课件16张PPT。 第三章 函数的应用
3.1.1 方程的根与函数的零点思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？我们知道，令一个一元二次函数的函数值y＝0，则得到一元二次方程
问题1 观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。没有交点(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=01.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。结 论: 无实数根x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-32.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。若将上面特殊的一元二次方程推广到一般
的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应
的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴
交点的关系，上述结论是否仍然成立？问题2△>0△=0
判别式△ =
b2－4ac方程ax2 +bx+c
=0(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图象函数的图象
与 x 轴的交点△<0
(x1,0)
(x2,0)没有实根没有交点两个不相等
的实数根x1 、x2有两个相等的实数根x1 = x2
(x1,0)结 论1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的
个数。
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横
坐标。 对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point)。方程f(x)=0有实数根函数零点的定义：等价关系结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.例1 求下列函数的零点X=X=3或x=-1X=0X=9零点存在性探究（1）观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:②在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点x＝ ，有f(2) 0,f(4) 0
f(2)·f(4) 0 （填<或>)。xy0－132112－1－2－3－4－24-1><<3<><思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与 函数零点是否存在某种关系？ （Ⅱ）观察下面函数的图象由以上两步探索，
你可以得出什么
样的结论？ 有< 有 有<< 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。零点存在性定理：2.若f(x)在（a,b）内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0吗？思考1.若f(a)·f(b)<0,则f(x)在（a,b）内就有零点吗？对函数零点存在性的判定要注意四点：1.函数的图象既要在区间[a,b]上连续，
又要在区间[a,b]端点处的函数值异号,则存在零点。2.函数在区间[a,b]上连续，且存在零点，
在区间[a,b]端点的函数值可能异号也可能同号。3.函数f(x)在[a,b]上是单调函数，
如果f(a)f(b)<0,那么这个函数在(a,b)上恰好有唯一的零点；
如果f(a)f(b)>0，那么这个函数在区间(a,b)上没有零点。4.只能用来判断函数零点的存在性，不能用来
判断函数零点的个数。由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。 由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表
和图象－4 －1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)
内的零点有1004个，则f(x)的零点个数为 个。2.20091 课堂小结： １、函数零点的定义；2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法。课件36张PPT。 第三章 函数的应用
3.1.1 方程的根与函数的零点观察下列三组方程与相应的二次函数 复 习 引 入练习1. 利用函数图象判断下列方程有没
有根，有几个根：(1) －x2＋3x＋5＝0；
(2) 2x(x＋2)＝－3；
(3) x2＝4x－4；
(4) 5x2＋2x＝3x2＋5.讲 授 新 课函数零点的概念：讲 授 新 课 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0
的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.函数零点的概念：探究1 如何求函数的零点？探究2 零点与函数图象的关系怎样？探究1 如何求函数的零点？方程f (x)＝0有实数根
?函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
?函数y＝f (x)有零点探究2 零点与函数图象的关系怎样？探究1 如何求函数的零点？探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.探究3 二次函数的零点如何判定?探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.探究3 二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac.2. 求函数y＝－x2－2x＋3的零点. 练习2. 求函数y＝－x2－2x＋3的零点. 练习零点为－3，1.3. 判断下列函数有几个零点练习请同学们自己做出判断练习4. 求函数y＝x3－2x2－x＋2
的零点，并画出它的图象.零点为－1，1，2.-2-4-22B2xyO4. 求函数y＝x3－2x2－x＋2
的零点，并画出它的图象.练习4零点为－1，1，2.4-2-4-22B2xyO4. 求函数y＝x3－2x2－x＋2
的零点，并画出它的图象.练习零点为－1，1，2.x探究4yO结 论 如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区
间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，
使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0
的根.练习1. 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一
解，则a的取值范围是 ( )A. a＜－1 B. a＞1
C. －1＜a＜1 D. 0＜a＜1 练习1. 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一
解，则a的取值范围是 ( B )A. a＜－1 B. a＞1
C. －1＜a＜1 D. 0＜a＜1 2．函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图象是
连续不断的曲线，且f(a) f(b)＜0，则函
数y＝f(x)在区间(a, b)内 ( A )A. 至少有一个零点
B. 至多有一个零点
C. 只有一个零点
D. 有两个零点练习2．函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图象是
连续不断的曲线，且f(a) f(b)＜0，则函
数y＝f(x)在区间(a, b)内 ( A )A. 至少有一个零点
B. 至多有一个零点
C. 只有一个零点
D. 有两个零点练习3．若函数f(x)的图象是连续不断的，
且f(0)＞0， f(1)f(2)f(4)＜0，则下列
命题正确的是 ( )A. 函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B. 函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C. 函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D. 函数f(x)在区间(0，4)内有零点练习A. 函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B. 函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C. 函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D. 函数f(x)在区间(0，4)内有零点练习3．若函数f(x)的图象是连续不断的，
且f(0)＞0， f(1)f(2)f(4)＜0，则下列
命题正确的是 ( D )练习4. 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一
解，则a的取值范围是 ( )A. a＜－1 B. a＞1
C. －1＜a＜1 D. 0＜a＜1 练习4. 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一
解，则a的取值范围是 ( B )A. a＜－1 B. a＞1
C. －1＜a＜1 D. 0＜a＜1 课 堂 小 结1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课 堂 小 结1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
2. 数学思想方面：
函数与方程的相互转化，即转化思想
借助图象探寻规律，即数形结合思想.课件26张PPT。 第三章 函数的应用
3.1.2 用二分法求方程的近似解复习思考：1.函数的零点2.零点存在的判定3.零点个数的求法 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 对于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解, 但对于(2)的方程，我们却没有公式可用来求解. 思考问题： 请同学们观察下面的两个方程，说一说你会用什么方法来求解方程. 游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这部手机的价格。 利用我们猜价格的方法，你能否求解方程lnx+2x-6=0 ?
