课件22张PPT。章末总结网络建构专题归纳网络建构专题归纳规律方法 不等式的性质是本章内容的理论基础,是不等式证明和解不等式的主要依据,在应用不等式性质时要特别注意每个性质的使用条件,不要盲目乱用或错用.题型二 一元二次不等式的解法
【例2】 解不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a>0).名师导引:先求出对应方程的两根,根据根的大小分类讨论.规律方法 解含参数的不等式,一般其分类标准有:
(1)按二次项系数等于0与不等于0分类;
(2)二次项系数不为零时,按Δ进行分类;
(3)当Δ>0时,按根的大小进行分类.
解题过程中要做到不重不漏,有条不紊,顺理成章.题型三 一元二次不等式与函数、方程的综合问题
【例3】 设函数f(x)=mx2-mx-6+m.
(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围 名师导引:在(1)中已知m的取值范围,要求x的取值范围,需要把f(x)转化为m的函数,即以m为主元,把x视为参数,在(2)中,则恰好相反.规律方法 本题运用了变更主元法.变更主元法就是根据实际情况的需要确定更合适的主元,以突出其主要矛盾,使问题得以解决.规律方法 目标函数最值的确定采用的是平面图解法,其解题要点是:①确定可行域;②让动态的目标函数的图象经过可行域;③确定目标函数的最值.当目标函数是非线性时,其函数图象是动态的,且要经过可行域,从图象变化中就可找出最值.名师导引: (1)配凑系数使和为定值;(2)把分子、分母均转化为(x-1)的形式,再整理成和的形式,利用基本不等式求解.规律方法 “配凑系数”、“拆项法”是利用基本不等式求最值的常用技巧,求积的最大值,和必须是定值;求和的最小值,积必须是定值.规律方法 解有关不等式恒成立问题常用方法:
(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x)),从而转化成f(x)求最值.
(2)如果参数不能分离,而x可以分离,如g(x)≤f(k)(或g(x)≥f(k)),则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值,然后解关于参数k的不等式.
(3)若不等式对于x,参数都是二次的,则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0求解.点击进入检测试题点击进入综合检测课件30张PPT。第三章 不等式
3.1不等关系与不等式新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:在日常生活中,我们经常看到下列标志想一想 图中的标志各表示什么意思?你能用数学关系式表示吗?
(①最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里,v≥50;
②限制质量:装载总质量G不得超过10吨,0≤G≤10;
③限制高度:装载高度h不得超过3.5米,0≤h≤3.5;
④限制宽度:装载宽度a不得超过3米,0≤a≤3)知识探究——自主梳理 思考辨析1.比较实数a、b的大小
(1)文字叙述
如果a-b是 ,那么a>b;
如果a-b ,那么a=b;
如果a-b是 ,那么a
(2)符号表示
a-b>0?a b;
a-b=0?a b;
a-b<0?a b.正数等于零负数>=c (6)乘法性质: > b(1)对称性:a>b? .(2)传递性: ? .(3)加法性质: ?a+c>b+c. (4)乘法性质: ?ac>bc, ?acb+d. ? .ac>bd (7)乘方性质: ?an>bn. (8)开方性质: ? . 思考:由a>b可以得出 < 吗?
提示:不可以.例如当a=2,b=-2时,该结论错误;当a·b>0时,a>b? <题型探究——典例剖析 举一反三题型一 用不等式来表示不等关系
【例1】 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.名师导引: (1)矩形菜园靠墙的一边长x应满足什么条件?(0(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一.跟踪训练1-1:配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A、B两种药至少各配一剂,设A、B两种药分别配x、y剂(x、y∈N),请写出x、y应满足的不等关系式.题型二 作差法比较两式或两数的大小
【例2】 已知x∈R,试比较3x2-2x+1与2x2-x-1的大小.题后反思 (1)比较两个实数(代数式)大小的一般步骤是作差——变形——判断符号——下结论.
(2)作差法比较大小的关键是变形,常用的变形方法有配方、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.跟踪训练2-1:比较下列各组中两个代数式的大小:
(1)x2+3与3x;
(2)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b),
∵a>0,b>0且a≠b,
∴(a-b)2>0,a+b>0.
