课件39张PPT。1.2 应用举例第一章 解三角形问题提出1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与夹角或三边.3.在平面几何中，两点间的距离就是连接这两点的线段长.对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进行计算？ 构造三角形4.在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析. 距离测量问题探究（一）：一个不可到达点的距离测量思考2：若改变点C的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算A、B两点的距离是否有影响？ 思考3：一般地，若A为可到达点，B为不可到达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离？选定一个可到达点C； →测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小 →利用正弦定理求AB的距离.思考4：根据上述测量方案设置相关数据，计算A、B两点的距离公式是什么？ 设AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β. 探究（二）：两个不可到达点的距离测量思考2：设A、B两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算A、B两点间的距离吗？选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大小；→利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB.思考3：在上述测量方案中，设CD=a，∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，那么AC和BC的计算公式是什么？ 思考4：测量两个不可到达点之间的距离还有别的测量方法吗？理论迁移 例 某观测站C在城A的南偏西20°方向，由城A出发的一条公路沿南偏东40°方向笔直延伸.在C处测得公路上B处有一人与观测站C相距31km，此人沿公路走了20km后到达D处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还要走多远才能到达A城？ 15问题提出1.测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，也是一个值得探究的问题.探究（一）：利用仰角测量高度计算AC的长高度测量问题思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些数据就可计算出AC的长？点C、D观察A的仰角和CD的长 思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测角仪器的高度为h，那么建筑物高度AB的计算公式是什么？思考4：如图，在山顶上有一座铁塔BC，塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点，通过测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？思考5：设在点A处测得点B、C的仰角分别为α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的高度忽略不计，那么山顶高度CD的计算公式是什么？ 探究（二）：利用俯角测量高度思考1：飞机的海拔飞行高度是可知的，若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关键是求出哪个数据？飞机与山顶的海拔差 思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β，B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计算公式是什么？探究（三）：借助方位角测量高度1047m思考2：若在A、B两处测得山顶D的仰角分别为α、β，从A到B的行驶距离为a，能否求出此山的高度？思考3：在上述条件下，若在A处还测得山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求出此山的高度？问题提出1.测量水平面内两点间的距离，有哪两种类型？分别测量哪些数据？一个可到达点与一个不可到达点之间的距离；两个不可到达点之间的距离. 基线长和张角.2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？在实际问题中如何选择？仰角、俯角或方位角. 在地面测仰角， 在空中测俯角， 在行进中测方位角. 3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，也是测量问题中的一个重要内容.探究（一）：测量行进方向思考1：一艘海轮从海港A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C，那么A、C 两点间的直线距离是否确定？如何计算？AC=113.15海里角度测量问题思考2：在上述问题中，若海轮直接从海港A出发，直线航行到海岛C，如何确定海轮的航行方向？沿北偏东56°的方向航行 思考3：甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，以20 n mile/h的速度向正北方向航行，若使甲船在直线航行中，与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所确定？ 甲船的航行速度思考4：在上述问题中，若甲船的航速为 n mile/h，那么甲船应沿什么方向航行才能与乙船在C处相遇？ 沿北偏东30°的方向航行 探究（二）：测量相对位置思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B南偏西15°方向有一个小岛C，甲、乙两船分别以28 n mile/h和20 n mile/h的速度同时向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B处与小岛的距离是多少？15 海里思考2：在A处观察小岛，其位置如何？南偏东7°，相距21海里理论迁移 例 在A处有一条小船，在点A的北偏东30°方向有一个小岛B，这附近海域内有北偏东60°方向，且速度为4 nmile/h的潮流.已知小船的航速是10 nmile/h，若使小船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什么方向航行？ 北偏东 18.46° 总结1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中航行方向的测量与计算.2.角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定理求相关角的大小，是解题的基本思路.3.如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解，就用方程思想处理.问题提出1.三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括内角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面积公式等，这些知识是解决三角形问题的基本理论依据.2.