课件17张PPT。3.2.1 直线的点斜式方程3.2 直线的方程第三章 直线与方程复习1.倾斜角 的定义及其取值范围;直线的倾斜角的取值范围是:[00, 1800)B 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经过的一个点 和斜率 ，能否将直线上所有的点的坐标 满足的关系表示出来呢？问题问题引入 直线经过点 ，且斜率为 ，设点 是直线上不同于点 的任意一点，因为直线 的斜率为 ，由斜率公式得：即：问题引入 （1）过点 ，斜率是 的直线 上的点，其坐标都满足方程 吗？ （2）坐标满足方程 的点都在过点 ，斜率为 的直线 上吗？ 经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是过点 ，斜率为 的直线 的方程．探究概念理解 方程 由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）．直线的点斜式方程 （1） 轴所在直线的方程是什么？，或 当直线 的倾斜角为 时，即 ．这时直线 与 轴平行或重合，的方程就是问题坐标轴的直线方程 故 轴所在直线的方程是: （2） 轴所在直线的方程是什么？，或 当直线 的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时直线 与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．这时，直线 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程就是坐标轴的直线方程问题 故 轴所在直线的方程是： 例1 直线 经过点 ，且倾斜角 ，求直线 的点斜式方程，并画出直线 ．代入点斜式方程得： . 画图时，只需再找出直线 上的另一点 ，例如，取 ，得 的坐标为 ，过 的直线即为所求，如图示． 解：直线 经过点 ，斜率 ，典型例题 如果直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 ，代入直线的点斜式方程，得： 也就是：xyOlb 我们把直线与 轴交点的纵坐标b叫做直线在轴上的截距（intercept）． 该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slope intercept form）．直线的斜截式方程 观察方程 ，它的形式具有什么特点？ 我们发现，左端 的系数恒为1，右端 的系数
和常数项 均有明显的几何意义：直线的斜截式方程问题斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。 直线在坐标轴上的横、纵截距及求法：
截距的值是实数，它是坐标值，不是距离 方程 与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？一次函数中 和 的几何意义是什么？ 你能说出一次函数 及 图象的特点吗？问题直线的斜截式方程 例2 已知直线 ，试讨论：（1） 的条件是什么？（2） 的条件是什么？ 解：（1）若 ，则 ，此时 与
轴的交点不同，即 ；反之， ，且
时， ． （2）若 ，则 ；反之， 时， ．典型例题 例2 已知直线 ，试讨论：（1） 的条件是什么？（2） 的条件是什么？ 解：于是我们得到，对于直线：,且 ；典型例题（1）直线的点斜式方程：（2）直线的斜截式方程:知识小结课件15张PPT。3.2.1 直线的点斜式方程3.2 直线的方程第三章 直线与方程直线的点斜式方程 坐标（x，y）满足此方程的每一点都在直线 上. 直线 上每一点的坐标(x,y)都满足：
已知直线l经过已知点P0（x0，y0），并且它的斜率是k，求直线l的方程。l根据经过两点的直线斜率
公式，得由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。设点P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点。例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这条直线的方程。解：这条直线经过点P1（-2，3）,
斜率是 k=tan450=1代入点斜式 得用一用变式训练1.一条直线经过点P（-2，3），且与过点（-4,4）和（-3，2）的直线平行，求这条直线的方程。2.一条直线经过点P（-2，3），且与过点（-4,4）和（-3，2）的直线垂直，求这条直线的方程。变式训练3.一条直线经过点P（-2，3），且与x轴平行，求这条直线的方程。注：当直线l的倾斜角是00时，tan00=0,即k=0，这时直线l与x轴平行l的方程：y-y0=0 即y=y0特别的x轴所在的直线方程： y=0例如 一条直线经过点P（0，5），且与x轴平行，求这条直线的方程。4.一条直线经过点P（-2，3），且与y轴平行，求这条直线的方程。变式训练注：当直线l的倾斜角是900时，直线l没有斜率，这时直线l与y轴平行l的方程：x-x0=0 即 x=x0特别的y轴所在的直线方程：x=0例如 一条直线经过点P（-4，-2），且与y轴平行，求这条直线的方程。归纳总结2.经过点P（x0，y0）的直线有无数 条，可分两类:1.点斜式的局限性：
只能表示斜率存在的直线
即不能表示与x轴垂直的直线当堂练习
①经过点（- ，2）倾斜角是300的直线的方程是_______
（A）y＋ = （ x－2） （B）y+2= （x－ ）
（C）y－2= （x＋ ）（D）y－2= （x＋ ）
②已知直线方程y－3= （x－4），则这条直线经过的已知
点，倾斜角分别是_____
（A）（4，3）；π/ 3 （B）（－3，－4）；π/ 6
（C）（4，3）；π/ 6 （D）（－4，－3）；π/ 3
①经过点（- ，2）倾斜角是300的直线的方程是
（A）y＋ = （ x－2） （B）y+2= （x－ ）
（C）y－2= （x＋ ）（D）y－2= （x＋ ）
②已知直线方程y－3= （x－4），则这条直线经过的已知
点，倾斜角分别是
（A）（4，3）；π/ 3 （B）（－3，－4）；π/ 6
（C）（4，3）；π/ 6 （D）（－4，－3）；π/ 3
③直线方程可表示成点斜式方程的条件是______
（A）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在
（C）直线不过原点 （D）不同于上述答案
探究发现： k为常数时，下列方程所表示的直线过定点吗？变式训练课时小结：点斜式特殊情况：课件12张PPT。3.2.2 直线的两点式方程3.2 直线的方程第三章 直线与方程问题:若直线l经过点P1（1，2），P2（3，5），求直线l的方程。直线方程的两点式: 已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2,
y1≠y2 ），如何求出通过这两点的直线方程呢？思考:讨论：
两点式方程不适用于什么直线？
当直线没有斜率或斜率为0时,即平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线不能用点式求出它们的方程。若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有x1 ＝x2或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？当x1 ＝x2 时