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,
即a3+b3>a2b+ab2.跟踪训练3-1:已知a>b,m>n,p>0,求证:n-ap证明:∵a>b,又p>0,∴ap>bp,
∴-ap<-bp,
又m>n,即n(2)要充分利用所给条件,进行适当变形来求范围,注意变形的等价性备选例题【例1】已知a>0,b>0,比较aabb与abba的大小.
解:∵a>0,b>0,∴aabb>0,abba>0,【例2】设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.达标检测——反馈矫正 及时总结1.若a>b,c>d,则下列不等式关系中不一定成立的是( )
(A)a-b>d-c (B)a+d>b+c
(C)a-c>b-c (D)a-c解析:由不等式的性质易知A、C、D成立,选B.B2.设m=x2+y2+2y,n=2x-5,则m,n的大小关系是( )
(A)m>n (B)m(C)m=n (D)与x,y取值有关
解析:m-n=x2+y2+2y-2x+5
=(x-1)2+(y+1)2+3>0,
∴m>n,选A.A3.当x>0时,2x+3与x+2的大小关系为 .?
解析: (2x+3)-(x+2)=x+1,
∵x>0,
∴x+1>1>0,
∴2x+3>x+2.
答案:2x+3>x+24.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来少10 km,那么在6天内它的行程将不超过2000 km,用不等式表示为 .?
解析:如果该汽车每天行驶的路程比原来少10 km,那么在6天内它的行程为6(x-10)km,那么不等关系“在6天内它的行程将不超过2000 km”可以用不等式6(x-10)≤2000来表示.
答案:6(x-10)≤2000课堂小结
1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.
a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a2.作差比较的一般步骤:
第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.
3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依性质进行,千万不可想当然.点击进入课后作业课件29张PPT。3.2 一元二次不等式及其解法第一课时/一元二次不等式及其解法新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:给出下列不等式:
①x2-3x+2>0;②x2+4x-5≤0;③2x2+x+5≤0;
④x2-4x+4>0;⑤4x2+3>0;⑥x2+6x+9>0.想一想 实例中的6个不等式,它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少?
(它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都
是2)知识探究——自主梳理 思考辨析1.一元二次不等式
只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,叫做一元二次不等式.
2.二次函数,一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
见附表一个2题型探究——典例剖析 举一反三题型一 一元二次不等式的概念
【例1】 判断下列不等式中哪些是一元二次不等式?
①x2>0;②-x2-x<1;③2x2-4y+1≥0;④ <0;⑤(x+3)(2x-1)≤0;⑥(k2+1)x2-2x-k>0(k∈R).解:不等式①②⑤⑥中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2,且最高次项系数不为0,它们都是一元二次不等式;不等式③中含有两个未知数,不是一元二次不等式;不等式④中含有分式,是分式不等式,不是一元二次不等式.题后反思 一元二次不等式的特点:①含一个未知数,②未知数的最高次数是2,③最高次项系数不为0.跟踪训练1-1:判断下列不等式是否是一元二次不等式?
(1)x2+ax-3>0;
(2)-5x2-6x+3≤0;
(3)ax2+3x-2≥0;
(4)3x3+2x-1<0.
解: (1)(2)一定是一元二次不等式;(3)中,当a≠0时是一元二次不等式,当a=0时,不是一元二次不等式;(4)不是一元二次不等式.题型二 一元二次不等式的解法
【例2】 解下列不等式:
①-2x2+x-6<0;
②-x2+6x-9≥0;
③x(7-x)>0;
④13-9x2<0.
解:①原不等式可化为
2x2-x+6>0,
∵方程2x2-x+6=0的判别式
Δ=(-1)2-4×2×6<0,
∴函数y=2x2 -x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图).∴观察图象可得,不等式的解集为R.②原不等式可化为x2-6x+9≤0,
即(x-3)2≤0,
∴原不等式的解集为{x|x=3}.
