课件24张PPT。章末总结网络建构专题归纳网络建构专题归纳题型一 通项公式的求法
【例1】 (1)已知数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}满足an+1=2nan,且a1=1,求an.
名师导引: (1)用累加法求解;(2)用累乘法求解.
解: (1)由an+1-an=3n-n,
得an-an-1=3n-1-(n-1),
an-1-an-2=3n-2-(n-2),
…
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1.
当n≥2时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],名师导引:构造等比数列求an.解: (1)an=1+2(n-1)=2n-1.【例5】(2012年高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,
n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
名师导引: (1)由an与Sn的关系求出an,进而求出bn;
(2)利用错位相减法求和.
解: (1)由Sn=2n2+n得,
当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,
∴an=4n-1,n∈N*.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.规律方法 (1)一般地,对于数列{cn},如果cn=anbn,且数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,那么可以用错位相减法求数列{cn}的前n项和.
(2)错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘等比数列{bn}的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和公式求和.题型四 数列中的最值
【例6】 等差数列{an}的首项为a1=14,前n项和为Sn.若S3=S5,当n为何值时,Sn最大?
名师导引:根据S3=S5,确定基本量后,根据项的正负求解即可,根据二次函数的性质讨论最值.题型五 数列的应用题
【例7】 某文具用品商店开业前要购买一批文具,预算需16000元,店主已有现金6000元,尚缺10000元,以月利率1%,每月按复利计息借贷,借款人借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清,则每月应支付多少元?(不满百元凑足百元,lg 1.01≈0.0043,lg 1.061≈0.0257,lg 1.07≈0.0294)
名师导引:本题考查分期付款问题.方法一:以该商店的欠款为主线计算.方法二:可以假设该店主不是每个月以一定金额还清贷款,而是每个月将这一固定数目的金额以相同的条件存储在银行,最后再一次还清.解:法一 设每个月还贷款a元,
以后第n个月还贷款a元后还剩下欠款an元(1≤n≤6),
设最初贷款为a0=10000,则
a1=a0(1+1%)-a,
a2=a1(1+1%)-a=a0(1+1%)2-[1+(1+1%)]a,
…
a6=a5(1+1%)-a=a0(1+1%)6-[1+(1+1%)+…+(1+1%)5]a,
由题意,得a6=0,
即a0(1+1%)6-[1+(1+1%)+…+(1+1%)5]a=0,规律方法 处理分期付款问题的两种常用方法:
(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前几项,并由此归纳得出数列通项的一般表达式.
(2)以贷款和存款的增值两条线索分别计算,并由它们的相等关系(或不等关系)建立方程(或不等式)求解.点击进入检测试题课件30张PPT。第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法第一课时/数列的概念与通项公式 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例: (1)高二·五班共有48名同学,每位同学都有自己的一个学号,这些学号依次为:1,2,3,…,48.
(2)人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔83年出现一次,那么从发现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为:1740,1823,1906,1989,
2072,….(4)圆周率π是一个无理数,它精确到1,0.1,0.01,0.001,…时的不足近似值依次为:3,3.1,3.14,3.141,….想一想 观察实例,它们都涉及了一些数,这些数的呈现有什么特点?
(按照一定的顺序排列)知识探究——自主梳理 思考辨析1.数列的概念
按照 排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.
2.数列的分类
(1)按项的个数分类一定顺序有限无限项(2)按项的变化趋势分类大于小于相等大于3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
思考1:(1)数列1,2,3,4和数列4,3,2,1是相同数列吗?
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,3,4,…是相同数列吗?
提示: (1)不是,数相同而顺序不同时不是同一个数列.
(2)不是,前者是有穷数列,后者是无穷数列.
思考2:{an}与an表示的含义相同吗?
提示: {an}与an表示不同的含义,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.序号n题型探究——典例剖析 举一反三题型一 数列的分类
【例1】 已知下列数列:
(1)2014,2016,2018,2020,2022;(6)9,9,9,9,9,9.其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 .?解析:分析可知:(1)是有穷递增数列;(3)是无穷递减数列;
(4)是摆动数列,是无穷数列;
(5)是摆动数列,是无穷数列;
(6)是常数列,是有穷数列.
答案: (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)
(4)(5)题后反思 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的项数是有限的,还是无限的.
(2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系.跟踪训练1-1:下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列?(2)1,3-1,3-2,…,3-63;
(3)1,-0.1,0.12,…,(-0.1)n-1,…;
(4)10,20,40,…,1280;
(5)-1,2,-1,2,…;
(6)6,6,6,….
