课件35张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4.1 抛物线及其标准方程生活中存在着各种形式的抛物线我们对抛物线已有了哪些认识？ 二次函数是开口向上或向下的抛物线。问题探究：
当|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？探究？ 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,
即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线. 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线|MF|=dd 为 M 到 l 的距离准线焦点d抛物线的定义:想一想 如果点F在直线l上，满足条件的点的
轨迹是抛物线吗？ 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_____，直线l叫做
抛物线的_____ ．
试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示 当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．1．距离相等焦点准线抛物线定义的理解
(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1，0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．
1．如何建立直角坐标系？想一想探索研究 推出方程.FM.抛物线的标准方程：设|FK|=p(p>0),M(x,y)由抛物线定义知：|MF|=d即：. ，叫作焦点在X轴正半轴上的
抛物线的标准方程.说明： 焦点到准线的距离.op的几何意义: 已知抛物线的标准方程， 求其焦点坐标和准线方程. 巩固练习1抛物线的标准方程
抛物线的焦点坐标和准线方程:关键：确定P的值反思总结. ，叫作焦点在X轴正半轴上的
抛物线的标准方程.o一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.想一想:
抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？ 问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗? 不同位置的抛物线标准方程 x轴的
正方向 x轴的
负方向 y轴的
正方向 y轴的
负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----（P＞0）抛物线标准方程的几种形式
2．y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)抛物线方程
左右型标准方程为
y2 =±2px
(p>0)开口向右:
y2 =2px(x≥ 0)开口向左:
y2 = -2px(x≤ 0)
标准方程为
x2 =±2py
(p>0)开口向上:
x2 =2py (y≥ 0)开口向下:
x2 = -2py (y≤0)抛物线的标准方程
上下型1、一次项的变量如为x（或y），则x轴（或y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。
2、一次项的系数符号决定了开口方向。【小结】练习1：请判断下列抛物线的开口方向练习2：请判断下列抛物线的焦点坐标F(0,8)F(0, )F(-8,0)F( , 0)F(0, )F( , 0)练习3：请判断下列抛物线的准线方程F(0,8)F(0, )F(-8,0)F( , 0)F(0, )F( , 0)▲如何确定各曲线的焦点位置？
抛物线：1.看一次项(X或Y)定焦点
2. 一次项系数正负定开口椭 圆：看分母大小
双曲线：看符号P58思考： 二次函数 的图像为什么是抛物线？ 当a>0时与当a<0时，结论都为：例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；解: ∵2P=6,∴P=3
∴抛物线的焦点坐标是（ ，0）
准线方程是x=
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
解: 因为焦点在y的负半轴上,
所以设所求的标准方程为x2= -2py
由题意得 ， 即p=4
∴所求的标准方程为x2= -8y（课本67页练习1）根据下列条件写出抛物线的标准方程；
（1）焦点是（3，0）；
（2）准线方程是x= - ；
（3）焦点到准线的距离是2；
y2=12xy2=xy2=4xy2=-4xx2=4yx2=-4yF（5，0）F（0，-2）x=-5y=2y=-（课本67页练习2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2=20x
（2）x2= y
（3）2y2+5x=0
（4）x2+8y=0F（0， ）x=F（- ，0）题型一 求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(3)过点A(2，3)；
【例1】[思路探索] 式求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论．(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，得
32＝m·2或22＝n·3，
如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
题型二 抛物线定义的应用【例2】[思路探索] 解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，由图可知当A、P、Q三点共线时取最小值．
解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．
规律方法 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
小 结 ：1、学习好一个概念－－抛物线2、掌握好一种题型－－3、注重好一种思想－－数形结合有关抛物线的标准方程和它的焦点坐标、准线方程的求法
课件16张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4.1 抛物线及其标准方程喷泉拱桥 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （定点F不在定直线l 上）
点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。
（一）抛物线的定义想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?一条经过点F且垂直于l 的直线······想一想：求抛物线方程时该如何建立直角坐标系？（二）抛物线的标准方程如图所示，以经过点F且垂直于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O，则O是线段KF的中点，以O为原点,建立直角坐标系。yOK设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|想一想：p的几何意义？求抛物线的方程为什么？由抛物线的定义，∵化简后得 :∴抛物线的标准方程为它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,坐标是 ，
准线方程是注意：抛物线标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？yox四种抛物线的标准方程对比想一想： 如何判断上表中抛物线四种标准方程与图象的对应关系？第一：一次项变量决定对称轴。
第二：一次项系数的正负决定了开口方向。说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由形到数的数形结合思想。（三）例题讲解例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。 解:(1)由方程可知,焦点在x轴正半轴上，坐标为 ，2p=6，
所以焦点坐标是 ，准线方程是 .(2) ∵抛物线焦点坐标为F(0,-2)，
∴抛物线焦点在y轴负半轴上，设标准方程为x2=-2py,并且
∴2p=8，
∴抛物线的标准方程为x2=-8y.变式训练1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点是（0，-3） ；
(2)准线是 ；
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.
