课件16张PPT。1.3.1 函数的单调性与导数第一章 导数及其应用（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入:在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）
上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。在(－ ∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地, ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.如果恒有 ，则 是常数。例1 已知导函数 的下列信息:当1 < x < 4 时,当 x > 4 , 或 x < 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减.1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论练习求证: 函数 在 内是减函数.解: 由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO解：（1）B，（2）A,（3）D,（4）C. 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或
内的图象平缓.练习3.讨论二次函数 的单调区间.解: 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是课件16张PPT。1.3.2 函数的极值与导数 第一章 导数及其应用问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间
变化的函数 的图象 单调递增单调递减归纳: 函数 在点 处 ,在 的附近,
当 时,函数h(t)单调递增， ;
当 时,函数h(t)单调递减, 。探究 （3）在点 附近, 的导数的符号有什么规律?
（1）函数 在点 的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系?（2）函数 在点 的导数值是多少?(图一)问题：探究(图一)极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质.
下面分两种情况讨论:
（1）当 ，即x＞2,或x＜-2时;
（2）当 ，即-2 ＜ x＜2时。例1：求函数 的极值. 解:∵∴当x变化时， 的变化情况如下表：∴当x=-2时, f(x)的极大值为 令解得x=2,或x=-2.当x=2时, f(x)的极小值为
（1）如图是函数 的图象,试找出函数 的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数 的图象?答：1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函
数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)
的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。随堂练习1导数值为0的点不一定是函数的极值点.
思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？？（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，
那么 是极小值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，
那么 是极大值；解方程 ，当 时：
下列结论中正确的是（ ）。
A、导数为零的点一定是极值点。
B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么
f(x0)是极大值。
C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么
f(x0)是极大值。
Ｄ、极大值一定大于极小值。B随堂练习2求函数 的极值随堂练习3思考：已知函数 在 处取得极值。
（1）求函数 的解析式
（2）求函数 的单调区间随堂练习4求下列函数的极值:解: 解得 列表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .求下列函数的极值:解: 解得 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .解得 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .随堂练习4课堂小结: 一、方法:
(1)确定函数的定义域
(2)求导数f'(x)
(3)求方程f'(x) =0的全部解
(4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负
(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极
值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值课件15张PPT。第一章 导数及其应用1.3.3 函数的最大（小）值与导数复习与引入1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方
法是:
①如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0)
是极大值;
②如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0)
是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充
分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点
取到.极值反映的是函数在某一点附近的局部
性质,而不是函数在整个定义域内的性质。但是我们往往更关心函数在某个区间上
哪个值最大，哪个值最小。观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？极大值点 ，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d 函数最值的概念定义：可导函数 在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数 的最大（或最小）值。
一般地，在闭区间上连续的函数
在[a,b]上必有最大值与最小值。举例说明最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间[a,b]上最大值是f (a),图1最大值是f (x3),图2函数y=f (x)在区间[a,b]上最小值是f (x4). 函数最值的概念定义：可导函数 在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数 的最大（或最小）值。
一般地，在闭区间上连续的函数
在[a,b]上必有最大值与最小值。若改为 (a,b)?举例说明函数 在 (0,∞)内连续。怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值
和最小值？思考只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点
的函数值进行比较即可。例、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的
最大值，最小值。解：由 函数单调性知，在[0,3]上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
