课件20张PPT。2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.1 直线与平面垂直的判定一.回顾复习：1.直线和平面的位置关系 :（1）直线在平面内
（2）直线和平面平行
（3）直线和平面相交 垂直是一种特殊的相交l?oDCBAmE1.直线与平面垂直的定义：如果直线 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 和平面 ? 互相垂直。记作： 垂足直线与平面的一条边垂直2.直线与平面垂直的画法：思考 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题？线面平行的判定： 空间问题 平面问题线线平行线面平行??llaa图 1图 2先试一条??allbab图 1图 2再试两条平行直线那么两条相交直线呢？直线与平面垂直 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触） 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直．3. 直线与平面垂直的判定定理：即： 如果直线 和平面 内的两条相交直线
m,n都垂直，那么直线 垂直平面 。
例1 . 如图，已知 ，求证根据直线与平面垂直的定义知因为直线 ,A例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC PB =PD .
求证：PO⊥平面ABCD 1.如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时 ？ 底面四边形 对角线相互垂直．探究三.随堂练习：ABCD证明： 2. 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。 3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC四.知识小结：间接法直接法（1）（2）数学思想方法：转化的思想课件14张PPT。2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系思考？ 一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？(一)直线与平面垂直的定义 如果一条直线 l 和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 α互相垂直. 记作l ⊥α
l叫做α的垂线, α叫做 l的垂面,
l与α的交点P叫做垂足 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l和平面 α互相垂直（ ） 思考：
（性质定理）2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b （√）
×aDBACBDC 容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。A思考（1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面α,你同意他的说法吗?（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论?判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.αα例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条
长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放
在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条
直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的
距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定与性质小结练习题CB课件20张PPT。2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习与回顾观察1：为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角。 请同学们观察下面的水坝，水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度，这个角就是两个面所成的角。观察2：当我们把教室的门打开到一定位置，门所在的面与墙所在的面也形成一个角。我们把类似这样的角成为二面角.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记为：二面角α-l-β简记：P-l-Q几个重要概念：二面角的平面角∠AOB即为二面角α-l-β的平面角说明: 1.平面角的大小与棱上点的选取无关4.直二角OABO/A/B/αβl2. 平面角的两边分别在二面角的两个面内，分别
垂直于二面角的棱。3.二面角的范围：寻找平面角D端点中点寻找平面角中点EGF 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.面面垂直的定义：(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?αβaAb图形表示记作α⊥β2.3.2平面与平面垂直的判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直平面与平面垂直的判定定理符号表示：??ABCD线面垂直面面垂直线线垂直E例题：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，Ｃ是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAＣ⊥平面PBＣ例3证明:设已知⊙O平面为α探究1：ACBDA1C1B1D1如图为正方体,问正方体中哪些表面与 垂直?请问哪些平面是互相垂直的,为什么?探究2：课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（ ）
1、判断：××4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )∪√2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（ ）√2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体
S—EFG中必有( )
SG⊥△EFG所在平面 (B) SD⊥△EFG所在平面
(C) GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面SG1G2G3EFDA学完一节课或一个内容， 应当及时小结，梳理知识 1、二面角，二面角的平面角的定义
2，平面与平面垂直的定义及判定
3、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角
（2）用面面垂直的判定定理
4、线线垂直 线面垂直 面面垂直
课件21张PPT。 2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系1、二面角的相关概念：半平面半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。 ??lABPQ二面角的表示角从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成射线—点—射线
（顶点）表示法∠AOB图形２、平面角、二面角的对比如何度量二面角的大小？能否转化为平面角来处理？你能在教室内找到二面角的例子吗？
D1CDA1ABB1C1缓慢打开教室的门，门打开的角度可以用哪个角来表示？1、二面角的平面角的定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二、二面角的平面角A O⊥ l ，B O⊥ l
答：二面角的平面角与其顶点的位置无任何关系,只与二面角的张角大小有关。问:二面角平面角的大小与平面角的顶点的位置是否有关系？ 平面角是直角的二面角叫做直二面角.相交成直二面角的两个平面,叫做互相垂直的平面.二面角的大小: 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.二面角的大小的范围:互相垂直的平面:两个平面互相垂直定义：一般地，如果两个平面相交，且其所成二面角为直二面角，则两个平面垂直。记作：画法：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
求证：α⊥β.∪ 证明： βE在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，设α∩β=CD,则B∈CD.
如果一个平面经过另一个平面的一
条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号表示：??线面垂直面面垂直线线垂直两个平面垂直的判定：（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］注：用判定定理证面面垂直3、二面角的平面角：小结4.面面垂直的判定定理: 思想：转化；平面化课件8张PPT。2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线平面之间的位置关系直线与平面垂直的性质（1）基本性质
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个
平面内的任意直线侧棱垂直于底面，侧棱
垂直于底面的任何一条
直线。PD⊥底面，则PD⊥AB，PD
⊥BC，等。（2）性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行?｝有关结论：
1、垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
2、两条平行线中一条垂直于一个平面，则另
一条也垂直于这个平面；
3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线，
则另一个平面也垂直于这条直线。练习1、如图PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是 （ ）
A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD D. PA⊥BD2、已知a、b是两条不重合的直线，