解: (2)、(4)是有穷数列,(1)、(3)、(5)、(6)是无穷数列,(4)是递增数列,(1)(2)是递减数列,(3)(5)是摆动数列,(6)是常数列.题型二 根据数列的前几项写出数列的通项公式
【例2】 写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数:
(1)-2,-4,-6,-8,…
(2)0,3,8,15,…(4)9,99,999,9999,…
(5)2,-2,2,-2,…解: (1)每一项都是负数,且每一项的绝对值恰好是项数的两倍,因此它的一个通项公式是an=-2n.
(2)将数列变形为1-1,4-1,9-1,16-1,…,亦即12-1,22-1,32-1,42-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1.(4)将数列变形为10-1,102-1,103-1,104-1,…,因此它的一个通项公式是an=10n-1.
(5)这是一个摆动数列,符号可由(-1)n+1来调节,每一项的绝对值都等于2,
故它的一个通项公式为an=(-1)n+1·2.题后反思 根据数列的前几项写通项公式的方法.
(1)统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式.
(3)对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1
(n∈N*)调节符号.
(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项.跟踪训练2-1:根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.
(1)-1,7,-13,19,…;
(2)0.8,0.88,0.888,…;解: (1)第一项为负且所有项正负相间隔.因此符号可用(-1)n调节,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6,故它的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).名师导引: (1)通项公式已知,怎样求a4,a7?(令n=4,7代入通项公式即可)
(2)如何说明一个数是否是某数列中的项?(令第n项等于这个数,解关于项数n的方程.若能求得正整数解,那么这个数就是数列中的项,否则不是)跟踪训练3-1:已知数列{an}的通项公式是an=-n2+6n+1.
(1)求{an}的第5项;
(2)-26是否是{an}中的项?
(3)数P(P∈R,P>10)是否是{an}中的项?
解: (1){an}的第5项a5=-52+6×5+1=6.
(2)令an=-26,即-n2+6n+1=-26,
所以n2-6n-27=0,解得n=9(n=-3舍去),
故-26是{an}中的项,且是第9项.
(3)令an=P,
即-n2+6n+1=P,
所以n2-6n+(P-1)=0,
由于判别式Δ=(-6)2-4(P-1)=40-4P,
P>10,
所以Δ<0,方程无解,
故数P(P∈R,P>10)不是{an}中的项.备选例题【例1】 下列说法是否正确,为什么?
(1)数列1,2,3和数列3,2,1是同一数列.
(2)数列1,2,2,3和数列1,2,3实质上是相同的.
(3)数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列.
(4)数列a,b,c与数列c,b,a一定不是同一数列.
解: (1)错.因为数列中的项是有次序的.
(2)错.因为数列中的项可以是相同的,同一个数在不同位次意义不同.
(3)错.因为数列1,2,3与数列1,2,3,…项数不同.
(4)错.因为如果a=c,那么它们就是同一个数列.【例2】 已知数列{an}的通项公式为an=2n2-n,判断45是否为{an}中的项,3是否为{an}中的项?
解:令2n2-n=45,得2n2-n-45=0,达标检测——反馈矫正 及时总结1.下面三个结论:
①1,1,1,1,…是数列
②cos0,sin1,tan2不是数列
③-3,-2,1,x,2,3,y,6是一个项数为8的数列
其中正确的有( )
(A)0个 (B)1个
(C)2个 (D)3个
解析:①正确,是按一定次序排列的一列数,符合定义.
②错误.cos0,sin1,tan2都是数,而且是按一定次序排列的,所以它是数列.③错误.因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成,但x,y不一定为数.故选B.B答案:①②3.填表:课堂小结1.对通项公式的认识
(1)并不是所有的数列都有通项公式,如由π的精确度的数值排列:
3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,….就没有通项公式.2.根据数列前几项写出数列的通项公式
(1)要注意观察每一项的特点,找出各项共同的构成规律:横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与序号n的关系,必要时可使用添项、还原、分割等办法,寻找规律.
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴涵着“从特殊到一般”的思想.点击进入课后作业课件29张PPT。第二课时/数列的性质和递推公式 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例: (1)有一个小型会议室,共15排,第一排有7个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位(如图),那么各排的座位数依次为:7,9,11,
13,15,….(2)有一只小猴子到桃园里摘了62个桃子.第一天,小猴子吃掉了桃子的一半,感觉不过瘾,又吃了一个;第二天,小猴子又吃掉了所剩桃子的一半,然后又多吃一个;第三天仍然这样,依此下去,那么每一天小猴子所剩桃子的个数依次为:30,14,6,2,0.想一想 实例中,每个数列的相邻两项(或三项)之间具有什么关系?知识探究——自主梳理 思考辨析1.数列的函数性质
(1)数列可以看成以 (或它的有限子集 )为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.
