课件21张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线及其标准方程 1. 椭圆的定义2. 引入问题：复习|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0) 注意：
1.距离之和；
2.2a>2c>0①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，上面 两条合起来叫做双曲线由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值） |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;② |F1F2|=2c ——焦距.⑴距离之差的绝对值； 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.⑵ 0<2a<2c ；双曲线定义思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？注意：（3）若2a=0,则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程1. 建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点．设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1| - |MF2|=±2a4.化简此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程若建系时,焦点在y轴上呢?看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，±c）F（0，±c）分母大小系数正负知识总结：为什么写出满足下列条件的双曲线的标准方程练习1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3. 使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即 2a=680，a=340，因此炮弹爆炸点的轨迹方程为答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.课件16张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单几何性质问:双曲线的标准方程是什么？(1) 焦点在x轴上的
双曲线的标准方程为
(2) 焦点在 y轴上的
双曲线的标准方程为
问: 根据椭圆的标准方程研究
了椭圆的那些几何性质? (1) 范围
(2) 对称性
(3) 顶点
(4) 离心率 (1) 范围(2) 对称性 对称轴： x轴、y轴.
对称中心: 原点 用-y代替y, 方程不变对称轴： x轴、y轴.
对称中心: 原点 用-x代替x, 方程不变用-x、-y代替x、y, 方程不变(3) 顶点 实轴 : A1A2 虚轴 : B1B2顶点 : A1(-a,0), A2(a,0)
B1 ( 0,-b), B2( 0 ,b)长轴长 =2a , 短轴长=2b实轴长 =2a 虚轴长=2b顶点 : A1(-a,0), A2(a,0)长半轴长 = a , 短半轴长= b实半轴长 = a 虚半轴长= b长轴 A1A2 短轴 B1B2(4) 离心率 根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形问: 根据以上几何性质能否较准确地画出双曲线的图形呢？问: 双曲线向远处伸展时有什么规律? MQ (5) 渐近线(利用双曲线的性质,可以较准确
地画出双曲线的草图。)焦点在x轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：1、范围：x≥a或x≤-a2 、 对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1(-a,0), A2(a,0)实轴 A1A2 虚轴 B1B24、离心率：|A1A2|=2a, |B1B2|=2b5 、 渐近线:焦点在y轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：XYF1F2OB1B2A2A11、范围：2 、 对称性：3、顶点:4、离心率：5 、 渐近线:y≥a或y≤-a关于x轴，y轴，原点对称。A1(0,-a), A2(0,a)实轴 A1A2 虚轴 B1B2|A1A2|=2a, |B1B2|=2b例题 :求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程：可得:实半轴长 a=4虚半轴长 b=3半焦距 c=
焦点坐标是 (0,-5),(0,5)离心率渐近线方程即练习1. 已知实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线， 则等轴双曲线的渐近线____________离心率________ 。等轴双曲线方程：或渐进线方程：离心率：即小结 : 双曲线的几何性质A1(0,-a), A2(0,a)y≥a或y≤-a关于x轴，y轴，原点对称x≥a或x≤-aA1(-a,0), A2(a,0)关于x轴，y轴，原点对称课件19张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算这需要进一步来认识空间中的向量如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，
在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每
个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是
60度，且︱F1︱= ︱F2︱ =︱F3︱=200kg。
这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？
这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量的身影，但他们有些并不在同一平面内——这就是我们今天要学习的空间向量.复习回顾：平面向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。用有向线段表示 用小写字母表示，或者用表示
向量的有向线段的起点和终点字母表示相等向量：零向量：单位向量：相反向量：长度为0的向量模为1的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量几何表示法：字母表示法：2、平面向量的加法、减法向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则向量减法的三角形法则3、平面向量的加法运算律加法交换律：加法结合律：新课讲授 阅读教材P84-P85 ，研究空间向量与平面向量
的关系。回答下面的问题：（1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？（2） 空间任意两个向量是否都可以转化为平面向量？为什么？（3）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义
空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？（5） 什么是平行六面体？它与平行四边形有何联系？它的特征有哪些？（4）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?（1）试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？1、定义： 在空间，我们把既有大小又有
方向的量叫做空间向量。2、空间向量的表示法（几何、字母）
与平面向量相同；3、空间中零向量、单位向量、相等向
量、相反向量等概念与平面向量中相同；……（2） 空间任意两个向量是否都可以转化
为平面向量？为什么？ 由O、A、B、三点确定一个平面
或共线可知，已知空间两个任意向量 、 作 空间任意两个向量都 可用同
一平面内的有向线段表示。结论1：凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。（3）与平面向量运算一样，我们定义
空间向量的加法、减法运算如下：空间向量加法的推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量.加法交换律：加法结合律：同样，空间向量的加法运算
满足如下运算律：OBCOBC(平面向量)（5）平面向量加法结合律：AAOABCOABC（5）空间向量加法结合律：(空间向量)平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。（6）平行六面体定义1：底面是平行四边形的四棱柱。 定义2：平行四边形ABCD按向量 平移到
A1B1C1D1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体.例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列
向量表达式 (如图)问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？典例剖析：F1F2F1=10NF2=15NF3=30NF3结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于
以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始
