课件27张PPT。2.2.1 椭圆及其标准方程第二章 圆锥曲线与方程如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：行星运行的轨道我们的太阳系2.1.1 椭圆及其标准方程问题1：圆的几何特征是什么？平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。圆的形成问题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？数 学 实 验(1)取一条细绳，
(2)把它的两端
固定在板上的两
点F1、F2
(3)用铅笔尖
（M）把细绳拉
紧，在板上慢慢
移动看看画出的
图形F1F2（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？想一想︳F1F2︱=2c︱MF1︳+︱MF2︳=2a2a>2c思考若2a<2c，则轨迹为＿＿＿＿。 若2a=2c，则轨迹为＿＿＿＿。 线段不存在平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做焦距．椭圆的定义椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的__________________________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____，_______________叫做椭圆的焦距．
想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
自学导引1．距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点两焦点间的距离小结（1）：满足几个条件 的动点的轨迹叫做椭圆？平面上----这是大前提
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a
常数 2a 要大于焦距 2C探究:感悟:(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距
离和为6,则M点的轨迹是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距
离和为5,则M点的轨迹是什么?椭圆线段AB不存在 (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段.标准方程的推导? 探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”方案一xy 以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．P( x , y )设 P( x，y )是椭圆上任意一点设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0) 椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|
为定值，设为2a，则2a>2cO标准方程的推导b2x2+a2y2=a2b2它表示：
① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2
椭圆的标准方程⑴椭圆的标准方程⑵它表示:
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c）
③ c2= a2 - b2 观察下图，你能从中找出表示c,a, 的线段吗？(课本33页思考)因为c2=a2－b2
所以cab椭圆的标准方程 定 义图 形方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a小 结：椭圆的标准方程
(a＞b＞0)(a＞b＞0)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a2－b22．自学引导椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2 = a2 -b2
（不要与勾股定理a2 +b2=c2 混淆）；
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上 .椭圆标准方程的特点
(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆．
(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.2．名师点睛 判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。巩固概念应用举例a>30已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________543(3,0)、(-3,0)6201、已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2跟踪练习：例．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。 讲评例题.
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：∴ 设它的标准方程为又 ∵ c=2∴ 所求的椭圆的标准方程为解题感悟：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b的值.课件21张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2.1 椭圆及其标准方程 在生活中，还有另外一种曲线比较常见，例如 运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线引 言数 学 实 验通过图片已经知道了椭圆的形状，能否动手画一个椭圆呢？
先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆.如果把这一个定点分裂成两个定点，会画出什么图形呢？数 学 实 验1.取一条定长的细绳；
2.把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2；
3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢
移动，看看能画出什么图形？请同学们按照下列操作，动手画一画：根据刚才的实验请同学们回答下面
几个问题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？数 学 观 察思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？数 学 归 纳椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点.
两焦点之间的距离叫做焦距.数 学 推 理根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？ 先来回忆：求曲线的方程的基本步骤（1）建系设点;（2）写出点集；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 数 学 推 理想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？方案一数 学 推 理 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分 别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a (2a>2c>0) 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .由椭圆的定义得：因为数 学 推 理方案一整理得两边再平方，得移项，再平方数 学 推 理数 学 推 理它表示焦点在y轴上的椭圆它表示焦点在x轴上的椭圆数 学 归 纳椭圆的标准方程有哪些特征呢？椭圆的标准方程的特征：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式
的平方和，右边是1;（3）椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上;数 学 归 纳例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为由椭圆的定义知例 题 演 练例 题 演 练因此, 所求椭圆的标准方程为思考？能用其他方法求它的方程么？解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:①②联立①②,因此, 所求椭圆的标准方程为:例 题 演 练
1.已知F1、F2是椭圆 的两个焦点，
过F1的直线交椭圆于M、N两点，则三角形
MNF2的周长为 .