方程为： x ＝x１当 y1= y2时
方程为： y= y１解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式,得：即：所以直线l的方程为：例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线讨论：
是不是任意一条直线都有截距式方程呢？截距式方程:例2: 已知三角形的三个顶点是A(-5,0)，B(3,－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：整理得：5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程。 BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：即：整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。的直线方程练习1：过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?解: ⑴ 两条练习2：那还有一条呢？y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0即：a=3把(1,2)代入得：设 直线的方程为:解：三条 ⑵ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的
绝对值相等的直线有几条? 解得：a=b=3或a=-b=-1直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x设课件12张PPT。3.2.2 直线的两点式方程3.2 直线的方程第三章 直线与方程一、复习1、什么是直线的点斜式方程？2、求分别过以下两点直线的方程
A(8, -1) B (-2 , 4)
(2) C (x1, y1) D (x2 ,y2) (x1≠x2, y1≠y2)§3.2 直线的方程（2） 若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并且x1≠x2，则它的斜率代入点斜式，得当y1≠y2时二、新课
1、直线方程的两点式§3.2 直线的方程（2）注：两点式适用于与两坐标轴不垂直
的直线。§3.2 直线的方程（2） 若直线L与x轴交点为 (a, 0)，与y轴交点为 (0, b), 其中a≠0，b≠0，由两点式 ，得即2、直线方程的截距式a 叫做直线在x轴上的截距；
b 叫做直线在y轴上的截距.§3.2 直线的方程（2）注：截距式适用于与两坐标轴不垂直
且不过原点的直线。§3.2 直线的方程（2）解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式,得：即：所以直线l的方程为：例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线讨论：
是不是任意一条直线都有截距式方程呢？截距式方程:例2: 已知三角形的三个顶点是A(-5,0)，B(3,－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：整理得：5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程。 BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：即：整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。的直线方程小结：（1）两点式：（2）截距式：§3.2 直线的方程（2）课件18张PPT。3.2.3 直线的一般方程3.2 直线的方程第三章 直线与方程
(一)填空
（二）填空
1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是____________
2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________
3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是_________ 思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程？思考2：对于任意一个二元一次方程
（A，B不同时为零）
能否表示一条直线？
总结:由上面讨论可知,
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的
二元一次方程表示,
(2)任一关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 我们把关于x,y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)
叫做直线的一般式方程,简称一般式
1.直线的一般式方程2.二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响探究：在方程 中，
1.当 时，方程表示的直线与x轴 ；
2.当 时，方程表示的直线与x轴垂直；
3.当 时，方程表示的直线与x轴______ ；
4.当 时，方程表示的直线与y轴重合 ；
5.当 时，方程表示的直线过原点.平行重合 3.一般式方程与其他形式方程的转化 （一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：T2x-y-3=0注：对于直线方程的一般式，一般作如下
约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序
排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数
项一般不出现分数；无特别说明时，最好
将所求直线方程的结果写成一般式。 （二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法例2 把直线 化成斜截式，求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。 解：将直线的一般式方程化为斜截式： ，
它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3思考：若已知直线 ，求它在x轴上
的截距．求直线的一般式方程
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出 值，则
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 值，则 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此时a=2,方程为3x+y=0.若 ，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，
