四川省绵阳市三台县三台中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

三台中学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（ ）
A．个体 B．总体 C．样本 D．样本量
2．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
3．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（ ）
A．4 B． C．5 D．
4．国庆节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内
6．一个样本的容量为,分成组,已知第一组、第三组的频数分别是、,第二、五组的频率都为,则该样本的中位数在
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
7．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小5分，共20分．全对5分，部分选对2分，有错选0分）
9．某校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B．图中的值为0.025
C．估计全校学生成绩的中位数为86.7
D．估计全校学生成绩的80%分位数为95
10．下列命题正确的是（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若为不可能事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．事件，满足，则，是对立事件
11．有一组样本数据，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为．由这组数据得到新样本数据，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，则（ ）
A． B． C． D．
12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．点到直线的距离是 B．
C．平面与平面的夹角余弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上．）
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 .
14．某地有2000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是 ．
15．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则 .
16．在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则
四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；
(2)现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.
18．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．
样本分数段
频数 5 10 20 a 25 10
频率 0.05 0.1 0.2 b 0.25 0.1
(1)求频数分布表中a和b的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
(2)已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
19．已知空间三点
(1)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；
(2)若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标．
20．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，且是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.
(1)求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
(2)求徒弟加工该零件的精品多于师傅的概率．
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，是棱上的一点．已知，若分别是的中点，
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．如图，在平行六面体中，，，设，，
(1)求直线与夹角的余弦值；
(2)用向量法证明直线平面；
三台中学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．A
【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
可得，，，
因为点在线段上运动，设，且，
所以，可得，
又因为，所以，即.故选：A．
9．ACD 10．AB 11．AD 12．BCD
，所以选项B正确；如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
对于A：，，设，
则点到直线CQ的距离，所以A错误；
对于C： ,；
设平面的一个法向量为，则，
令可得为，设平面的法向量为，则，则所以，即平面与平面的夹角余弦值为，所以C正确；对于D，因为，，
所以，所以，
所以异面直线与所成角的正切值为，所以D正确．故选：BCD.
13． 14．80 15．0.8/ 16．
【详解】（1）在中，因为，故，
故在四棱锥中，有，
而，故平面，因平面，
所以，而，故，
而，故可建立如图所示的空间直角坐标系：
在中，因为经过的重心G（如图），连接并延长，交于H，
则，故，因为，故，
在中，，则，
设，则，故，
又，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，故，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，故，因为平面平面，
故，所以，故，所以.
17．【详解】（1）一辆中国新能源车的销售价格位于区间的概率
中国新能源车的销售价格的众数为
（2）记2辆比亚迪新能源车为，其余4辆车为，
从6辆新能源车中随机抽取2辆的情况有：，，共15种情况.
其中至少有1辆比亚迪新能源车的情况有：，，共有9种情况.至少有1辆比亚迪新能源车的概率
18．【详解】（1）由，解得：，则b=0.3
由，所以，
由成绩在的频率为0.3，所以中位数为，
．
（2）由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，
故，．
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．
19．(1)由，得，
所以，即，
又，
所以向量为一组邻边的平行四边形的面积为.
(2)设，则因为且，所以，即
，即联立，解得
解得或．所以或.
20．【详解】（1）设徒弟加工一个零件是精品的事件为A，师傅加工一个零件是精品的事件为B，则，由题知，
可得，且，所以，
所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
（2）由题意可得：①当徒弟加工两个都是精品，而师傅加工的零件精品数小于2时，概率为；
②当徒弟加工零件只有一个精品，而师傅加工的零件都不是精品时，概率为；
由①②得所求概率为.
21．【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
， ，，，
，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
取，点B到平面的距离．
（2）设平面的一个法向量为，则，即，
取，记直线AB与平面ADE所成角为θ，则.
22.【详解】（1）由题,
，
，，所以
，
所以，所以直线与夹角的余弦值为.
（2）由题图可知： ，，，
，
，
所以，，又因为平面，，
所以直线平面.