课件83张PPT。 第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型（1）一、实例分析
投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.（底数a>0） 例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描
述这些数量关系？
问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案
分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描
述一下三个方案的特点吗？
问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，
则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；
方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；
方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.
三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析. 我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）。再作出三个函数的图象（图3.2-1）。 由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的. 从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：因此，投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？
问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？
问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2） 观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断. 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 ，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有成立. 令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3）由图象可知它是递减的，因此
f(x)
即
log7x+1<0.25x.
所以当x∈[10,1000]时，
说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.课堂小结 通过师生交流进行小结：
确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 3.2.1 几类不同增长的函数模型（2）新课 1．通过图、表比较y=x2，y=2x两个函数的增长速度. 利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表1）. 再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图1）从表1和图1可以看到，
y=2x和y=x2的图象有两个交点，
这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x>x2，有时2x在区间(0,+∞)上，总有x2 >log2x.3．说说函数y=2x，y=x2，y=log2x的增长差异.在区间(0,+∞)上，总有x2>log2x；
当x>4时，总有2x>x2.
所以当x>4时，总有2x>x2>log2x.4．一般的，在区间(0,+∞)上，
尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，
但它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x的增大，
y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，
而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有
logax在区间(0,+∞)上，存在一个x0,当x>x0时，总有在区间(0,+∞)上，总存在一个x0,当x>x0时，总有
xn>ax>logax（n<0,0 （2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象.解：（1）阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图3.2-7，有这个函数的图象如图3.2-8所示.例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.表3-8是1950~1959年我国人口数据资料： （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解： （1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.
由 55196（1+r1）=56300，
可得1951年的人口增长率
r1≈0.0200.
同理可得，
r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，
r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为
r=（r1+r2+… +r9）÷9≈0.0221.
令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t，t∈N. 根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象（图3.2-9）. 由图3.2-9可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t（t∈N），
由计算器可得
t≈38.76. 所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.课堂练习1. 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是____________2. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？解：设第一轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3台……被感染，
依题意有
a5=10×204=1600000
答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染. 3.2.2 函数模型的应用举例（2）例1. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表3-9所示.课堂例题 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：根据表3-9，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.
设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为
480-40（x-1）=520-40x（桶）.由于x>0，且520-40x>0，即0 y=(520-40x)x-200
=-40x2+520x-200，0 易知，当x=6.5时，y有最大值.
所以，只需将价格单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 例2. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表3-10. （1）根据表3-10提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？分析：根据表3-10的数据画出散点图（图3.2-10） 观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系. 思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型.解： （1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图3.2-10. 根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y=a·bx得：用计算器算得这样，我们就得到一个函数模型： 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3.2-11） 可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x，得
y=2×1.02175，
由计算器算得
y≈63.98.
由于 78÷63.98≈1.22>1.2，
所以，这个男生偏胖.建立函数模型解决实际问题的基本过程；收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题检验不符合实际符合实际例3. 北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解：设每天报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有
y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250)
=0.5x+625，x∈[250,400].
因为函数y在[250,400]上单调递增，
所以x=400时，ymax=825（元）.