(2)在数列{an}中,若an+1 an,则{an}是递增数列;若an+1 an,则{an}为递减数列;若an+1=an,则{an}为常数列.2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.正整数集N*{1,2,…,n}<>思考:数列的通项公式与递推公式有什么区别?
提示:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.题型探究——典例剖析 举一反三题后反思 根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列的单调性,若an+1>an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
求n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
名师导引:思路一:①an与n之间是什么函数关系?(an是n的二次函数)
②二次函数怎样求最值?(配方,求出对称轴)
③数列中的n取值有何特点?由此怎样确定最小项?(n只能取正整数,因此若对称轴不是正整数,应取离对称轴最近的整数值)
思路二:当{an}中an最小时,an应满足什么条件?(an≤an+1与an≤an-1恒成立)又n∈N*,
故n=2或3时,an有最小值,
其最小值为a2=a3=22-5×2+4=-2.答案: -1 2题后反思 利用数列的周期性求数列中的项的解题思路:
先根据递推关系式求出数列的前几项,由此观察发现数列的周期,然后将欲求的项转化为前几项中某一项,从而得到它的值.备选例题解: (1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1),
∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1;
a3=a2+(2×2-1)=1+3=4;
a4=a3+(2×3-1)=4+5=9;
a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.
故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.达标检测——反馈矫正 及时总结2.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6= .?答案: -3答案:4课堂小结1.同数列的通项公式一样,数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一.递推公式法与通项公式法统称为公式法.
2.判断一个数列的增减性,可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断,即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性.
3.有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决,也常转化为函数的最值问题.点击进入课后作业课件26张PPT。2.2 等差数列第一课时/等差数列的概念与通项公式 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例: (1)有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为:
16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.
(2)某次比赛女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg)分别为:48,53,58,63.
(3)某公司技术员的工资有5种级别(单位:千元)8,7,6,5,4.
想一想 1:观察实例中三个数列,每个数列从第2项起,每一项与前一项的差有什么特点?
(等于同一常数)知识探究——自主梳理 思考辨析1.等差数列的定义
如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
思考1:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于常数,该数列是等差数列吗?请举例说明.
(2)等差数列的定义用数学符号怎样表示?
提示: (1)不一定是.如数列1,3,7,15,…不是等差数列.
(2)在数列{an}中,若an-an-1=d(d为常数,n≥2,n∈N*),则数列{an}是等差数列.同一个常数23.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式
an= ,通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量n的一次函数.
思考2:等差数列{an}的公差为d,第n项an与第m项am(n>m)有何关系?
提示:an=am+(n-m)d.a1+(n-1)d题型探究——典例剖析 举一反三名师导引: (1)要证{bn}是等差数列,只需证bn+1-bn=常数或bn-bn-1=常数(n≥2且n∈N*).
(2)利用(1)的结论先求bn,再求an.题后反思 判断或证明一个数列为等差数列的常用方法:
(1)定义法:an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:在数列{an}中,2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),数列{an}是等差数列.解:∵c2-c1=-1-1=-2,n≥2时,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2,
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数,不符合等差数列的定义,
∴数列{cn}不是等差数列.题型二 等差数列的通项公式
【例2】 已知数列{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式.
(1)a3=5,a7=13;
(2)前三项为a,2a-1,3-a.
名师导引:要求得通项公式,需要求哪几个量?(先确定数列的首项a1与公差d,然后代入an=a1+(n-1)d即可)题后反思 在等差数列中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;若知道等差数列中的任意两项,都可利用方程组的思想求出a1和d.但是,要注意公式的变形及整体求解,以减少计算量.跟踪训练2-1:(2013兰州一中高二期中)已知等差数列{an}中,a2=6,
a5=15,若bn=a2n,则b15等于( )
(A)30 (B)45 (C)90 (D)186题型三 等差中项的应用
【例3】 (12分)已知等差数列{an}满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.
名师导引:怎样利用等差中项使已知等式用两个未知量表示?(利用等差中项先求出a3或用a3和公差d的代数式表示a2和a4)题后反思 若三个数成等差数列且和为定值时,常利用等差中项求出中间项.跟踪训练3-1:已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为
, , .?