点的对角线所示向量。——平行六面体法则思考1：在例1中思考2：ABMCD例2 在空间四边形ABCD中,点M、N分别是
BC、CD边的中点,化简N思考：●平面向量概念加、
减法
运算
运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:平行四边形法则
或三角形法则空间向量加法交换律加法结合律小结类比方法 数形结合思想零向量相反向量减法:三角形法则加法:平行四边形法则
或三角形法则不共面的三个向量的和：
平行六面体法则课件12张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,空间向量的概念这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量……起点终点平面向量加减法空间向量加减法加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？平面向量的加法、减法运算图示意义:向量加法的三角形法则 减向量终点指向被减向量终点推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。OABC空间向量的加减法OAB 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。空间中OBCOBC(平面向量)向量加法结合律在空间中仍成立吗?AAOABCOABC(空间向量)向量加法结合律：课件18张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.2 空间向量的数乘运算复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量叫做向量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：
用小写字母表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母表示。2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则向量减法的三角形法则向量的数乘3、平面向量的加法、减法与数乘运算律加法交换律：加法结合律：数乘分配律：新课讲授阅读教材P26 ，研究空间向量与平面向量的关系,回答
下面的问题：（1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？（2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？（3） 空间任意两个向量是否都可以转化为平面
向量？为什么？（4）把平面向量的运算推广到空间向量，
怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？（5）空间向量的运算律有哪些？（7） 什么是平行六面体？（6）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?在空间，具有大小和方向的量叫做向量；用
有向线段表示；并且同向且等长的有向线段
表示同一向量或相等的向量；空间向量可以
平行移动；运算和运算律相同。（1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同
之处？（2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？因为空间的一个“平移”有大小和方向，所以是
一个向量。例如：“平行四边形ABCD自西向东平移4个单位长度”到达A1B1C1D1的位置。 这个“平移”就
是一个向量。
=“自西向东平移4个单位长度”（3） 空间任意两个向量是否都可以转化为
平面向量？为什么？ 由O、A、B、三点确定一个平面
或共线可知，已知空间两个任意向量 、 作 空间任意两个向量都 可用同
一平面内的有向线段表示。（4）与平面向量运算一样，我们定义 空间
向量的加法、减法与数乘向量运算如下：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： （5）同样，空间向量的加法与数乘向量运
算满 足如下运算律：OBCOBC(平面向量)（6）平面向量加法结合律：AAOABCOABC（6）空间向量加法结合律：(空间向量)记作ABCD—A1B1C1D1它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六
面体的棱。（7）平行六面体例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量。(如图)(4)设M是线段CC1的中点,则(3)设G是线段AC1的三等分点,则ABMCGD练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零课件18张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.2 空间向量的数乘运算OB结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.一、空间向量数乘运算1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量.当 时， 当 时， 与向量 方向相同； 与向量 方向相同； 是零向量.当 时，（1）方向：（2）大小： 的长度是 的长度的 倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律问题2：平面向量中，的充要条件是：存在唯一的实数 ，使能否推广到空间向量中呢？问题1：若则所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线.由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 共线向量定理: 对空间任意两个向量 ， ，
的充要条件是存在唯一实数λ，
使性质判定如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，对空间任意一点O,所以即 若在l上取 则有①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线。.lABPO若点P是直线l上任意一点，则 由 知存在唯一的t, 满足①②因为 所以 特别的，当t= 时，则有ABPO进一步，t1-tP点为A,B 的中点练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 ，则P、A、B共线
B.若 ，则P是AB的中点
C.若 ，则P、A、B不共线
D.若 ，则P、A、B共线A、B、P三点共线AOABP三、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面由平面向量基本定理知，如果 ，
是平面内的两个不共线的向量，那么
对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 如果空间向量 与两不共线向量 ， 共
面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则
有 那么什么情况下三个向量共面呢？反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位
置关系？C2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线， 则向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在实数对x,y使推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使C对空间任一点O,有填空：1-x-yxyC③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.③由此可判断空间任意四点共面练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 则x+y+z=1
是四点P、A、B、C共面的（ ）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件CP与A,B,C共面解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得例1. 已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？小结共面课件14张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算一、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]二、两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.BA不一定为锐角不一定为钝角三、空间两个向量的数量积的性质(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相
同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是
用来求两个向量的夹角．
(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．四、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 向量数量积的运算适合乘法结合律吗?