③原不等式可化为x(x-7)<0,
方程x(x-7)=0的两根是x1=0,
x2=7,
函数y=x(x-7)的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(0,0),(7,0)(如图).观察图象可得,
原不等式解集为{x|0(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
草图.
(5)根据图象写出不等式的解集跟踪训练2-1: (1)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根, 则实数m的取值范围是( )
(A)(-1,1)
(B)(-2,2)
(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)(2012年高考湖南卷)不等式x2-5x+6≤0的解集为 .?
解析: (1)由题意知Δ=m2-4>0,
∴m<-2或m>2.故选C.
(2)x2-5x+6≤0,即(x-2)(x-3)≤0.故2≤x≤3.
答案: (1)C (2){x|2≤x≤3}解析:(1)法一 将x=0代入验证可排除选项A、B、D.故选C.备选例题【例题】(2014山东沂水高二检测)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-11.解一元二次不等式可按照“一看,二算,三写”的步骤完成,但应注意,当二次项系数为负数时,一般先化为正数再求解,一元二次不等式的解集是一个集合,要写成集合的形式.
2.解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图象.一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标,对应不等式的解集,就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合,而方程的根就是不等式解集区间的端点.点击进入课后作业课件25张PPT。第一课时/一元二次不等式及其解法习题课题型探究达标检测题型探究——典例剖析 举一反三题型一 已知不等式的解集求参数的值
【例1】 若不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1(1)试求a、b的值;名师导引: (1)由不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1(2)怎样求得a与b的值?(利用根与系数的关系)题后反思 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1,x2时,二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集区间的端点为x1,x2.当已知ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集时,也就知道了ax2+bx+c=0的根,求参数时一般需把根代入方程或利用根与系数的关系(韦达定理)得出.题型二 一元二次不等式恒成立问题
【例2】 若关于x的一元二次不等式2x2-8x+6-m>0对任意的x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解:法一 要使2x2-8x+6-m>0恒成立,就是使不等式2x2-8x+6-m>0的解集为R,
∵a=2>0,∴只需Δ=64-8(6-m)<0,
∴m<-2.
故m的取值范围是m<-2.
法二 不等式2x2-8x+6-m>0对任意的x∈R恒成立,则只需m<2x2-8x+6对任意的x∈R恒成立.
记g(x)=2x2-8x+6,
∵g(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2.
∴g(x)=2x2-8x+6在x∈R上的最小值为-2,
∴m<-2.(2)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即:
k≥f(x)(k>f(x))恒成立?k≥f(x)max(k>f(x)max);
k≤f(x)(k解:①若a=0,不等式化为-x-2≤0不能对x∈R恒成立;
②若a≠0,则有a<0时,应有Δ≤0,题型三 含参数不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式x2-2ax-8a2<0.
解:不等式x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0,
①当-2a=4a,即a=0时,不等式即为x2<0,解集为 ,②当-2a>4a,即a<0时,则4a③当-2a<4a,即a>0时,则-2a综上所述:当a=0时,原不等式的解集为 ,当a<0时,原不等式的解集为{x|4a当a>0时,原不等式的解集为{x|-2a解:方程x2+(1-a)x-a=0的解集为x1=-1,x2=a,
函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为 ,当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1解:法一 设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1,x2.达标检测——反馈矫正 及时总结D 2.要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a的取值范围是( )
(A)-11
(C)-21
解析:设f(x)=x2+(a2-1)x+a-2
由题意得f(1)=12+a2-1+a-2<0,
∴a2+a-2<0,
(a+2)(a-1)<0,
-20的解集是{x|3(x-a)?(x+a)<1对任意x都成立,则a的范围是 .?
解析: (x-a)?(x+a)<1,
(1-x+a)(1+x+a)-1<0,
(1+a+x)(1+a-x)-1<0,
(1+a)2-x2-1<0,
x2>a2+2a,
∴a2+2a≤0,
∴-2≤a≤0.
答案: {a|-2≤a≤0}课堂小结
1.解决不等式恒成立问题关键是等价转化思想的应用,同时要结合二次函数的图象来求解.