解析:因为数列8,a,2,b,c是等差数列,
所以2a=8+2,所以a=5,
因为公差d=5-8=-3,
所以b=2+(-3)=-1,c=-1+(-3)=-4.
答案:5 -1 -4备选例题【例题】 (1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;
(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解: (1)法一 设等差数列的等差中项为a,公差为d,
则这三个数分别为a-d,a,a+d.
依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,
所以a=2,
代入a(a-d)(a+d)=-24,
化简得d2=16,
于是d=±4,
故三个数为-2,2,6或6,2,-2.法二 设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,
依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,
所以a=2-d,
代入a(a+d)(a+2d)=-24,
得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,
即d2=16,
于是d=±4,三个数为-2,2,6或6,2,-2.(2)法一 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,
∴d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,
∴d>0.
∴d=1,
故所求的四个数为-2,0,2,4.达标检测——反馈矫正 及时总结B 2.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,则B= .?
解析:由三角形内角和定理知
A+B+C=π.
∵A、B、C成等差数列,3.在等差数列{an}中,
(1)已知a1=2,d=3,n=10,则an= ;?
(2)已知a1=3,d=2,an=21,则n= ;?
(3)已知a1=12,a6=27,则d= ;?解析: (1)an=a1+(n-1)d=2+(10-1)×3=29;
(2)由an=a1+(n-1)d?21=3+(n-1)×2?n=10;答案: (1)29 (2)10 (3)3 (4)10课堂小结1.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,已知a1,n,d,an这四个量中的三个,可以求得另一个量.
2.等差数列的判定关键是看an+1-an(或an-an-1(n≥2))是否为一个与n无关的常数;也可以利用2an+1=an+an+2来判定等差数列.点击进入课后作业课件24张PPT。第二课时/等差数列的性质及简单应用 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:给出以下3个等差数列:
(1)1,4,7,10,13,…,公差为3;
(2)-2,-4,-6,-8,-10,…,公差为-2;
(3)3,3,3,3,3,…,公差为0.
想一想 将实例中三个等差数列中的某两个对应的项相加或相减,得到的数列是否仍然是等差数列?将一个等差数
列中的各项都乘以同一个常数,得到的数列是否仍然是等差数列?如果是,公差与原等差数列的公差有何关系?
(是.例如将(1)与(2)对应各项相加得到数列:-1,0,1,2,3,…,仍然是等差数列,将(2)与(3)对应各项相减得到数列:-5,-7,-9,-11,-13,…,仍然是等差数列;是.例如将(1)各项乘以2,得到2,8,14,20,26,…,仍然是等差数列,且公差变为原来的2倍)知识探究——自主梳理 思考辨析等差数列的常见性质
(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+ (n>m);
(2)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q? ;
(3)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;
(4)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+ ;
(5)若数列{an}成等差数列,则数列{λan+b}(λ,b为常数)仍为等差
数列;
(6){an}和{bn}均为等差数列,则{an±bn}也是等差数列;
(7){an}的公差为d,①d>0?{an}为递增数列;②d<0?{an}为递减数列;③d=0?{an}为常数列.an-m+1am+an=ap+aq(n-m)d思考:在等差数列{an}中,如果m+n=2p(m,n,p∈N*),那么am+an=2ap是否成立,反过来呢?题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等差数列性质的应用
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
解:法一 因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,a15为首项,a60为第四项,设其公差为d,
则a60=a15+3d,
得d=4.
所以a75=a60+d=24.题后反思 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,此法可以简化运算.跟踪训练1-1: (1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
(2)已知{an}、{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为( )
(A)-6 (B)6 (C)0 (D)10解析: (1)∵a3+a4+a5=12,
∴3a4=12,则a4=4,
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
(2)由于{an}、{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.题型二 等差数列中的计算问题
【例2】 已知等差数列{an}的公差是正数,并且a3a7=-12,a4+a6=-4,求数列{an}的通项公式.
名师导引:先由等差数列的性质得a3+a7=a4+a6=-4,再联立a3a7=-12求出a3,a7,进而求a1和d.
解:由等差数列{an}的性质知,
a3+a7=a4+a6,
从而a3a7=-12,a3+a7=-4,
故a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根,
又d>0,解之,得a3=-6,a7=2.则an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12,
即an=2n-12.题后反思 本题利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了一元二次方程巧妙的解出了a3=-6,a7=2,再利用方程思想求出首项与公差,这也是解决此类问题的基本方法.跟踪训练2-1:若数列{an}是等差数列,且a3+a6=4,a8+a11=9,则a13+a16等于( )
(A)14 (B)10 (C)6 (D)2题型三 等差数列的实际应用
【例3】 (10分)有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?
