课件22张PPT。 第三章 不等式
3.3.1 二元一次不等式（组）
与平面区域一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？则：分配资金应该满足的条件为复习：怎么样表示现实生活中存在的一些不等关系？二元一次不等式组创设情境[分析]假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款为y元.回忆：初中一元一次不等式（组）的解集如何表示?思考：在直角坐标系内，二元一次不
等式（组）的解集又如何表示呢?例如:温故知新探讨：在平面内画一条 直线，这条直线将平面分为几个部分？这几个部分可以用怎样的式子来表示？在平面直角坐标系中，所有的点被直线 分成三类：
⑴在直线 上；⑵在直线 的左下方的平面区域内；⑶在直线 的右上方的平面区域内。新知探究-66对于平面上坐标为(3,-3)（0,0）,(-2,3),(7,0),(1,-6)的点讨论它们分别在直线的什么方位,它们的值分别为什么?(7,0)(-2,3)(1,-6)（0,0）新知探究xy注意：（1） 一般的，在平面直角坐标系中，二元一次不等式A x+ B y+ C>0表示直线A x+ B y+ C=0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界. （2） 不等式A x+ B y+ C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实现.对于直线A x+ B y+ C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x, y)待入 A x+ B y+ C，所得符号都相同，所以只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点，由所得符号确定A x+ B y+ C>0在哪 一侧.判断方法：新知探究 （1）二元一次不等式Ax+By+C>0(A,B不全为0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。 （2）由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。注意：新知探究小诀窍如果C≠0,可取(0,0);
如果C＝0,可取(1,0)或(0,1).判断方法：
直线定界,特殊点定域归纳提升：O新知探究例1、画出不等式
2x+y-6<0
表示的平面区域。362x+y-6<02x+y-6=0
例题讲解练习1. 画下列不等式表示的区域：
⑴ x－ｙ＋１＜0 ⑵２ｘ＋３ｙ≥6 （３） 2x+y＞0
左上方注：若不等式不取＝，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。课堂练习分析：不等式组表示的平面区域
是各不等式所表示的平面点
集的交集，因而的各个不等
式所表示的平面区域的公共
部分。解： 不等式ｘ－ｙ＋５≥０表示
直线ｘ－ｙ＋５＝０上及右
下方的点的集合，ｘ＋ｙ≥０表示直线ｘ＋ｙ＝０上及右上方的点的集合，x+y=0x－y+5=0例题讲解35-5x-y+5=0x+y=0x=3如果让你求围成的三角形的面积，你能求么？探索新知上式加上一个条件x≤3, 平面区域会是什么图形?变式4-2 练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域2注：画图应非常准确，否则可能得不到正确结果。课堂练习 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。 确定步骤：
直线定界，特殊点定域；
若C≠0，则直线定界，原点定域；小结 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。 确定步骤：
直线定界，系数定域；
课堂小结１，根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：x-y+1<0探索提高例3、用不等式（组）表示由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域。探索提高例4 、要将两种大小不同的钢板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型今需要Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格的成品分别为15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求。新知探究解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则2x+y≥15X+2y≥18X+3y ≥27x ≥0y ≥00246810121416182022242628246810121416182x+y=15X+2y=18X+3y=27新知探究(A)(B)(C)(D)(A)探索提高 ⑴ 二元一次不等式表示平面区域⑵ 二元一次不等式表示哪个平面
区域的判定方法(系数法、特值法） ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域(每
个二元一次不等式表示区域的公共部分) 数学思想：数形结合、化归、分类讨论小结课件14张PPT。 第三章 不等式
3.3.1 二元一次不等式（组）
与平面区域实 例 ----- 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？分配资金应该满足的条件为①②③④ 满足二元一次不等式（组）的x与y的取值构成有序实数对（x, y),所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标。于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点的构成的集合。思考------二元一次不等式在直角坐标系中所表示的图形？先研究一个具体的二元一次不等式
x－y<6
的解集所表示的图形。x 平面内所有的点被直线x－y=6分成三类：
在直线x－y=6上的点；
在直线x－y=6左上方的区域内的点；
在直线x－y=6右下方的区域内的点。思考：当点Ａ与点Ｐ有相同的横坐标时，
他们的纵坐标有什么关系？直线l左上
方点的坐标与不等式x－y＜6有什么
关系？直线l右下方点的坐标呢？设点Ｐ（x , y1) 是直线上的点，选取点Ａ满足不等式x - y< 6.12435761234560y-3-2-1-1-2-3-4-5-6 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x－y < 6的解为坐标的点都在直线l的左上方 不等式 x－y < 6表示直线 x- y = 6 左上方的平面区域二元一次不等式x－y>6表示直线x- y=6右下方的平面区域直线x- y=6叫做这两个区域的 边 界注意：这里我们把直线x- y=6化成虚线，以表示区域不包括边界。注意：（1） 一般的，在平面直角坐标系中，二元一次不等式
A x+ B y+ C>0
表示直线A x+ B y+ C=0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界. （2） 不等式A x+ B y+ C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实现. 对于直线A x+ B y+ C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x, y)待入 A x+ B y+ C，所得符号都相同，所以只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点，由所得符号确定A x+ B y+ C>0在哪 一侧.