2.解不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0时要注意对参数分类讨论,讨论一般分为三个层次,第一个层次是二次项系数为零和不为零;第二个层次是有没有实数根的讨论,即判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0;第三个层次是根的大小的讨论.点击进入课后作业点击进入周练卷课件28张PPT。3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:给出以下两个方程:
①2x+3y-6=0,②x-4y+4=0.想一想 (1)这两个方程是什么类型的方程?它们的解有多少个?它们对应的几何图形是什么?
(都是二元一次方程;都有无穷多解;对应的几何图形是直线)
(2)若将方程中的等号改为不等号,将得到什么?它们有什么
特点?
(将等号改为不等号,将得到不等式;其中都含有2个未知数,未知数的次数都是1)知识探究——自主梳理 思考辨析1.二元一次不等式(组)的概念
(1)二元一次不等式:我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.
(2)二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成 ,所有这样的 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序数对(x,y)有序数对(x,y)2.二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成
,以表示区域不包括边界.虚线3.二元一次不等式表示的平面区域的确定
对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,因此只需在直线Ax+By+C=0的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
思考:若已知直线l:Ax+By+C=0,记f(x,y)=Ax+By+C,设M(x1,y1),N(x2,y2),那么M与N在直线l同侧的条件是什么?M与N在l两侧的条件是什么?
提示:点M与N在l同侧的条件是f(x1,y1)·f(x2,y2)>0;在l异侧的条件是f(x1,y1)·f(x2,y2)<0题型探究——典例剖析 举一反三解: (1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线).
取原点(0,0),代入2x+y-10.
∵2×0+0-10<0,∴原点在2x+y-10<0表示的平面区域内,不等式2x+y-10<0表示的平面区域如图(1)阴影部分所示.(2)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合;x+y+1≥0表示直线x+y+1=0上及右上方的点的集合;x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以不等式组表示的平面区域如图(2)阴影部分所示.题后反思 (1)在画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,注意区分边界的虚实.Ax+By+C≥0(≤0)表示的平面区域包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成实线;Ax+By+C>0(<0)表示的平面区域不包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成
虚线.
(2)测试点选取要恰当.一般地选原点(0,0)、(0,1)或(1,0),如果测试点的坐标满足不等式,则所求平面区域为包括测试点的直线的一侧,否则在直线的另一侧,最后将平面区域用阴影表示出来.跟踪训练1-1:如图,请写出表示阴影部分区域的不等式组.解:由于直线BC的方程为y=-1,
直线AC的方程为x=0,
直线AB的方程为
2x-y+2=0,
因此表示该区域的不等式组是题型二 二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积与整点个数问题解:画出平面区域如图阴影部分所示,平面区域图形为直角三角形.题型三 实际应用
【例3】 一工厂生产甲、乙两种产品,生产每种1 t产品的资源需求如下表:该厂有工人200人,每天只能保证160 kW·h的用电额度,每天用煤不得超过150 t,请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围.名师导引: (1)该工厂每天甲、乙两种产品的产量x,y应受到哪几个方面的限制?(生产两种产品所需的电力之和不能超过160 kW·h,工人人数之和不能超过200人,所需煤之和不能超过150 t)(2)产量x、y本身还应满足什么条件?(x≥0,y≥0)
(3)怎样画出允许的产量的范围的图形?(先确定x、y满足的不等式)解:设每天分别生产甲、乙两种产品xt和yt,生产xt甲产品和yt乙产品的用电量是(2x+8y) kW·h,根据条件,有2x+8y≤160;用煤量为(3x+5y)t,根据条件有3x+5y≤150;用工人数为5x+2y≤200;
另外,还有x≥0,y≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域,即如图所示的阴影部分(含边界):跟踪训练3-1:某厂使用两种零件A、B装配甲、乙两种产品,该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2500件,每月生产乙产品最多1200件,而且装一件甲产品需要4个A,6个B,装一件乙产品需要6个A,8个B,该厂每月能用的A最多有14000个,B最多有12000个,用不等式组将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来,并画出相应的平面区域.备选例题达标检测——反馈矫正 及时总结解析:把三点坐标代入可知,P2、P3满足不等式.故选C.C 2.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的异侧,则a的取值范围是 .?