如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？合作探究思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？16枚金币中有一枚略轻,是假币看生活中的问题模拟实验室16枚金币中有一枚略轻,是假币模拟实验室模拟实验室我在这里模拟实验室模拟实验室我在这里模拟实验室模拟实验室模拟实验室我在这里模拟实验室模拟实验室模拟实验室哦，找到了啊！ 通过这个小实验，你能想到什么样的方法缩小零点所在的范围呢？所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。例1：求方程lnx＝－2x＋6的近似解(精确度为0.0 1)。解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐标就是方程lnx＝－2x＋6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解，记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得：f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875) f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625) f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3)
f(2.5)<0, f(2.75)>0 x1∈(2.5,2.75) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625) 对于在区间 上连续不断且 的函
数 ,通过不断地把函数 的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
零点近似值的方法叫做二分法(bisection).二分法概念用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ；2、求区间（a,b）的中点x1，3、计算f(x1) （1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；（2）若f(a).f(x1)<0，则令b= x1（此时零点x0∈(a, x1) );（3）若f(x1).f(b)<0，则令a= x1（此时零点x0∈( x1,,b));4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
周而复始怎么办? 精确度上来判断.定区间，找中点， 中值计算两边看.同号去，异号算， 零点落在异号间. 口 诀例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下： 因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点x1=1.5， f(1.5)= 0.33，因f(1)·f(1.5)<0所以x0 ∈（1，1.5）取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈ （1.375，1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1所以，原方程的近似解可取为1.4375 转化思想逼近思想数学
源于生活数学
用于生活小结二分法数形结合1.寻找解所在的区间2.不断二分解所在的区间3.根据精确度得出近似解用二分法求
方程的近似解算法思想生活中也常常会用到二分法思想： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
???????如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢。
???????想一想，维修线路的工人师傅至少经过几次查找使故障范围缩小到50~100m左右？答 案：小结1.二分法的定义；2.用二分法求函数零点近似值的步骤。课件55张PPT。 第三章 函数的应用
3.1.2 用二分法求方程的近似解复 习 引 入 函数f(x)＝lnx＋2x－6＝0在区间(2，3)
内有零点如何找出这个零点？游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，
请同学们猜一下下面这部手机的价格.游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，
请同学们猜一下下面这部手机的价格.思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，
请同学们猜一下下面这部手机的价格. 利用我们猜价格的方法，你能否求
解方程lnx＋2x－6＝0?如果能求解的话，
怎么去解？思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？探究f(2)<0, f(3)>0f(2)<0, f(3)>02.5f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>0(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625f(2.625)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625f(2.625)>0(2.5, 2.625)f(2.5)<0, f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0(2.5, 3)f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0(2.5, 2.75)f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625f(2.625)>0(2.5, 2.625)f(2.5)<0, f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0(2.5, 2.5625)f(2.5)<0,
f( 2.5625)>02.53125f(2.53125)<0讲 授 新 课二分法的定义讲 授 新 课 对于在区间[a，b]上连续不断且
f (a)·f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不
断地把函数f(x)的零点所在的区间一
分为二，使区间的两个端点逐步逼
近零点，进而得到零点近似值的方
法叫做二分法.二分法的定义用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；(2) 若f(a)·f(c)＜0, 则令b＝c(此时零点x0∈(a,c))；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；(2) 若f(a)·f(c)＜0, 则令b＝c(此时零点x0∈(a,c))；(3) 若f(c)·f(b)＜0, 则令a＝c(此时零点x0∈(c,b)).用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；(2) 若f(a)·f(c)＜0, 则令b＝c(此时零点x0∈(a,c))；(3) 若f(c)·f(b)＜0, 则令a＝c(此时零点x0∈(c,b)).4.判断是否达到精确度?: 即若|a－b|＜?，则得
到零点近似值a(或b), 否则重复2~4.例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个
正实数零点(精确到0.1).列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表例2 借助计算器或计算机用二分法求方
程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).例2 借助计算器或计算机用二分法求方
程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).列表因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)=2x＋3x－7在
(1, 2)内有零点x0，取(1, 2)的中点x1=1.5，
f(1.5)=0.33，因为f(1)·f(1.5)<0
所以x0∈(1, 1.5).取(1, 1.5)的中点x2=1.25，f(1.25)=－0.87，
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25, 1.5).因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)=2x＋3x－7在
(1, 2)内有零点x0，取(1, 2)的中点x1=1.5，
f(1.5)=0.33，因为f(1)·f(1.5)<0
所以x0∈(1, 1.5).同理可得， x0∈(1.375, 1.5)，
x0∈(1.375, 1.4375)，
由于 |1.375－1.4375|=0.0625<0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.4375.取(1, 1.5)的中点x2=1.25，f(1.25)=－0.87，
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25, 1.5).因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)=2x＋3x－7在
(1, 2)内有零点x0，取(1, 2)的中点x1=1.5，
f(1.5)=0.33，因为f(1)·f(1.5)<0
所以x0∈(1, 1.5).课 堂 小 结1. 二分法的定义；
课 堂 小 结1. 二分法的定义；
2. 用二分法求函数零点近似值的步骤.