判断方法：例1、画出不等式 x + 4y < 4 表示的平面区域。解：先作出边界 x+4y = 4，因为这条线上的点都不满足x+4y<4，所以画成虚线取原点（0，0），代入x+4y－4，因为0+4×0－4 = - 4＜0所以原点（0，0）在x+4y-4＜0表示的平面区域内，不等式x+4y<4表示的平面区域在直线x+4y=4 的左下方。x+4y<4练习----1、不等式x－2y+6>0表示的平面区域在直线的x －2y+6=0的（ ）
右上方 B. 右下方
C、左上方 D、左下方2、不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是（ )ＡＢＣＤXYxyxyxyxＤB归纳-----对于直线Ax + By + C = O（1）若A>0,B<0Ax+By+C<0在左上方Ax +B y+ C>0在右下方(2)A>0,B>0Ax +B y+ C>0在右上方Ax+By+C<0在左下方例 2、用平面 区域表示不等式组y<-3x+12
x<2y的解集。分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分。解：不等式y<-3x+12即3x+ y－12＜0，表示的平面区域在直线3x+ y－12=0的左下方；不等式x<2y即x－2y＜0，表示的是直线x－2y=0的左上方的区域取两区域重叠的部分，即阴影部分就表示原不等式组的解集例3 、要将两种大小不同的钢板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型今需要Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格的成品分别为15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求。解：设需要截第一种钢板x张，第二种
钢板y张，则2x+y≥15X+2y≥18X+3y ≥27x ≥0y ≥00246810121416182022242628246810121416182x+y=15X+2y=18X+3y=27例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x,y分别为计划生产甲、乙两种
混合肥料的车皮数，于是满足以下条件4x+y≤1018x+15y ≤66x≥0y ≥04x+y=1018x+15y =66课件22张PPT。 第三章 不等式
3.3.2 简单的线性规划问题问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,
每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,
每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,
该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和
12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有
可能的日生产安排是什么? 若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙
种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?把问题1的有关数据列表表示如下:设甲,乙两种产品分别生产x,y件,将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y
都是有意义的.设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:问题：求利润2x+3y的最大值.若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?当点P在可允许的取值范围变化时,M（4，2）问题：求利润z=2x+3y的最大值.象这样关于x,y一次不等
式组的约束条件称为
线性约束条件Z=2x+3y称为目标函数,(因这里
目标函数为关于x,y的一次式,又
称为线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数
的最值问题,统称为线性规划,满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最值的可行解叫做这个
问题的最优解变式：若生产一件甲产品获利1万元，
生产一件乙产品获利3万元，采用哪种
生产安排利润最大？N（2，3）变式：求利润z=x+3y的最大值.解线性规划问题的步骤： （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行
线中，利用平移的方法找出与可行
域有公共点且纵截距最大或最小的直线 （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；体验:二、最优解一般在可行域的顶点处取得．三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．一、先定可行域和平移方向，再找最优解。例1、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率
为－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。 xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，
截距2z最大，即z最大。 答：生产甲种、乙种肥料各
2车皮，能够产生最大利
润，最大利润为3万元。M容易求得M点的坐标为
（2，2），则Zmax＝3例2、要将两种大小不同规格的钢板截成A、 B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，可得2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.答:(略)作出一组平行直线z= x+y，目标函数z=x+y打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线x+y=11.4继续向上平移,2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 作出一组平行直线z = x+y，目标函数
z = x+y当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线x+y=12x+y=12解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)调整优值法[练习]解下列线性规划问题：1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约
束条件：Zmin=-3Zmax=3练习题1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？解： 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为Z千元，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是 Z＝ 3x＋2y 变形为 它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。XYO400200250500 当直线经过点M时，截距最大，Z最大。M解方程组可得M（200，100）Z 的最大值Zmax ＝
3x＋2y＝800（千元）故生产甲产品200件，
乙产品100件，收入最大，
为80万元。小 结：二元一次不等式表示平面区域直线定界， 特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解求解方法：画、移、求、答课件19张PPT。 第三章 不等式
3.3.2 简单的线性规划问题如果若干年后的你成为某工厂的厂长，你将会面对生产安排、资源利用、人力调配的问题……应用举例应用举例zmax=2×4+3×2=14线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 解线性规划问题的步骤： 2、在线性目标函数所表示的一组平行
线中，用平移的方法找出与可行域有公
共点且纵截距最大或最小的直线；
（注意y的系数“+，-”） 3、通过解方程组求出最优解； 4、作出答案。 1、画出线性约束条件所表示的可行域；画移求答解线性规划应用问题的一般步骤：
1、理清题意，列出表格；
2、设好变元，列出线性约束条件 （不等式组）与目标函数；
3、准确作图；
4、根据题设精确度计算。例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成表格0.1050.1050.070.140.140.070.0750.060.06解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B， 总成本为z，那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/7 它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。M 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张约束条件是作出可行域见课本图3.3-12目标函数是z=x+y此问题中，钢板张数为整数，在一组平行直线x+y=t中（t为参数），经过的整点是B(3,9) 和C(4,8),它们是最优解虽然直线经过点A时，与原点距离最近，经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x+y=12,
但是由得即点A( , )坐标不是整点，不合题意
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，截第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张。练习1、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为
－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。 xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，
截距2z最大，即z最大。 故生产甲种、乙种肥料各
2车皮，能够产生最大利润，
最大利润为3万元。M 容易求得M点的坐标为
（2，2），则Zmin＝3练习2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？ 解 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是 Z＝ 3x＋2y 变形为 它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。XYO400200250500 当直线经过点M时，截距最大，Z最大。M解方程组可得M（200，100）Z 的最大值Z ＝
3x＋2y＝800故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。
