课件19张PPT。 第三章 不等式
3.4 基本不等式：2002年国际数学家大会会标 创设情境、体会感知：第24届国际数学家大会于2002年8月在北京举行，大会会标看上去像一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。赵爽弦图ADCBHGFE
问：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？一 、探究易得:即:(当 时,=号成立)证明:综合(1),(2),得注意:2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当 用 去替换
中的 ,能得到什么结论? 基本不等式证明:(1)换元法(2)作差法
(3)分析法
要证 ①
只要证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证 ④
显然,④是成立的.当且仅当a=b时, ④中的等号成立. 两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 注意:（当且仅当a=b时，等号成立）例1:证明:证明:(1)用篱笆围一个面积为 的矩形菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?(2).一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例2:∴ 2（x+y）≥40一正二定三相等(2)设长xm,宽ym,则2(x+y) =36, x+y=18面积为xy m2归纳小结：（1）两个正数的 积 为定值，和有最小值（2）两个正数的 和 为定值，积有最大值应用要点：二定一正三相等练习小结归纳：1、求解应用题的方法与步骤：
（1）弄清题意（审题）
（2）建立数学模型（列式）
（3）用所掌握的数学知识解决问题（求解）
（4）回应题意下结论（作答）2、应用基本不等式求最值时，必须要考虑三个条件：一正、二定、三等3、求函数的最值要依据函数的定义域来求解课件21张PPT。 第三章 不等式
3.4 基本不等式： 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ab1、正方形ABCD的
面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿＿３、S与S’有什么
样的不等关系？ 探究１：S____S′问：那么它们有相等的情况吗？>重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式 的证明吗？证明：（作差法） 结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围：a,b∈R问题一问题一替换后得到： 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二证明：要证 只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法问题二证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a, b表示CD? CD=______①如何用a, b表示OD? OD=______你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a, b表示CD? CD=______①如何用a, b表示OD? OD=______③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD＞≥如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCaba=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式 例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=yABDC若x、y皆为正数，
则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值_______.例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为xy m2得 xy ≤ 81当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，
则当x+y的值是常数S时，
当且仅当x=y时，
xy有最大值_______；①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.一“正”
二“定”
三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意基本不等式在实际问题中的应用例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容
积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使
总造价最低？最低总造价是多少？分析：水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。根据题意，得由基本不等式与不等式的性质，可得即所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。
