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(2kπ－eq \f(2π,3)，0)(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为(－eq \f(2π,3)，0)．
5、【答案】AB　
【解析】令kπ－eq \f(π,2)6、【答案】BC
【解析】对于函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，
当x＝eq \f(π,3)时，f(x)＝eq \r(3)＋1，故选项A错误；当x＝－eq \f(π,12)时，f(x)＝－1，为最小值，故函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－eq \f(π,12)，故选项B正确；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，故当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)时，f(x)取得最小值为eq \r(3)＋1，故选项C正确；若07、【答案】eq \f(3,2)　
【解析】由已知得eq \f(T,4)＝eq \f(π,3)，∴T＝eq \f(4π,3)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(3,2).
8、【答案】－eq \f(5,6)π　
【解析】由题意知2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－eq \f(5,6)π.
9．解　(1)令2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，则kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z．
故函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z．
(2)因为当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，eq \f(3π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(7π,4)，所以－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤eq \f(\r(2),2)，所以－eq \r(2)≤f(x)≤1，
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－eq \r(2)．
10、【答案】D
【解析】 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
11、【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))　
【解析】∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3,3)上的奇函数，
从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3)).
12、[解]　y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x＋\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).
因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，－eq \f(\r(2),2)≤sin x≤eq \f(\r(2),2)，
所以当sin x＝－eq \f(1,2)，即x＝－eq \f(π,6)时，函数取得最大值，ymax＝eq \f(5,4)；
当sin x＝eq \f(\r(2),2)，即x＝eq \f(π,4)时，函数取得最小值，ymin＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(2),2).
13、[解]　∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝eq \r(3)，f(x)min＝－eq \f(\r(3),2)a＋b＝－2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝\r(3)，,－\f(\r(3),2)a＋b＝－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2＋\r(3).))
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