解析:由题意知
(3×3-2×1+a)·[3×(-4)-2×6+a]<0,
即(7+a)(a-24)<0,
解得-7答案: (-7,24)4.根据下列平面区域,写出它们所对应的二元一次不等式(组).(1)平面区域对应的不等式(组): ;?
(2)平面区域对应的不等式(组): ;?
(3)平面区域对应的不等式(组): .?课堂小结
1.一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0或Ax+By+C<0在平面直角坐标系内表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域.
2.在画二元一次不等式表示的平面区域时,应用“直线定边界,特殊点定区域”的方法来画区域,取点时,若直线不过原点,一般用“原点定区域”;若直线过原点,则取点(1,0)即可.总之,尽量减少运算量.
3.画平面区域时,注意边界线的虚实问题.点击进入课后作业课件30张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题第一课时/简单的线性规划问题新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:高二·一班准备举行联欢晚会.班长交给小明的任务是购买彩球布置装点晚会的会场.班长要求小明最多花100元钱,且要购买大、小两种彩球,小明经考察计算出大球数不少于10个,小球数不少于20个,且两种彩球越多越好,已知大球和小球的单价分别是2元和1元.小明应该怎样设计购买的方案才能达到最好的效果?想一想 (1)何为所谓的购买方案?
(即设计出在符合要求的前提下,大球和小球分别应买的个数)
(2)设购买大球x个,小球y个,那么变量x,y应受到哪些约束?(3)何为达到最好的效果?
(在符合要求的前提下,使大球与小球个数之和最大,若令z=x+y,即要使z取到最大值)知识探究——自主梳理 思考辨析线性规划中的基本概念一次解集合思考:线性规划问题的最优解一定是唯一的吗?
提示:不一定,若目标函数对应的直线斜率与约束条件中的某一约束条件对应的直线斜率相等,则最优解可能有无数个.题型探究——典例剖析 举一反三题后反思 线性规划问题的解法步骤:
(1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式表示的区域,然后求出所有区域的交集.
(2)令z=0,作出一次函数ax+by=0.
(3)求出最终结果.在可行域内平行移动一次函数ax+by=0,从图中能判定问题有唯一最优解,或是有无穷最优解,或是无最优解.题型二 线性规划中的实际应用问题
【例2】 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?名师导引: (1)建立约束条件前,应先解决什么问题?(设出相关的变量,本例中即设出在甲、乙两个电视台的广告时间分别为x和y)
(2)如何建立约束条件?(时间总数不超过300分钟;费用总和不超过9万元,此外还要注意时间本身应都是非负实数)
(3)目标函数是什么?(公司的收益z=3000x+2000y)题后反思 利用线性规划解决实际问题的步骤(1)设出未知数(当数据较多时,可以列表格来分析数据);(2)列出约束条件,确立目标函数;(3)作出可行域;(4)利用图解法求出最优解;(5)得出结论.跟踪训练2-1:(2012年高考江西卷)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( )
(A)50,0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50当目标函数线l向右平移,移至点A(30,20)处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20亩时,种植总利润最大.故选B.备选例题A D 达标检测——反馈矫正 及时总结B 解析:画出可行域如图阴影部分所示,作出与3x-2y=0平行的直线z=3x-2y可知,当直线z=3x-2y过(0,2)点时z取最小值-4.故选B.2.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可
行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可
行解.
其中正确命题的序号是 .?
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确.故填④.
答案:④课堂小结
1.用图解法求线性目标函数的最值时,要搞清楚z的含义,z一般与直线在y轴上的截距有关.