(1)y=8x2 ；
(2)x2+8y=0；x2= -12yy2=2x焦点 ，准线焦点 ，准线感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。感悟：用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式，再求p值。强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点到准线的距离是2；
(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线解：∵焦点到准线的距离为2
∴p=2
又∵焦点的位置不确定
∴该抛物线标准方程有四种形式
y2=±2px ， x2=±2py
此抛物线的标准方程有四种情况：
y2=±4x ， x2=±4y 解：∵标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上；
又∵抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，
∴焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，﹣3），
∴焦点坐标为（4，0）或（0，﹣3）；
当焦点为（4，0）时标准方程为y2=16x ,
当焦点为（0，﹣3）时标准方程为x2= ﹣12y ,
综上，抛物线标准方程为 y2=16x或 x2= ﹣12y （四）课堂小结平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：求抛物线标准方程；
已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线l 不经过点F;
p的几何意义：焦点到准线的距离；
标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p>0)
y2= -2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2= -2py(p>0)课件26张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4.2 抛物线的简单几何性质－－抛物线标准方程1、抛物线的定义：2、抛物线的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:
(1)范围
(2)对称性
(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.(4)离心率
(5)焦半径
(6)通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2FP通径的长度：2Py2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程. 当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时,
设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可
避免讨论！思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？ 与直线的倾斜角无关!
很奇怪!解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动. 坐标法是一种非常好的证明,你还有没有其他好方法呢?本题几何法也是一个极佳的思维!判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式总结：一、抛物线的几何性质：y2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）A1二、抛物线的焦点弦：通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值课件25张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4.2 抛物线的简单几何性质一、复习回顾：1、抛物线的定义： 在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.2、抛物线的标准方程：(1)范围
(2)对称性
(3)顶点x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课： 抛物线上的点到焦点的距离和它到准
线的距离的比,叫做抛物线的离心率，用e表示，(4)离心率由抛物线的定义可知，e=1 抛物线y2=2px(p>0)
的几何性质:y2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=1 例3. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, ), 求它的 标准方程.三、例题选讲：y2=4x 解法1 F1(1 , 0), 解法2 F1(1 , 0), 解法3 F1(1 , 0), |AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8A1B1解法4A1B1H?同理 ? 例 抛物线y2=4x的焦点为F,
点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求
|MA|+|MF|的最小值.MFAA1M1解 |MA|+|MF|
=|MA|+|MM1|
≥|AA1|=3即 |MA|+|MF|的最小值为3. 练习 抛物线y2=4x上的
点M到准线距离为d, A(2,4),
试求|MA|+d的最小值.MFAd?? 例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。 例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD当直线AB存在斜率时,设AB为与y2=2px联立,得?yAyB=-p2当直线AB存在斜率时,结论显然成立. 所以，直线DB平
行于抛物线的对称轴。⑴只有一个公共点⑵有两个公共点⑶没有公共点判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：把直线方程代入曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式总 结
