课件17张PPT。 第二章 数列
2.3 等差数列的前n项和复习回顾1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)dan-an-1=d (n∈N*且 n≥2)3.数列{an}的前n项和: 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
探究发现等差数列的前n项和 德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？赶快开动脑筋，想一想！探究发现问题 ：1100获得算法：图案中，第1层到第100层一共有多少颗
宝石？
探究发现问题 ：如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？探究发现思考：①在正整数列中，前n个数的和是多少？
②在正整数列中，前n个偶数的和是多少？等差数列前n项和公式1＋2＋…＋n =
2 + 4 +…+ 2n=2n(n+1)n(n+1)例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中
小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提
出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算,
2001年该市用于“校校通”的总目标:从2001年
起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的
校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工
程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计
划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中
的总投入是多少?解：依题意得，从2001～ 2010年，该市在“校校
通”工程的经费每年比上一年增加50万元，所以
每年投入的资金构成等差数列{an}，且 a1=500,d=50,n=10.那么，到2010年（n=10),投入的资金总额为答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是 310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这
个等差数列的前n项和的公式吗？分析：方程思想和前n项和公式相结合分析：将已知条件代入等差数列前n
项和的公式后，可以得到两个关于首项和公差
的关系式，他们是关于首项和公差的二元一次
方程，由此可以求得首项和公差，从而得到所
求的前n项和的告诉.解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式得到方程思想当n >1时： ①?当n=1时： 也满足①式.【解析】由题意知，等差数列的公差为 于是，当n取与 最接近的整数即7或8时， 取最大值答案: 27练习1、练习2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？答案: n=9，或n=-3（舍去） 1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法
——倒序相加法；
3.公式的应用(知三求一)；
（两个）课堂小结课件26张PPT。 第二章 数列
2.3 等差数列的前n项和有一次，老师和高斯经过
建筑工地，建筑工地上放
着一堆圆木，从上到下每
层的数目分别为1，2，3，
……，100 . 老师问：
高斯，你知道共有多少
根圆木吗？问题就是：计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100=？创设情景高斯的算法计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②启 发倒序相加法探 究 高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到一般等差数列的前n项和吗？ 合 作 探 究已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .如何才能将等式的右边化简？①②思考：还有别的推导方法吗？已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .＋＋＋… ＋ ①② 另 解 ①+ ②得倒序相加法公 式 变 形思考：比较这两个公式，如何记忆？从哪些角度反映等差数列性质？等差数列的前n项和的公式：含a1 和d求 和 公 式含a1 和an公式记忆公 式 记 忆对比：我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1ana1a1(n-1)d将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.公 式 应用练一练例 题 讲 解 例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求？解：依题意得，该市在“校校通”工程的经费每年比上一年增加50万元，所以每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.那么，到2010年（n=10),投入的资金总额为答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例 题 点 评解决实际问题的步骤：
（1）仔细阅读题目，审清题意；
（2）提取相关数学信息，建立数学模型（本题为等差数列模型）；
（3）解决此数学模型所体现的数学问题（本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解）；
（4）还原问题（回到实际问题中作答）。易错方面：（1）审题不清（如：把前n项和与最后一项混淆）（2）项数……（3）忘记答或写单位例 题 讲 解例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？分析：方程思想和前n项和公式相结合解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式得到还有其它方法吗？方程思想一 题 多 解例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？一 题 变 式例2变式、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前30项和的公式吗？【另解】由等差数列的性质，可推得： 成等差数列 解得：前30项的和为2730 .整体思想点评： 上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出，要注意体会这种思想在数学中的运用.变 式 提 高整体思想知 识 小 结 1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法——
3.公式的应用 ；
（两个）倒序相加法(知三求一)例 题 讲 解当n >1时： ①?当n=1时： 也满足①式.变 式 训 练当n >1时：
①?当n=1时： 不满足①式.点评：分类讨论思想【深化探究】 ● 如果一个数列 的前n项和为
其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.结论：数列是等差数列等价于常数项为0的关于n的二次型函数例 题 讲 解【解析】由题意知，等差数列的公差为 于是，当n取与 最接近的整数即7或8时， 取最大值.函数思想还有其它方法吗？例 题 讲 解从等差数列的通项公式出发来分析【本节小结】1.等差数列的前n项和公式3.推导等差数列前n项和公式方法：倒序相加法4.本节基本思想：方程思想函数思想分类讨论思想整体思想