2.作不等式组表示的可行域时,注意标出相应的直线方程,平移直线时,要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较,确定最优解.点击进入课后作业课件30张PPT。第二课时/线性规划问题习题课题型探究达标检测题型探究——典例剖析 举一反三题后反思 含参数的线性规划问题有两种类型,一是约束条件中含有参数,二是目标函数中含有参数.本例属于第一种类型,解题时注意目标函数中斜率与可行域的边界直线的斜率之间的大小关系,有时需分类讨论.题型三 线性规划中的整数最优解问题
【例3】 (12分)某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如下表所示:试问加工这两种产品各多少件,才能使工厂销售总收入最多?名师导引: (1)若设两种产品分别加工x件和y件,那么约束条件首先应考虑什么?(首先应考虑总有效工时的限制,即4x+3y≤480,2x+5y≤500)
(2)除了总有效工时的限制,还有什么特别的限制?(加工产品的件数x和y都应是自然数,因此x,y∈N)
(3)在约束条件中当变量x,y均限制为自然数时,怎样求目标函数的最值?(先不考虑x,y是自然数的限制条件,求出最优解,然后在此基础上采用列举逐一检验或网格线法寻找最优整
数解)………………………………5分…………………………………3分备选例题解得点(x,y)所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边界).其中AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;
DA:x+y=1.
(2)f(x,y)表示直线l:y-ax=z在y轴上
的截距,且直线l与(1)中所求区域有
公共点.∵a>-1,∴当直线l过顶点
C时,f(x,y)最大,∵C点的坐标
为(-3,7),
∴f(x,y)的最大值为7+3a,
如果-1如果a>2,那么当直线l过顶点B(3,1)时,f(x,y)最小,最小值为1-3a.达标检测——反馈矫正 及时总结D B 3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 元.?课堂小结
1.画图对解决与线性规划相关问题至关重要,并且要考虑目标函数的几何意义,利用数形结合的方法解决问题.
2.在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.点击进入课后作业课件27张PPT。第一课时/基本不等式新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例: (1)请你动手做实验:自己任取若干组实数a和b的值,然后计算a2+b2的值与2ab的值,注意它们的大小关系.
(2)观察下面的图形,计算4个直角三角形的面积之和与大正方形ABCD的面积.想一想 (1)实例(1)中,根据你的实验结果.a2+b2与2ab的大小关系怎样?
(a2+b2≥2ab)知识探究——自主梳理 思考辨析≥ a=b ≤ a=b 题型探究——典例剖析 举一反三题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】 已知a,b,c∈R,
求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
证明:由基本不等式可得:
a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,
同理:b4+c4≥2b2c2,
c4+a4≥2a2c2,
∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)
≥2a2b2+2b2c2+2a2c2,
从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.题后反思 利用基本不等式求最值的注意事项:
一是各项为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件.备选例题达标检测——反馈矫正 及时总结D C 课堂小结
1.利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件,并且和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.
2.使用基本不等式求最值时,若等号取不到,则考虑用函数单调性求解.点击进入课后作业课件22张PPT。第二课时/基本不等式的应用习题课题型探究达标检测题型探究——典例剖析 举一反三题后反思 (1)应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、拼凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.题型二 利用基本不等式求解实际应用问题
【例2】 (12分)(2013福州高二期中)要建造一个无盖长方体水池,底面一边长固定为8 m,最大装水量为72 m3,池底和池壁的造价分别为2a元/m2,a元/m2,怎样设计水池底的另一边长和水池的高,才能使水池的总造价最低?最低造价是多少?名师导引:设出变量,列出函数关系式利用基本不等式求最值.题后反思 应用基本不等式求解实际问题的最值的步骤是(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.跟踪训练2-1: 如图,某农场要修建3个矩形养鱼塘,每个面积为10000 m2.鱼塘前面要留4 m宽的运料通道,其余各边为2 m宽的堤埂,问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少?题后反思 a≥f(x)恒成立?a≥[f(x)]max;a>f(x)恒成立?a>[f(x)]max;a≤f(x)恒成立?a≤[f(x)]min;a1.利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正二定三相等”,三个条件缺一不可,解题时,有时为了达到使用基本不等式的三个条件,需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个适合应用基本不等式的情境.
2.利用基本不等式解应用题,既要注意是否具备,还要注意有关量的实际含义.点击进入课后作业点击进入周练卷