四川省绵阳市重点高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

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名称 四川省绵阳市重点高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
格式 docx
文件大小 844.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-11-28 21:17:24

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文档简介

绵阳市重点高中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)
1.从绵阳市中、小学生中抽取部分学生,进行肺活量调查.经了解,我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
2.若{,,}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中,已知点,则下列说法错误的是( )
A.点P关于坐标原点对称点的坐标为
B.点P在x轴上的射影点的坐标为
C.点P关于Oyz平面对称点的坐标为
D.点P在Oyz平面上的射影点的坐标为
4.若直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则可能使成立的是( )
A., B.,
C., D.,
5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、后从事互联网行业者的岗位分布条形图,则下列结论中不一定正确的是( )
A.互联网行业从业人员中后占一半以上
B.后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过后总人数的
C.互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数后比后多
6.某校为了迎接此次活动,对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下:
则估计两个年级学生日阅读时间的方差为( )
A.52 B.29.2 C.10 D.6.4
7.在三棱柱中,
,为上一点,且,则( )
A.2 B.3 C. D.
8.将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中与C在平面的同侧,则直线与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共4小题,每小5分,共20分.全对5分,部分选对2分,有错选0分)
9.小张 小陈为了了解自己的数学学习情况,他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析.其中小张每次测试的平均成绩是135分,全年测试成绩的标准差为6.3;小陈每次测试的平均成绩是130分,全年测试成绩的标准差为3.5.下列说法正确的是( )
A.小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B.小张测试表现时而好,时而糟糕
C.小陈比小张的测试发挥水平更稳定 D.平均来说小陈比小张数学成绩更好
10.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,则下列叙述正确的是( )
A.取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件
B.至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件
C.事件A=“两个球同色”,则
D.事件B=“至少有一个红球”,则
11.下列选项正确的是( )
A.空间向量与向量共线
B.已知向量,,,若,,共面,则
C.已知空间向量,,则在方向上的投影向量为
D.是直线上一点,是的一个方向向量,则点到直线的距离是
12.如图,在正方体中,,点,分别在棱和上运动(不含端点),若,则下列命题正确的是( )
A. B.平面
C.线段长度的最大值为1 D.三棱锥体积不变
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案直接填在答题卡中的横线上.)
13.已知直线的一个方向向量,且直线经过点和两点,则的值为 .
14.甲、乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.7,被甲或乙解出的概率为0.94,则该题被乙独立解出的概率为 .
15.中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春宫·大师》,八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习,则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为 .
16.在棱长为1的正方体中,分别是的中点,动点在底面正方形内(包括边界),若平面,则长度的最大值为 .
四、解答题(本大题共6个小题,其中17题10分,其余每小题12分,共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)
17.某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨),一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图,其中.
(1)求直方图中的值,并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表);
(2)设该市有40万居民,估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值.
18.如图,正四面体中,,分别为棱,的中点,设,,.
(1)用,,分别表示向量,;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
19.某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲 乙胜出的概率分别为,;在第二轮比赛中,甲 乙胜出的概率分别为,,甲 乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲 乙两人中选1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大?
(2)若甲 乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
20.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记下骰子朝上的点数.若用表示第一次抛掷出现的点数,用表示第二次抛掷出的点数,用表示这个试验的一个样本点.
(1)记“两次点数之和大于9”,“至少出现一次点数为3”,求事件A,B的概率;
(2)甲、乙两人玩游戏,双方约定:若为偶数,则甲胜;否则,乙获胜.这种游戏规则公平吗?请说明理由.
21.如图,直二面角中,四边形是边长为2的正方形,为上的点,且平面,
(1)求证:平面.
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
22.在梯形中,,,,为的中点,线段与交于点(如图1).将沿折起到的位置,使得二面角为直二面角(如图2).
(1)求证:平而;
(2)线段上是否存在点,使得平面平面 若存在,求出值;若不存在,请说明理由.
绵阳市重点高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学参考答案
C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D
8解:由题意,,,
如图所示,建立空间直角坐标系.则,
∴平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为,∴.故选:D.
9.BC 10.ACD 11.ABC 12.ACD
12.解在正方体中,以D为原点,以射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图: 则.
设,则,
因为,所以,即.
对于A:,则,
所以,即,故A正确;
对于B:,即与不垂直,从而与平面不垂直,故B不正确;对于C:,则,当且仅当时取等号,故C正确;
对于D:不论点如何移动,点到平面的距离为4,且为定值,
而为定值,故三棱锥的体积为定值,故D正确.
故选:ACD.
13. 14.(或) 15.(或0.4) 16.
16.解如图,以正方体的顶点为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,
则,动点在底面正方形内(包括边界),则设,且则,设平面的法向量为,则,令,则因为平面,所以,即,则,所以则,
由二次函数的性质可得当时,,时,,所以长度的最大值为.
17.解(1)由频率分布直方图可得,
又,则,,该市居民用水的平均数估计为:

(2)由频率分布直方图可得,
月均用水量不超过2吨的频率为:,则月均用水量不低于2吨的频率为:,所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为:(万);
(3)由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为:,月均用水量不超过5吨的频率为:,则85%的居民每月的用水量不超过的标准(吨),,,解得,即标准为5.8吨.
18.解(1)如图,设正四面体棱长为1,
则,

(2)由(1)知,,.
又.设异面直线与所成角为,

.
19.解(1)记事件为“甲在第一轮比赛中胜出”,为“甲在第二轮比赛中胜出”,
为“乙在第一轮比赛中胜出”,为“乙在第二轮比赛中胜出”,
则相互独立,且.因为在两轮比赛中均胜出视为赢得比赛,则为“甲赢得比赛”,为“乙赢得比赛”,
所以,.
因为,所以派甲参赛赢得比赛的概率更大.
(2)记事件为“甲赢得比赛”,为“乙赢得比赛”,
则“两人中至少有一人赢得比赛”.由(1)知,,,所以,,
所以,故两人中至少有一人赢得比赛的概率为.
20.解(1)解:依题意,抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,共有36个样本点,
其中事件,即事件包含6个样本点,
所以事件的概率为.
又由事件,即事件中包含11个样本点,所以事件的概率为.
(2)解:设事件“为偶数”,事件,
事件,可得,因为事件与事件互斥,且,所以.
因此甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,所以,故这种游戏规则不公平.
21.解(1)∵平面,平面,∴,
∵二面角为直二面角,且交线为,,平面,
∴平面,平面∴平面,∴平面.
(2)以线段AB的中点为原点O,OE, AB所在直线为x轴,y轴,过点O平行于AD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵平面,平面,∴,
在中,,为的中点,,
所以设平面的一个法向量为,
则,即,取,得又平面的法向量为,
∴,设平面与平面所成角的正弦值
为,则,∴面与平面所成角的正弦值为.
22.解(1)因为在梯形中,,,为的中点,
所以,所以四边形为平行四边形,因为线段点,所以为线段的中点,所以中,,因为平面,平面,
所以平面;
(2)因为平行四边形中,,
所以四边形是菱形,则,垂足为,
所以,,因为平面,平面,所以是二面角的平面角,
因为二面角为直二面角,所以即,
如图所示,分别以所在直线为建立空间直角坐标系,
线段上存在点,使得平面平面,
设,,因为,所以,由设平面的法向量为,则令,则可得,
由设平面的法向量为,
则令,则可得,
则,
解得, 为线段的中点,此时.
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