以三角形为背景的数学问题，除了解三角形和测量问题外，还有与三角函数相关联的三角变换问题，我们将对这类问题作些分析与探究.探究（一）：三角形面积的计算思考1：在△ABC中，若B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的面积？三角形中的三角变换思考2：在△ABC中，若a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm，如何求三角形的面积？思考3：能否用三角形的三边长为a，b，c表示三角形的面积S？探究（二）：三角形内角的计算思考1：在△ABC中，若sinA︰sinB︰sinC=5︰7︰8，则角B的值为多少？ 60°思考2：在△ABC中，若 ，则角A的值为多少？ 120°思考1：在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状如何？ 探究（三）：三角形形状的确定等腰三角形 思考2：在△ABC中，若B=60°，且b2=ac，则△ABC的形状如何？正三角形 思考3：在△ABC中，若 ，则△ABC的形状如何？等腰三角形或直角三角形 探究（四）：三角恒等式证明思考1：在△ABC中，如何证明
？思考2：在△ABC中，如何证明 课件21张PPT。第一章 解三角形 1.2 应用举例
一、基本概念解斜三角形中的有关名词、术语：（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。
（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在
水平线上方的角叫仰角，视线在水平
线下方的角叫俯角。
（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。
（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。
（5）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而
成的角练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60 ° ，则A、B之间的距离为多少？应用举例——距离例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出
AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、
B两点间的距离（精确到0.1m）二、应用举例51o75o55m解：如图，在△ABC中，B=180o-(51o+75o)=54o所以由可得答：A,B两点间的距离约为65.7米。ABC二、应用举例AB解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，
∠ADB=δa例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。ABCD为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.三、练习三、练习ABNM三、练习三、练习如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶20 min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。解：依题意可得，
∠BCD=45o ， ∠BDA=60o，
∴∠CBD=∠BDA-∠BCD=15o，又∵∠BAD=180o -60o-15o =105o三、练习n mile/h 即是：海里/每小时
海里是长度单位，其单位符号为(n mile)，
1 n mile=1852m
(只适用于航程) 一海里约为3.7里。
节是速度单位，单位符号为(kn)，
1 kn=1 n mile/h=(1852/3600)m/s
即:1节=1海里/1小时=0.514 m/s 1.分析：理解题意，画出示意图 2.建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3.求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4.检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 实际问题 → 数学问题（三角形）
→ 数学问题的解（解三角形）→ 实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：四、小结方法：练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。 例3.如图， AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑的最高点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。解：选择一条水平基线HG，使
H、G、B三点在同一条直线上。
在H、G两点用测角仪器测得A
的仰角分别是a、b， CD=a，
测角仪器的高是h，
那么，在△ACD中，根据正弦
定理可得一、例题应用举例——高度例4.在山顶铁塔上B处测得地面上
一点A的俯角a =54°40′，在塔
底C处测得A处的俯角b =50°1′。
已知铁塔BC部分的高为27.3m，
求出山高CD(精确到1m)解：依题意可知，在△ABC中，
∠ABC=90o-a， ∠BAD=a ， ∠CAD=b
∴∠BAC=a-b
∵根据正弦定理，一、例题答：山的高度约为150米。∵在Rt△ACD中，一、例题例5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处
时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北15o 的方向上，
行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北30o的方向上，
仰角15o，求此山的高度CD.一、例题ADCB30o15o15o 分析：要测出高CD，只要测出高CD所在的直角三角
形的另一条直角边或斜边的长，根据已知条件，可以计
算出BC的长。 前面我们学习了如何测量距离和高
度，这些实际上都可转化已知三角形的
一些边和角求其余边的问题.然而在实际
的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.课题导入应用举例——高度例 一艘海轮从A出发，沿北偏东75o的方向航行67.5n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32o的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从
A出发到达C，则此船该沿怎样的方向
航行，需要航行多少距离?（角度精确
到0.1o，距离精确到0.01n mile）解：∵在△ABC中，∠ABC=180o-75o+32o=137o，
∴根据余弦定理， 例题讲解根据正弦定理,
=
sinCAB =
= ≈0.3255,
所以 CAB =19.0,
75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