解:设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列{an},
则an=780+(n-1)(-20)=800-20n, …………………………………………2分
解不等式an≥440,800-20n≥440,
得n≤18.……………………………………………………………………4分
当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,
当台数大于或等于18时,单价为440元.……………………………………5分
到乙商场购买,单价为800×75%=600(元).
又(800-20n)n-600n=20n(10-n),…………………………………………6分
所以,当n<10时,600n<(800-20n)n;
当n=10时,600n=(800-20n)n;………………………………………………8分
当10当n≥18时,440n<600n.……………………………………………………10分
所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.题后反思 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.跟踪训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.
试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).
解:设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
∴an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6,
∴利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.备选例题【例1】 若数列{xn}满足xn-xn-1=d(n∈N*,n≥2),其中d为常数,x1+x2+…+x20=80,则x5+x16= .?
解析:由xn-xn-1=d(n∈N*,n≥2)知{xn}是等差数列,
∴x1+x20=x2+x19=…=x10+x11,
∴10(x1+x20)=80,因此x1+x20=8,
故x5+x16=x1+x20=8.
答案:8解: (1)当n=1时,条件变为0=2(a1-1),
∴a1=1,b1=a1+1=2;
当n=2时,由a2=6,知a3=3(a2-1)=15,
b2=a2+2=8,b3=a3+3=18;
当n=3时,可得a4=28,b4=a4+4=32.
∴{bn}的前四项为2,8,18,32,
即2×12,2×22,2×32,2×42.
从而可归纳出bn=2n2(n∈N*).达标检测——反馈矫正 及时总结1.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是( )
(A)公差为-1的等差数列
(B)公差为20的等差数列
(C)公差为-20的等差数列
(D)公差为19的等差数列
解析:易知an=2-n,bn=20(n-1),
∴an+bn=19n-18.
令cn=an+bn,
则cn+1-cn=19(n+1)-18-(19n-18)=19.
故数列{an+bn}是公差为19的等差数列.故选D.D2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于( )
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24
解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16.
故选B.
3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)7
解析:a2+a4+a6-(a1+a3+a5)=3d=-6,
∴d=-2.
又a1+a3+a5=105,
∴3a3=105,a3=35,
∴a20=a3+17d=35+17×(-2)=1.选B.B B4.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8= .?
解析:∵a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,
∴a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.
答案:74课堂小结在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算;二是利用性质运算,运用等差数列的性质,往往会有事半功倍的效果.点击进入课后作业课件34张PPT。2.3 等差数列的前n项和新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例: (1)你听说过高斯求和的故事吗?高斯在解决问题:1+2+3+…+100=?时,不是将各项逐项相加,而是采用了下述办法:1+2+3+…+100=(1+100)+
(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101×50=5050,很巧妙也很迅速地得到了问题的答案.
(2)人们受高斯求和方法的启发,在求数列1,3,5,…,(2n-1)的前n项和的时候,也采用了类似的办法:
于是得到 (3)某仓库堆放的一堆钢管(如图所示),最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根,怎样计算这堆钢管的总数呢?
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管.想一想 实例中,都与一些数的求和有关,其实质是什么?
(求一个数列的若干项的和)知识探究——自主梳理 思考辨析1.等差数列的前n项和的定义及表示
一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn= .
思考1:数列{an}的前n项和Sn与通项an之间有什么关系?a1+a2+a3+…+an思考2:等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,这种说法正确吗?3.等差数列前n项和的性质
等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项之和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成公差为n2d的等差数列.题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等差数列前n项和公式的基本运算
【例1】 (1)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5= .?
(2)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*.若a3=16,S20=20,则S10的值为 .?答案: (1)25 (2)110题后反思 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.跟踪训练1-1: (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4,S3=9,则S4等于( )
(A)14 (B)19 (C)28 (D)60
(2)等差数列{an}中,a3+a5=12,a2=2,则前6项和S6= .?答案: (1)A (2)30题型二 等差数列前n项和的最值问题
【例2】在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn的最大值.法三 先求出d=-2(同法一),
由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.
∵d=-2<0,a1=25>0,
∴a13>0,a14<0.
