课件13张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.1 立体几何中的向量方法１、直线的方向向量直线ｌ的向量式方程 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的
方向向量2、平面的法向量?l平面 α的向量式方程 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量练习1： 如图所示, 正方体的棱长为1
直线OA的一个方向向量坐标为___________
平面OABC 的一个法向量坐标为___________
平面AB1C 的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。
练习4： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.设平面EDB的法向量为 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行已知 直线l与m相交, αβｌｍml3、平行关系：3、平行关系：α3、平行关系：αβ②巩固性训练 设 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交课件21张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.1 立体几何中的向量方法研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？一、直线的方向向量由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。二、平面的法向量l由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。
平面的法向量不惟一，合理取值即可。 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系. 那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？三、平行关系：四、垂直关系：巩固性训练11.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固性训练22.设 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交l1l2l1l1l2l课件14张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.2 立体几何中的向量方法ml复 习ααβ② 例1、 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.ABCDPGFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG 证 ：如图所示, 建立
空间直角坐标系.AE与FG不共线几何法呢？ 例2、 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， (1)求证：PA//平面EDB.ABCDPE解1 立体几何法ABCDPE解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPE解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为ABCDPE解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：解得 x＝－２,ｙ＝１例3、如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：几何法呢？垂直关系：lm垂直关系：lABC垂直关系：αβ课件14张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.2 立体几何中的向量方法一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1. 空间两点之间的距离 例1：如图1，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:分析:∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）H 分析：面面距离点面距离解：∴ 所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？2、向量法求点到平面的距离：DABCGFEDABCGFEABCC1EA1B1 小结 1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为: 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为课件19张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.3 立体几何中的向量方法垂直关系：lm复 习垂直关系：lABC垂直关系：αβ 例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 立几法证明1： 例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.证明2：MN⊥AB, 同理 MN⊥CD. 例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.证明3： 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy 练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：
Zxy 解：如图所示建立空间
直角坐标系，设AF=BE=b.ABCDPEF 证明1：如图所示建立
空间直角坐标系，设DC=1.ABCDPEF 证明2： 证明2：,E是AA1中点， 例3、 正方体平面C1BD. 证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD. 平面EBD 证明2：E,E是AA1中点， 例3、正方体平面C1BD. 求证：平面EBD夹角问题：lmlm夹角问题：ll夹角问题：夹角问题：课件22张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.3 立体几何中的向量方法一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）向量的有关知识：两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量练习 如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：∴ 可算出 AB 的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线
长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。 （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作
A1E⊥AB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm例2所以：练习：在长方体 中，二面角的平面角DCLBA注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角②法向量法二面角的平面角解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz2. 线面角2. 线面角l课件22张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.4 立体几何中的向量方法夹角问题：lm夹角问题：ll夹角问题：夹角问题：解2：例2、 空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，
AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD
与BC所成的角大小.?例3、
解1 建立直角坐标系.?例3、解2 ? 例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。ABCDPEFABCDPEF(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1. 例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。ABCDPEF平面PBC的一个法向量为 解2 如图所示建立
空间直角坐标系，设DC=1.平面PBD的一个法向量为G 例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。ABCDPEF 解3 设DC=1.例5、 解1 建立直角坐标系.?平面PBD1的一个法向量为平面CBD1的一个法向量为解2?例5、 距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则距离问题：(2) 点P与直线l的距离为d , 则距离问题：(3) 点P与平面α的距离为d , 则d距离问题：(4) 平面α与β的距离为d , 则课件19张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.4 立体几何中的向量方法复习引入例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ 例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEF解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEFG(2)求证：PB⊥平面EFDABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”abCDABCD为a,b的公垂线A，B分别在直线a,b上异面直线间的距离 ABCC1EA1B1ABCDE3.如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。4.在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。ABCDEFMN课件25张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2.5 立体几何中的向量方法距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则距离问题：(2) 点P与直线l的距离为d , 则距离问题：(3) 点P与平面α的距离为d , 则d距离问题：(4) 平面α与β的距离为d , 则 例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点
的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这
个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，所以答: 这个晶体的对角线
AC1 的长是棱长的 倍。 例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点
的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这
个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解2：如图1， 练习：(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
BD＝8，求CD的长. 解1 练习：(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
BD＝8，求CD的长. 解2 例2、 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.点E到直线A1B的距离为 例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.解2 例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离. 例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.等体积法解2 例4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离. 解1:∵D1C∥面A1BE
∴ D1到面A1BE的距离即为
D1C到面A1BE的距离. 仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为 例4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.等体积法解2 例5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离. 解1:∵面D1CB1∥面A1BD
∴ D1到面A1BD的距离即
为面D1CB1到面A1BD的距离 例5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.等体积法解2 例5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.解3 例6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离. 例7、如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长为ｃ, AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解１：如图，答:…解２：如图， 例7、如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长为ｃ, AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 根据对称性可知
