课件16张PPT。1.1.1 正弦定理第一章 解三角形一、新课引入ABCbc三角形中的边角关系1.角的关系:
2.边的关系:
3.边角关系:大边对大角，小边对小角a一般地，把三角形的三个角
A,B,C和它们的对边a,b,c叫做
三角形的元素 小强师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如下图所示的部分，测量出∠A=47°, ∠C=80°, AC长为1m,想修好这个模型，但他不知道AB和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？ABabcC一、新课引入试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系？（1）锐角三角形：（2）直角三角形：二、新课讲解作CD垂直于AB于D，则可得作AE垂直于BC于E，
则试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系？二、新课讲解（3）钝角三角形：（∠C为钝角）CABabc作CD垂直于AB于D，则可得作BE垂直于AC的延长线于E，则正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（1）从结构看：（2）从方程的观点看：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的和谐美。 即:二、新课讲解BCAabc应用正弦定理解三角形
题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角
题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角三、例题讲解例1 在△ABC中，A=32.0o，B=81.5o，a=42.9，解此三
角形．（精确到0.1cm）解:根据三角形的内角和定理：C=180o-(A+B)=66.2o由正弦定理可得由正弦定理可得应用正弦定理解三角形
题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角三、例题讲解解:由正弦定理可得C=180o-(A+B)≈76o(1)C=180o-(A+B)≈24o(2)当B≈116o时，题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.例2.在△ABC中，a=20cm，b=28cm, A=40o，解此三角形．三、例题讲解解:由正弦定理可得由b＜a，A=45o,可知B＜A
∴C=180o-(A+B)≈107o题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.例2.在△ABC中，a=20cm，b=28cm, A=40o，解此三角形．若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：
（1）先利用 求出sinB，从而求出角B；
（2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)；
（3）再利用 求出边c.三、例题讲解题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.注意：求角B时应注意检验！例3 在△ABC中,A=45o， ,这样的三角形有__个三、例题讲解1.画∠PAQ=45o2. 在AP上取AC=b=43.以C为圆心,a=6为半径画弧,弧与AQ的交点为BB2个1个0个1个0个1已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况a≥b
一解bsinA
两解bsinA=a
一解bsinA>a
无解(一)当A为锐角(二)当A为钝角a>b
一解a≤b
无解三、例题讲解(三)当A为直角若已知三角形的两条边及其中一边的对角（若已知a、b、A的值），则可用正弦定理求解，且解的情况如下A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba＜bsinAa=bsinAbsinA＜a＜b一解无解无解一解两解a≥b一解2.在△ABC中,由已知条件解三角形,下列有两解的是( )
A．b=20, A=45o, C=80o B．a=30, c=28, B=60o
C．a=14, b=16, A=45o D．a=12, c=15, A=120o四、练习※判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数
的基本步骤(适合填空或选择题)：
（1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐）
（2）判断已知两边a、b的大小关系；
（3）判断a与bsinA的大小关系.C1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c，
则下列关系一定成立的是 ( )
A．a>bsinA B．a=bsinA C．a题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定理求第三角，再用正弦定理求另两边．题型二: 已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.注意有两解、一解、无解三种情况（求角B时应检验！）其中，R是△ABC的外接圆的半径3.利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三角形的各种情况（注意已知角的分类）课件20张PPT。第一章 解三角形1.1.1 正弦定理在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一般记为a，其余类似)的关系:不难得到:CBAabc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?所以AD=csinB=bsinC, 即同理可得过点A作AD⊥BC于D,此时有 若三角形是锐角三角形, 如图1,若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，正弦定理:即在一个三角形中,各边和它所对角的
正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？（R为△ABC外接圆半径）另证1:证明：作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,另证2:证明：∵
而∴同理∴ha剖析定理、加深理解1、正弦定理可以解决三角形中的问题：① 已知两角和一边，求其他角和边 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角剖析定理、加深理解2、A+B+C=π3、大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化例 、 已知a=16， b= ，
A=30° .解三角形已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角解：由正弦定理所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时定理的应用变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形由于154.30 +300>1800故B只有一解 （如图）C=124.30,变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形所以Ｂ＝25.70,C=124.30,∵a > b ∴ A > B ,三角形中大边对大角课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理的应用正弦定理：课后作业P10 习题1.1A组 1， 2（1）（2）已知两边和其中一边的对角,求其他边和角1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.(2) b=40，c=20，C=45°.练习注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解无解课堂小结（2）正弦定理应用范围：① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)(1)正弦定理：课件19张PPT。1.1.2 余弦定理第一章 解三角形一、复习回顾1.正弦定理及其推论： =2R(R为△ABC外接圆半径）BCAabc思考： 在△ABC中,已知AB=2,BC=5,△ABC的面积为4，
∠ABC=θ，则sinθ= .2.利用正弦定理解三角形题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角
步骤：利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求另外两边.