答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20元 B.18元 C.16元 D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ) A.95元 B.100元 C.105元 D.110元CAy=(90+x-80）（400-20x)课后练习3．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）
A．5～7km B．9～11km C．7～9km D．3～5kmA4．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ） （参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
A．5 B．10 C．14 D．15C5．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．2500课件68张PPT。 第三章 函数的应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型复 习 引 入讲 授 新 课例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有
三种投资方案供你选择，这三种方案的回
报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回
报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，
解：设第x天所得回报是y元，
则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；解：设第x天所得回报是y元，
则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；
方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行
描述；解：设第x天所得回报是y元，
则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；
方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行
描述；
方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)
进行描述.20406080100120246810Oyx 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点. 我们看到，底为
2的指数函数模型
比线性函数模型增
长速度要快得多.从中你对“指数爆
炸”的含义有什么
新的理解？
20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x 根据以上的分
析，是否应作这样
的选择: 投资5天以
下选方案一，投资
5~8天选方案二，
投资8天以上选方
案三？y＝0.4×2x－1例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，
准备制定一个激励销售部门的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进
行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润
x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数
不超过5万元，同时奖金总数不超过利润
的25%，现有三个奖励模型：
y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x，
其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是
依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超
过5万元，同时奖金不超过利润的25%，
由于公司总的利润目标为1000万元，所以
部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个
模型是否符合公司要求即可.分析：某个奖励模型符合公司要求，就是
依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超
过5万元，同时奖金不超过利润的25%，
由于公司总的利润目标为1000万元，所以
部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个
模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数
的图象，得到初步的结论再通过具体计算，
确认结果.812345672004006008001000Oyx图象812345672004006008001000Oyxy＝5图象812345672004006008001000y＝0.25xOyxy＝5图象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1Oyxy＝5图象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5图象解： 借助计算机作出函数y＝0.25x， y＝log7x＋1，
y＝1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10,1000]
上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在
直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终
在y＝5的下方，这
说明只有按模型
y＝log7x＋1进行
奖励时才符合公
司的要求，下面
通过计算确认上
述判断. 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增，
而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，
所以该模型不符合要求；解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增，
而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，
所以该模型不符合要求； 对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算
器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足
1.002x＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当
x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增，
而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，
所以该模型不符合要求； 对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算
器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足
1.002x＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当
x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求； 对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000] 上递
增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，
所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 解： 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有 成立.解： 令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计
算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，
因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时， 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有 成立.解：模型y＝log7x＋1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.. 说明按 令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计
算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，
因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时， 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有 成立. 综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司
要求. 解：模型y＝log7x＋1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.. 说明按归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认
真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背
景和意义，设法用数学语言来描述问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领
悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的
简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题
中关键或主要的变量.
(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联
想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的
数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符
号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、
不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认
真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背
景和意义，设法用数学语言来描述问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领
悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的
简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题
中关键或主要的变量.
(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联
想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的
数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符
号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、
不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认
真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背
景和意义，设法用数学语言来描述问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领
悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的
简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题
中关键或主要的变量.
(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联
想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的
数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符
号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、
不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建
立的数学模型进行求解.
(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检
验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定
模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建
模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻
合，要对计算的结果作出解释并给出其实际
意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果
模型与实际问题有较大出入，则要对模型改
