课件21张PPT。 第二章 数列
2.4 等比数列旧知回顾从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公差(d)d可正可负,且可以为零(学生）阅读课本，填表格从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数公比(q)
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)
d可正可负,且可以为零
一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。这个实例所包含的数学问题:新课引入观察这几个数列，看有何共同特点?细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1, 2, 4, 8 , ….2. 一尺之棰,日取其半,万世不竭.如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那
么得到的数列是
1, ____,____,____, ….3. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地
址薄，通过邮件进行传播.如果把病毒制造
者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送
病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每
一台计算机都感染20台计算机，那么在不
重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计
算机数构成的数列是：
1, 20, 202, 203 , ….4. 除了单利，银行还有一种支付利息的
方式——复利，这种复利计算本利和公
式是：本利和=本金×(1+利率)存期. 例如，现在存入银行10 000元钱，年
利率是1.98%，5年内各年末得到的本利
和（单位：万元）组成了下面的数列：1.0198, 1.01982, 1.01983, 1.01984, 1.01985.观察这几个数列，看有何共同特点?1, 2, 4, 8, 16, …,263; 1, 20, 202, 203,1.0198, 1.01982, 1.01983, ……;.①②③④观察这几个数列，看有何共同特点?1, 2, 4, 8, 16, …,263; 1, 20, 202, 203,1.0198, 1.01982, 1.01983, ……;.①②③④共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比
都等于同一个常数． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比（q,q≠0）。等比数列概念课堂互动(1) 1，3，9，27，81，… (3) 5，5，5，5，5，5，…(4) 1，-1，1，-1，1，…是,公比 q=3是,公比 q= x 是,公 比q= -1(7) (2) 是,公比 q=观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比 q=1(5) 1，0，1，0，1，…(6) 0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列等差数列通项公式的推导:方法一:(累加法)等比数列通项公式的推导：(n-1)个 式子… …方法一:累乘法… …方法二:迭代法等比数列的通项公式当q=1时，这是一个常函数。
等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为等比中项的定义 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项
在这个定义下，由等比数列的定义可得
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半
衰期为多长（精确到1年）？分析：
时间： 剩留量:
最初 1
经过1年a1=0.84
经过2年a2=0.842
经过3年a3=0.843
经过n年an=0.84n等比数列通项公式的应用解：设这种物质最初的质量是1，
经过n年，剩留量是an ，
由条件可得数列｛ an ｝是
一个等比数列。
a1=0.84，q=0.84，
an=0.84n=0.5.
解得n=4.
答：这种物质的半衰期大约为4年.例2：根据图中的框图，
写出所打印数列的前5项，
并建立数列的递推公式，
这个数列是等比数列吗？解：若将打印出来的数依次记为
a1（即A），a2，a3，……
由图可知打印出来的数依次为
1，其通项公式是把③代入① ，得把②的两边分别除以①的两边，得解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么例3： 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.课堂互动 一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它
的第1项与第4项.解：设它的第一项是 ，公比是 q ，则由题意得答：它的第一项是5，第4项是40.，因此小结1、掌握等比数列、等比数列的公比、等比中项等概念.2、掌握等比数列通项公式的一般形式3、已知等比数列通项公式中的任意三个量，能用通项公式，求另外一个量.4、能用数列的通项公式判断某个数是否是这个数列 中的项.5、会用定义证明某个数列是等比数列.课件24张PPT。 第二章 数列
2.4 等比数列复习与提问：1、等差数列的定义：
2、等差数列的通项公式：
3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
an = a1 +（n-1）d等差数列 an+1-an=d一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.实例1 观察细胞分裂的过程：构成数列：1，2，4，8，…古语：一尺之棰，
日取其半，
万世不竭。木棒每天的长度构成一个数列：
实例2实例3 银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%10000×1.0198210000×1.0198210000×1.0198310000×1.0198310000×1.0198410000×1.0198410000×1.01985①1，2，4，8，…
②
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。思考：以下数列有什么共同特点？定义等比数列： 从第 2 项起，每一项与前一项的比等于同一个常数如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母 q 表示.即： (q常数) （n≥2）① －2，1，4，7，10，13，16，19，…
② 4，16，32，64，128，256，…
③ 243，81，27，9，3，1，，，…
④ 3，3，3，3，3，3，3，…练习1、你能举出一些等比数列的例子吗？q=1练习2、指出下列数列是不是等比数列，若是，请说出其公比是多少：××思考1：等比数列的公比q能取0吗？×（4）等比数列的数学语言定义中： 无法用
替代。对等比数列的认识：（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；（1）等比数列的首项不为0；（3）公比不为0.思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？正负交替对公比q的探究： （a1 ﹥0时）当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
思考3：有无数列是既等比又等差的？注意：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.
等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
a，G，b成等比数列例：-1和10是否存在等比中项，是的话如何计算？
思考4：类比等差中项，什么是等比中项？对a，b的要求：a，b要同号。 如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示? 当n=1时，（等比数列通项公式） 如果等比数列 { }的首项是 ,公比是,那么这个等比数列的第 项 如何表示? ，… ，∵∴…如何对其加以严格的证明呢？ 想一想？证明：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：即：
此式对n=1也成立∵，… ，…………∴叠乘法推导已知数列{an}为等比数列，其首项为a1 ，公比为q，则其通项公式为：通项公式 从通项公式，想象一下等比数列的图象是怎么样的吗？等比数列通项公式的图象表示:课本50页探究（2）通项公式 数学式
子表示定 义等比数列 等差数列名 称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan = a1 +（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半
衰期为多长（精确到1年）？分析：
时间： 剩留量:
最初 1
经过1年a1=0.84
经过2年a2=0.842
经过3年a3=0.843
经过n年an=0.84n等比数列通项公式的应用例2：根据图2-4-2中的框图，
写出所打印数列的前5项，
并建立数列的递推公式，
这个数列是等比数列吗？把③代入① ，得把②的两边分别除以①的两边，得解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么例3： 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