题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角一、复习回顾若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：
（1）先利用 求出sinB，从而求出角B；
（2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)；
（3）再利用 求出边c.注意：求角B时应注意检验！依条件可知，同理可得二、新课讲解问题：在△ABC中，a=8，b=3，C=60o，求c.如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c.题型三:已知三角形的两条边及其夹角,求出另一边。 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即余弦定理：注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边二、新课讲解例3 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o，
解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.解：∵a2=b2+c2-2bccosA
=602+342-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)故由正弦定理可得∵c∴利用计算器可求得 C≈33°
∴B=180o-(A+C) ≈ 180o-(41o+33o)=106°故由余弦定理可得 三、例题讲解 一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角.∴利用计算器可求得 C≈33°
∴B=180o-(A+C) ≈ 180o-(41o+33o)=106°
余弦定理的推论：注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出相应的三个角二、新课讲解例4 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，
c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。解：∴A≈56°20′∴B≈32°53′三、例题讲解利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角；
（2）已知三边，求三个角.745o二、新课讲解余弦定理及其推论：解三角形的四种基本类型：例5.已知△ABC的三条边长的比为1：2： ，求该
三角形的最大内角.解：依题意可设该三角形三条边分别为则角C为最大内角∴C=120o三、例题讲解又∵0o（2）若A为锐角，则a2 < b2+c2
（3）若A为钝角，则a2 > b2+c2由a2=b2+c2－2bccosA可得利用余弦定理可判断三角形的形状.二、新课讲解钝角三角形2.在锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x，试求x的取值范围.变式：若该三角形是钝角三角形呢？AC练习3.在△ABC中，若A=120o，c=5，b=3，则sinBsinC =( )2.△ABC的两边长为2，3，其夹角的余弦为 ，则其外
接圆的半径为( )1.在△ABC中，已知 ，则△ABC中的最小内角的度数是（ ）
A．60o B．45o C．30o D．15oC2 练习 练习 练习四、小结余弦定理及其推论：利用余弦定理判断三角形的形状：
（1）若A为直角，则a2 = b2+c2
（2）若A为锐角，则a2 < b2+c2
（3）若A为钝角，则a2 > b2+c2课件28张PPT。1.1.2 余弦定理第一章 解三角形(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：① 已知两角和一边，求其他角和边 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角1.复习回顾：(3) 正弦定理的变形：(2) 三角形面积公式： 如果已知一个三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的定理，该三角形大小形状完全确定，那么如何解出这个三角形呢？思考：思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C， 求边c.﹚由向量减法的三角形法则得2.余弦定理（1）向量法CBAcab﹚﹚由向量减法的三角形法则得思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.CBAcab﹚余弦定理由向量减法的三角形法则得思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.余 弦 定 理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：（2）解析法当角C为锐角时（3）几何法当角C为钝角时 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA推论：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其
他两个角；3.余弦定理的应用例3 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=410 ，解三角形（边长精确到1cm，角度精确到10）练习2. 已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC整理得：c2-8c+15=0解得：c1=3, c2=5（2）已知三边，求三个角。例4 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7 ，解三角形（角度精确到1’）练习4.在△ABC中，已知a= ,b=2,
c= ,解三角形.解：由余弦定理得（3）判断三角形的形状例5 在△ABC中， ，
那么Ａ是（ ）Ａ. 钝角 Ｂ. 直角
Ｃ. 锐角 Ｄ. 不能确定Ａ提炼：设a是最长的边，则7. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,
判定△ABC的形状分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角
B决定的。变式：若已知三边的比是7:10:6，怎么求解 练习：8.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ） 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。BA. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，4，5 D. 4，5，69.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。则有：b是最大边，那么B 是最大角4.小结:（1）余弦定理：（2）推论: （3）余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
已知两边及其夹角，求第三边和其他
两个角。
2) 已知三边求三个角。
3) 判断三角形的形状。