有 ，即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0.
所以， l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
（2）将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限，
当且仅当 或 ，∴
综上所述，a的取值范围是 ． 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围． 小结点斜式斜率和一点坐标斜截式斜率k和截距b两点坐标两点式点斜式两个截距截距式化成一般式
课件17张PPT。3.2.3 直线的一般方程3.2 直线的方程第三章 直线与方程㈠复习提问：①直线方程有几种形式？点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k，则直线的方程是斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的截距b则直线方程是两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则直线的方程是：截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，
则直线的方程是
②上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。㈡讲解新课：①直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一
次方程。⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角α≠π/2，直线的斜
率k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？）⑵直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角α=π/2，
直线的斜率k不存在，不能用y =ｋｘ＋ｂ表示，而只能表
示成ｘ＝ａ（是否是二元一次方程？）结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程。②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）
的图象是一条直线⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+
C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合
（当C=0时）的直线。思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程
（2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。
我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是一一对应。例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是
y + 4 = -4/3 （x – 6）
化成一般式，得 4x+3y – 12=0
截距式是：
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，
则直线l的点斜式方程是___________
直线l的斜截式方程是___________
直线l的一般式方程是___________4x+3y+16=0例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图。解：将原方程移项，得2y = x+6，
两边除以2，得斜截式因此，直线L的斜率k=1/2，它在y轴上的截距是3 ，令y=0，可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6巩固训练（二）
设直线l的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为零）
根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的关系：
直线l过原点:____________
直线l过点(1,1):___________
直线l平行于 轴:___________
直线l平行于轴:____________C=0A+B+C=0例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的截距是-3；（2）斜率是-1。解：（1）由题意得(2)由题意得巩固训练（三）
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m的值是 （ ）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是__________B-6例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。解：设直线为Ax+By+C=0，∵直线过点（0，3）代入直线方程得3B= -C， B= －C/3
∴A=±C/4又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A,y= -C/B由三角形面积为6得∴方程为所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0巩固训练（四）：⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：①斜率是 – 0.5，经过点A（8，-2）；②经过点B（4，2），平行于X轴；③在x轴和y轴上的截距分别是3/2，- 3；④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；y+2= - 0.5（x-8），x+2y-4=0，y=2，y-2=02已知直线Ax+By+C=0
①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；答：C=0时，表示直线过原点。
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并画出图形：
①3x+y-5=0
②x/4 －y/5 =1
③x+2y=0
④7x－6y+4=0
⑤2y－7=0①k= - 3，B=5；②k=5/4，b= -5 ；③k= -1/2，b=0；④k=7/6，b=2/3⑤k=0，b=7/2。小结：1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的两方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程
（2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