课 堂 练 习202.已知椭圆的两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点，求椭圆的方程 . 图 形
方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)定 义课堂小结最后回忆一下本节课的主要内容课后作业：1.在椭圆的定义中，若a=c能得到什么图形？若a关于y轴的对称点是同理椭圆关于x轴对称
关于原点对称即 在椭圆上,则椭圆
关于y轴对称(-x, y)3、椭圆的顶点令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆几何性质的应用
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．
(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．
名师点睛1．思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ，怎样确定椭圆焦点的位置？ oB2B1A1A2F1F2因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为椭圆焦点.４、离心率长半轴为 a
半焦距为 c思考：保持长半轴 a 不变，改变椭圆的半焦距 c ，我们可以发现，c 越接近 a ，椭圆越________
这样，我们就可以利用＿＿和＿＿这两个量来刻画椭圆的扁平程度
扁平ca看动画椭圆的离心率因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:_________02．4、椭圆的离心率e与a,b的关系:|x|≤ a,|y|≤ b关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. a>ba2=b2+c2|x|≤ a,|y|≤ b关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2|x|≤ b,|y|≤ a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前椭圆的简单几何性质
自学导引(a＞b＞0)(a＞b＞0)－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤aA1(－a，0)、A2(a，0)B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)B1(－b，0)、B2(b，0)2b2aF1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)2cx轴和y轴(0，0)例1、 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程
2、确定焦点的位置和长轴的位置椭圆第二定义:xy..FF ’O.M自学导引直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点) 直线与椭圆的位置关系的判定代数方法所以消y得一个一元二次方程
两一无>＝<自学导引知识应用思考：最大距离为多少？名师点睛 利用设而不解的方法求解直线与椭圆相交位置关系中的中点、弦长等问题是本节特别常见的方程思想方法．
方法技巧 函数方程思想在椭圆中的应用【示例】[思路分析] 求弦AB的长，需确定点A、B的坐标，点A、B是直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方程组，解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解．
课件17张PPT。2.2.2 椭圆的简单几何性质第二章 圆锥曲线与方程一 复习回顾
（1）椭圆的定义：
定点F１、F２叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。焦点为
F1(－c，0)、F2(c，0)焦点为
F1(0 ,－c)、F2(0，c)说明椭圆位于直线 x=±a
和 y=±b所围成的矩形里椭圆的简单几何性质1.范围 oxy－ａａ－ｂｂ即得2.椭圆的对称性椭圆的简单几何性质2.椭圆的对称性椭圆的简单几何性质在方程中，把 换成 ，方程不变，说明：
椭圆关于 轴对称；
椭圆关于 轴对称；
椭圆关于 点对称；
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心x-xxY(0,0)Y -YX -X
Y -Y 想一想 椭圆的对称轴一定是ｘ轴和ｙ轴吗？对称中
心一定是原点吗？ oxy说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．小试身手：1.已知点P(3，6)在 上,则( )(A) 点(-3,-6)不在椭圆上 (B) 点(3,-6)不在椭圆上(C) 点(-3,6)在椭圆上(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上椭圆的简单几何性质椭圆顶点坐标为：3.顶点与长短轴 椭圆和它的对称轴的四个交点——椭圆的顶点.回顾：焦点坐标(±c，0)长轴：线段A1A2；长轴长 |A1A2|=2a短轴：线段B1B2；短轴长 |B1B2|=2b焦 距 |F1F2| =2c①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；③焦点必在长轴上；② a2=b2+c2，B2(0,b)B1(0,-b)bac椭圆的简单几何性质a|B2F2|=a；小试身手：
2.说出 下列椭圆的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:4.离心率：椭圆的简单几何性质∵a>c>0，∴0 < e <1.离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆小试身手：3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?(c,0)、(?c,0)(0,c)、(0,?c)(?a,0)、(0,?b)|x|? a |y|? b|x|? b |y|? a关于x轴、y轴、原点对称(?b,0)、(0,?a)想一想焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又
如何呢？( 0 < e < 1 )例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．解：把已知方程化成标准方程这里，例题精析四个顶点坐标分别为焦点坐标分别为基本量：a、b、c、e、（共四个量）
基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）Ｏ一个框，四个点，
注意光滑和圆扁,
莫忘对称要体现．课堂小结用曲线的图形和方程来研究椭圆的简单几何性质