α、β、γ是三个两两不重合的
平面，给出下列四个命题：
?若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
? 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
?若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
?若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则
a∥b。其中正确命题的序号是 （ ）
A. ?? B. ?? C. ?? D. ??
OCD例1、如图，在四面体ABCD中，若AB⊥CD,AD⊥BC,
求证：AC⊥BD.O
同理，BC⊥DO，则O为△BCD的垂
心，∴CO⊥BD，∵AO⊥BD，CO∩
AO=O，
∴BD⊥平面ACO。又AC?平面ACO
∴AC⊥BD证明：过A作AO⊥平BCD，
垂足为O，连接BO、CO、DO,则AO⊥CD，
∵AB⊥CD，AB∩AO=A，∴CD⊥平面ABO，BO?平面ABO，∴CD⊥BO。例2、如图，在直三棱柱ABC —A 1B1C1中，AB=BC
=BB1, D为AC的中点，
（1）求证：B1C∥平面A1BD;
( 2 )若AC1⊥平面A1BD,求证B1C1⊥平面ABB1A1. (1)证明:连接AB1，交A1B于
E,连接DE.E∵在直三棱柱ABC —A 1B1C1中，
AB=BB1，∴侧面ABB1A1是正方形，
∴E是AB1的中点，D为AC的中点
，∴DE∥B1C，∴B1C∥平面A1BD.(2) AC1⊥平面A1BD, ∴AC1⊥A1B,又∵侧面ABB1A1是正方形∴AB1⊥A1B ，∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B ⊥B1C1. 又∵是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1. 练一练1、设l、m、n为三条不同的直线，α为一个平面，下列
命题中正确的个数是 （ ）
①若l⊥α，则l与α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n
则l⊥α；③若l //m，m//n，l⊥α，则n⊥α；④若l//m，
m⊥α，n⊥α，则l //n.
A.1 B.2 C.3 D.4C2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC
的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD.提示：连接AF.课件14张PPT。2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习回顾1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定复习回顾1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学叙述一下．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．2.请将上述命题用数学符号表示出来.若a∥b，a⊥α，则b⊥α．这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理。现在请同学们交换这个定理的题设和结论，写出新的命题．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．下面就让我们看看这个命题是否正确？ 如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α那么，直线a,b一定平行吗？研探新知:请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.已知：a⊥α，?b⊥α 求证：a∥b．分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？答：否定结论→推出矛盾→肯定结论引导：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1，在这个例题的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．层层推进，得出证明过程如下:证明：假定b与a不平行
设b∩α＝O，b′是经过点O
与直线a平行的直线，
∵?a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．
所以,经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α。
显然这是不可能的．
因此，a∥b．由此，我们得到：直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与 “垂直”之间的内在联系。学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．·例题分析,巩固新知:例1：设直线a,b分别在正方体中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什么条件？分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。解：a，b满足下面条件中的任何
一个，都能使a∥b，
（1）a，b同垂直于正方体一个面；
（2）a，b分别在正方体两个相对的
面内且共面；
（3）a，b平行于同一条棱；
（4）如图，E，F，G，H分别为B'C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面
的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面
内的射影垂直巩固深化、发展思维思考:已知平面α、β和直线a，若α⊥β，
a⊥β，则直线a与平面α具有什么位置关系？归纳小结:本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及点到平面的距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法.课件13张PPT。2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系回顾1.面面垂直的定义： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。回顾2.面面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。面面垂直的性质αβ如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？DEF(2)什么情况下α里的直线和β垂直？探究思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?直线a在平面 内面面垂直的性质面面垂直性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。面面垂直?线面垂直αβaAl例4解：设bαβalαβlγabmn在α内作直线a ⊥n证法1：设 ， ,在β内作直线b⊥m面面垂直性质线面平行判定线面平行性质在γ内过A点作直线 a ⊥n，证法2：设 ， ,在γ内过A点作直线 b⊥m，同理思考：还可以怎样作辅助线？在γ内任取一点A（不在m,n上），解法分析：
1.两种证法的共同点是：都从一个面内做交线的垂线，目的是使用面面垂直的性质定理。
2.证法2比证法1巧妙、简捷。原因是在考虑到了面面垂直的条件的同时还考虑了结论：线面垂直。因此，两条线作在γ内更有利。规律小结： 一、怎样证线线平行：1.利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……2.利用公理4:3.利用线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行4.利用面面平行的性质定理：5.利用线面垂直的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两条直线平行规律小结二、怎样证线线垂直：1.利用平面几何中的定理：半圆上的圆周角是直角、勾股定理的逆定理……2.利用平移：3.利用线面垂直定义：a⊥b,b∥c，则 a⊥ca⊥α,b ? α，则 a⊥b4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）；课件17张PPT。2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、复习引入1、平面与平面垂直的定义2、平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。提出问题：该命题正确吗？二、探索研究Ⅰ. 观察实验观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?Ⅱ.概括结论平面与平面垂直的性质定理b两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简述为：面面垂直线面垂直该命题正确吗？符号表示：Ⅲ.知识应用练习1：判断正误。已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）√××例1：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC 解题反思2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法面面垂直线面垂直性质定理判定定理例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法一：
a设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β ⊥γ ，
所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β.
因为 α ∩ β= a，
所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a，
所以 a⊥γ.
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：任取P∈a，过点P作b⊥γ.
同一法a已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
所以 b′ ‖c′,练习2：如图，已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PABE证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴PA⊥BC∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。ABCDDABCOO折成1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。三、小结反思小结线线垂直线面垂直面面垂直线线平行面面平行平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:简述为：面面垂直线面垂直B2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。
A 3 B 2 C 1 D 0B