即(a?b)c一定等于a(b·c)吗?已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：练习1ABCDEFG在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．练习2练习3解：已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：练习4课件23张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.1)两个向量的夹角的定义:类似地，可以定义空间向量的数量积两个向量的夹角是惟一确定的！2）两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.A1B1BAA1B1BA数量积 等于 的长度 与 在
的方向上的投影 的乘积.3)空间两个向量的数量积性质注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据.(4)空间向量的数量积满足的运算律思考1..思考2.思考3.思考4.课堂练习解： 3. 另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.证明：如图,已知:求证：在直线l上取向量 ,只要证为逆命题成立吗?分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例3(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .mn 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理,有了! 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直;
2.求两点之间的距离或线段长度;
3.证明线面垂直;
4.求两直线所成角的余弦值等等. 小结课件17张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示AP思考APB分析:
证三点共线可尝试用向量来分析.练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值. 练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值. 学习共面思考1二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。思考2以
建立空间直角坐标系O—xyz若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
则1答案2答案证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。课件17张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示问题： 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？一、空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量 且设 为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在 所确定平面上的正投影由平面向量基本定理有一、空间向量的坐标分解 由此可知,如果 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量 , 存在一个有序实数组 {x,y,z}使得
我们称 为向量 在 上的分向量.空间向量基本定理：都叫做基向量.注: 如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组{x,y,z}使探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的
结论吗？（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确：（2 ）由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 .（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。二、空间直角坐标系xyze1e2e3O
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量 ,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=P由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使 P =xe1+ye2+ze3 此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系oxyz中的坐标(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.xyzOP(x,y,z)e1e2e3 在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间任一点P, 对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使 (如图). 显然, 向量 的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z) 也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化. 我们说,点P的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标.e1e2e3例题讲解2、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．
求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习练习3课件23张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.5 空间向量运算的坐标表示1．空间向量的基本定理： 2．平面向量的坐标表示及运算律：一．复习回顾 若是 空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在唯一的实数组使． 1．空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，
这个基底叫单位正交基底 (2)在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴 ，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ,点 叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，
分别称为 平面， 平面，
平面； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. （3）作空间直角坐标系 时，一般使2．空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量 ，设 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组 ，使 ，
有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ．
在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，
记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标． 一、向量的直角坐标运算1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角在空间直角坐标系中，已知 、
，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。思考：当 及
时，夹角在什么范围内？例1．已知 解:三、应用举例三、应用举例例2.已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度； 解：设 是 的中点，则∴点 的坐标是 . （2）到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。解：点 到 的距离相等，则化简整理，得即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则 例3.如图, 在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值. 例4． 在正方体 练习 3 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则 练习4：如图，已知线段AB?α，AC⊥α，BD⊥AB，DE ⊥α ，∠DBE=30o，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。练习：平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60o，E、 H、F分别是D1C1 、AB、CC1的中点。（1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。10证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系课件16张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.5 空间向量运算的坐标表示单位正交基底，空间直角坐标系，向量的坐标O(x,y,z)复习则1.复习平面向量的坐标运算（1）设设M=（x，y），若M是线段AB的中点， 类比平面向量,空间向量的坐标运算是怎样的呢?则类比可得空间向量的坐标运算(1)设设M=（x，y，z），若M是线段AB的中点，2.平面向量的数量积、距离与夹角1.距离公式2.夹角公式类比可得空间向量的数量积、距离与夹角1.距离公式2.夹角公式数量积运算的证明：解:例题讲解:应用( )1.已知（1）（4）（2）（3）例2 如图，在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值。 解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则 例2 如图，在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值。 例3.如图,在正方体 中,E,F分别是
的中点,求证思考与交流： 1.若E1，F1分别是A'B'和C'D'
的一个四等分点，那么
又是多少呢？(1,1,0)F1E1(0,0,0)答案：2.已知a=（1，0）,b=（m，m）（m＞0）,则〈a，b〉=________ 45° （1）熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律；确定空间几何体中顶点和向量的坐标. 课时小结（2）空间向量中的公式的形式与平面向量中相
关内容一致，因此可类比记忆. 1、重点：2、难点：