进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建
立的数学模型进行求解.
(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检
验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定
模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建
模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻
合，要对计算的结果作出解释并给出其实际
意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果
模型与实际问题有较大出入，则要对模型改
进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建
立的数学模型进行求解.
(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检
验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定
模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建
模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻
合，要对计算的结果作出解释并给出其实际
意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果
模型与实际问题有较大出入，则要对模型改
进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤 理解问题
(2) 简化假设
(3) 数学建模
(4) 求解模型
(5) 检验模型
(6) 评价与应用归纳总结中学数学建模的主要步骤知识讲 授 观察函数与的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲 授 观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲 授 观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲 授 观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲 授 比较函数的增长快慢.比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO你能分别求出使成立的x的取值
范围吗？30282624222018161412108642510xyO放大后
的图象① 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和
幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0, ＋∞)上，
无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范
围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于
xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0
时，就会有ax＞xn.规律总结②对于对数函数y＝logax (a＞1)和幂函数
y＝xn(n＞0)在区间(0, ＋∞)上，随着x的
增大，logax增长得越来越慢.在x的一定
变化范围内，logax可能会大于xn，但由
于logax的增长慢于xn的增长，因此总存
在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.规律总结③在区间(0, ＋∞)上，尽管函数y＝ax
(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y = xn(n＞0)
都是增函数，但它们的增长速度不同，
而且不在同一个“档次”上.随着x的增
长，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，
会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长
速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则
会越来越慢.因此，总会存在一个x0，
当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.规律总结例3 同一坐标系中，函数
y＝x2＋7和y＝2x的图象
如图.试比较x2＋7与2x的
大小.5040302010510y＝x2＋7y＝2xxyO例4 已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象
如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小.4321-124xyOy＝x2y＝log2(x＋1)1. 下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数
C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立
D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立练习1. 下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数
C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立
D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立练习2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，
下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快
B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢
C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y＝xn与y＝ax的增长速度
D. 以上都不正确 练习2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，
下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快
B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢
C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y＝xn与y＝ax的增长速度
D. 以上都不正确 练习3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和
y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B )A. y＝logax(a＞1) B. y＝bx(b＞1)
C. y＝xc(c＞0) D. 无法确定练习3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和
y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B )A. y＝logax(a＞1) B. y＝bx(b＞1)
C. y＝xc(c＞0) D. 无法确定练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.5432124xyOABC练习y＝2x5432124xyOABC练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.5432124xyOABC练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.y＝2xy＝x1.4y＝2xy＝x1.45432124xyOABCy＝lnx练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.课 堂 小 结1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异；
课 堂 小 结1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异；
2. 直线上升、指数爆炸、对数增长
等不同函数类型增长的含义.课件42张PPT。 第三章 函数的应用
3.2.2 函数模型的应用实例复 习 引 入一次函数、二次函数的
解析式及图象与性质.例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率
与时间的关系如图所示.(1) 求图中阴影部分
的面积，并说明所
求面积的实际含义；分段函数模型的应用解：（1）阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率
与时间的关系如图所示.3. 分段函数模型的应用(2)假设这辆汽车的里
程表在汽车行驶这段
路程前的读数为2004
km, 试建立行驶这段
路程时汽车里程表读
数skm与时间th的函
数解析式, 并作出相
应的图象.(2)函数解析式2000210022002300240012345tsO(2)函数解析式函数图象解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
2. 抽象成数学模型；
解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
2. 抽象成数学模型；
3. 求出数学模型的解；
解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
2. 抽象成数学模型；
3. 求出数学模型的解；
4. 做答.解题方法：归 纳总 结解决应用用问题的步骤：
解决应用用问题的步骤：
读题总 结解决应用用问题的步骤：
读题—列式总 结解决应用用问题的步骤：
读题—列式—解答.总 结复 习1. 一次函数模型的应用2. 二次函数模型的应用3. 分段函数模型的应用例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.
认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人
口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马
尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然
状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经
过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口
的年平均增长率.讲 授 新 课指数函数模型的应用下表是1950~1959年我国的人口数据资料：解： （1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.
由 55196（1+r1）=56300，
可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200.
同理可得，
r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250， r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为
r=（r1+r2+… +r9）÷9≈0.0221.
令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t，t∈N.根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象（如图）.由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的
人口达到13亿？下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t（t∈N），
由计算器可得
t≈38.76. 所以，如果按上表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力. 用已知的函数模型刻画实际的问题
时，由于实际问题的条件与得出已知模
型的条件会有所不同，因此往往需要对
模型进行修正. 小 结：例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均
值如下表例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均
值如下表y＝2×1.02x例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均
值如下表（2）将x=175代入y=2×1.02x，得
y=2×1.02175，
由计算器算得
y≈63.98.
由于 78÷63.98≈1.22>1.2，
所以，这个男生偏胖. 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结： 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题符合实际 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际不
符
合
实
际用函数模型解释实际问题课 堂 小 结1. 注意培养制表，读表，读图，画图的
能力；
课 堂 小 结1. 注意培养制表，读表，读图，画图的
能力；
2. 分段函数是刻画现实问题的重要模型；
课 堂 小 结1. 注意培养制表，读表，读图，画图的
能力；
2. 分段函数是刻画现实问题的重要模型；
3. 用已知的函数模型刻画实际的问题的
重要模型.