安徽省九师联盟2023-2024学年高三上学期数学10月期中试卷
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．已知是角的终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
5．扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：的长为， ，，该折扇的扇面的面积为.
故答案为：D.
【分析】根据扇形的弧长公式求出，再结合扇形面积求扇面面积.
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．如图，已知两个单位向量和向量与的夹角为，且与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
8．已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
二、多选题
9．已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于点对称
【答案】B,D
10．下列式子中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且为奇函数，若，则（ ）
A． B．4为的一个周期
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解： ，即，，函数 关于直线对称，
为奇函数，，函数 关于点对称，
A、函数 关于点对称，，A正确；
B、函数 关于点对称，，又，，函数是周期为4的周期函数，B正确；
C、由，求导得，令，得即，C错误；
D、由B得，求导得，令，得即，又，周期也为4， ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，得函数 关于直线对称，再由为奇函数，得函数 关于点对称，进而分析AB选项；CD、结合原函数性质和导数运算进行判断.
12．在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的面积与的面积之比是
B．若，则满足条件的三角形有两个
C．若，则为等腰三角形
D．若点是的重心，且，则为直角三角形
【答案】A,C,D
三、填空题
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
14． ．
【答案】
15．函数的值域为 ．
【答案】
16．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
四、解答题
17．已知向量，函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）在中，，求边的长．
【答案】（1）解：由题意得
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递减区间为
（2）解：由（1）知，，
则，由，得，
则，解得，
又由，得，已知，
则由正弦定理，
得.
18．已知，且是偶函数．
（1）求的值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．
【答案】（1）解：函数定义域为R，由函数为偶函数，有，
即，则有，
即，得，所以.
（2）解：由（1）可知，，
则，
设，
依题意有，
由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，
令，则，有，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
，则有，得，
所以实数的最大整数值为5.
19．已知是方程的根．
（1）求的值；
（2）若是第四象限角，，求的值．
【答案】（1）解：方程，解得，，
由，得，
当在第三象限时，可得；当在第四象限时，可得，
，
所以，当在第三象限时，；
当在第四象限时，，
（2）解：若是第四象限角，则，，
由，则，
所以
.
20．南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．
（1）求；
（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
【答案】（1）解：由题意知，，，
则，，
所以.
所以栈道总长度为
（2）解：建造栈道的费用为，则，
令，得，又，解得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，
故，
此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.
21．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．
（1）求的值；
（2）若，证明：．
【答案】（1）解：在锐角中，，
已知，即，得，
在中，由余弦定理得，则有，
由，得，
又，且，解得，，
所以.
（2）解：，，，由正弦定理，
则有，，
，，
，
其中，，，
，，
则有，，即，
锐角中，，所以，则，
即，有，
又，则，
所以，即.
22．已知函数为其导函数．
（1）求在上极值点的个数；
（2）若对恒成立，求的值．
【答案】（1）解：
①当时，，
所以，，则，
所以在单调递增；
②当时，则，
设，则，
且，，则，
所以在单调递减，
又，
故存在，使得，即，
且在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，
所以，又，
所以，故在上单调递减；
④当时，则，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增；
⑤当时，则，，
所以，在上单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
（2）解：当时，恒成立，
即.
令，
若对恒成立，
由，，
所以当时，取得最小值.
由，
则为函数的极小值点，故，解得.
下面证明：当时，为函数的最小值点，
，
令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，且，
所以当时，的最小值为，则恒成立，
即在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，符合题意.
综上所述，.
1 / 1安徽省九师联盟2023-2024学年高三上学期数学10月期中试卷
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是角的终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知两个单位向量和向量与的夹角为，且与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于点对称
10．下列式子中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且为奇函数，若，则（ ）
A． B．4为的一个周期
C． D．
12．在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的面积与的面积之比是
B．若，则满足条件的三角形有两个
C．若，则为等腰三角形
D．若点是的重心，且，则为直角三角形
三、填空题
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
14． ．
15．函数的值域为 ．
16．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
四、解答题
17．已知向量，函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）在中，，求边的长．
18．已知，且是偶函数．
（1）求的值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．
19．已知是方程的根．
（1）求的值；
（2）若是第四象限角，，求的值．
20．南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．
（1）求；
（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
21．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．
（1）求的值；
（2）若，证明：．
22．已知函数为其导函数．
（1）求在上极值点的个数；
（2）若对恒成立，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：的长为， ，，该折扇的扇面的面积为.
故答案为：D.
【分析】根据扇形的弧长公式求出，再结合扇形面积求扇面面积.
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】B,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解： ，即，，函数 关于直线对称，
为奇函数，，函数 关于点对称，
A、函数 关于点对称，，A正确；
B、函数 关于点对称，，又，，函数是周期为4的周期函数，B正确；
C、由，求导得，令，得即，C错误；
D、由B得，求导得，令，得即，又，周期也为4， ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，得函数 关于直线对称，再由为奇函数，得函数 关于点对称，进而分析AB选项；CD、结合原函数性质和导数运算进行判断.
12．【答案】A,C,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】1
17．【答案】（1）解：由题意得
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递减区间为
（2）解：由（1）知，，
则，由，得，
则，解得，
又由，得，已知，
则由正弦定理，
得.
18．【答案】（1）解：函数定义域为R，由函数为偶函数，有，
即，则有，
即，得，所以.
（2）解：由（1）可知，，
则，
设，
依题意有，
由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，
令，则，有，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
，则有，得，
所以实数的最大整数值为5.
19．【答案】（1）解：方程，解得，，
由，得，
当在第三象限时，可得；当在第四象限时，可得，
，
所以，当在第三象限时，；
当在第四象限时，，
（2）解：若是第四象限角，则，，
由，则，
所以
.
20．【答案】（1）解：由题意知，，，
则，，
所以.
所以栈道总长度为
（2）解：建造栈道的费用为，则，
令，得，又，解得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，
故，
此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.
21．【答案】（1）解：在锐角中，，
已知，即，得，
在中，由余弦定理得，则有，
由，得，
又，且，解得，，
所以.
（2）解：，，，由正弦定理，
则有，，
，，
，
其中，，，
，，
则有，，即，
锐角中，，所以，则，
即，有，
又，则，
所以，即.
22．【答案】（1）解：
①当时，，
所以，，则，
所以在单调递增；
②当时，则，
设，则，
且，，则，
所以在单调递减，
又，
故存在，使得，即，
且在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，
所以，又，
所以，故在上单调递减；
④当时，则，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增；
⑤当时，则，，
所以，在上单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
（2）解：当时，恒成立，
即.
令，
若对恒成立，
由，，
所以当时，取得最小值.
由，
则为函数的极小值点，故，解得.
下面证明：当时，为函数的最小值点，
，
令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，且，
所以当时，的最小值为，则恒成立，
即在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，符合题意.
综上所述，.
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