故n=13时,Sn有最大值169.题后反思 求解等差数列前n项和的最值问题常用方法
(1)二次函数法,即先求得Sn的表达式,然后配方.若对称轴恰好为正整数,则就在该处取得最值;若对称轴不是正整数,则应在离对称轴最近的正整数处取得最值,有时n的值有两个,有时可能为1个.(3)寻求正、负项交替点法,即利用等差数列的性质,找到数列中正数项与负数项交替变换的位置,其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项),然后确定Sn的最值.跟踪训练2-1:数列{an}是等差数列,a1=30,d=-0.6.
(1)从第几项开始有an<0;
(2)求此数列的前n项和的最大值.题型三 等差数列前n项和的性质及应用
【例3】 在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( )
(A)9 (B)12 (C)16 (D)17
名师导引: (1)由S4=1和S8=4如何求得第二个4项之和,即如何求得a5+a6+a7+a8?(由S8-S4即得)
(2)a17+a18+a19+a20可看作是该数列的第几个4项之和?
(第5个4项之和)
(3)可用等差数列的哪个性质求解?(S4,S8-S4,S12-S8,…也成等差数列)
解析:由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=9,故选A.题后反思 (1)本题还可用基本量方法求解,由S4=1,S8=4建立a1与d的方程组求得a1、d的值,再计算a17+a18+a19+a20的值.
(2)在应用性质“Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列”解题时,注意区分“前n项和”与“片段和”的不同.例如本题中,求a17+a18+a19+a20的值与求S20的值是不同的,不要混为一谈.跟踪训练3-1:设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=20,则S30= .?
解析:∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列.
∴2×(20-10)=10+S30-20,
∴S30=30.
答案:30名师导引: (1)令n=2,求得a2,令n=3,求a3.
(2)由an=Sn-Sn-1,求得an与an-1的关系,利用累乘法求an.题后反思 已知an与Sn的关系,求an的步骤:
(1)当n≥2时,用an=Sn-Sn-1计算得到an;
(2)当n=1时,用a1=S1计算得到a1的值;
(3)检验(2)中a1的值是否满足(1)中得到的an,若满足,则通项公式就是an;若不满足,则用分段的形式表示.跟踪训练4-1:已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则an= .?备选例题【例1】 数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)问{an}的前多少项和最大;
(3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和S'n.
(1)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,
又当n=1时,a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2n.
故{an}的通项为an=34-2n.
所以an+1-an=34-2(n+1)-(34-2n)=-2.
故数列{an}是以32为首项,-2为公差的等差数列.
(2)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,
故数列{an}的前17项大于或等于零.
又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.(3)由(2)知,当n≤17时,an≥0;
当n≥18时,an<0.
所以当n≤17时,
S'n=b1+b2+…+bn
=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2.
当n≥18时,
S'n=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|
=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)
=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn
=n2-33n+544.【例2】 一个水池有若干进水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?达标检测——反馈矫正 及时总结1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( )
(A)15 (B)16 (C)49 (D)64
解析:a8=S8-S7=82-72=15.故选A.
2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于( )
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176AB3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a8=3,a13=13,则S24= .?答案:2884.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d= .?答案: -2课堂小结1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法.
2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量.
3.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在推导过程中加强记忆,并在解题中熟练灵活地应用.
4.求等差数列前n项和的最值常用二次函数法和不等式法.点击进入课后作业点击进入周练卷课件26张PPT。2.4 等比数列第一课时/等比数列的概念与通项公式 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例: (1)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23,…,263.
(2)有一种数码产品,其售价为3000元,年折旧率约为20%(就是说这种数码产品每年减少它价值的20%),那么该产品从购买当年算起,逐年的价值依次为3000,3000×0.8,3000×0.82,3000×0.83,….
(3)某人年初投资10000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.055.想一想 观察实例中的数列,它们是等差数列吗?它们中的每个数列,从第二项起与前一项的比有什么特点?
(不是等差数列;比都等于同一个常数)知识探究——自主梳理 思考辨析1.等比数列的定义
如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q表示(q≠0).
思考1:(1)等比数列的定义用数学符号怎样表示?
(2)常数列一定是等比数列吗? 2同一常数公比(2)不一定,只有非零常数列才是等比数列.2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.
思考2:(1)任何两个实数都有等比中项吗?
(2)若实数a,b,c成等比数列,一定有b2=ac吗?若b2=ac,则a,b,c一定成等比数列吗?
提示: (1)不一定,由G2=ab知,只有当两个实数同号时才能有等比中项.
(2)一定;不一定,如当a=b=c=0时.等比数列3.等比数列的通项公式
如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则等比数列的通项公式an= .
思考3:等比数列{an}的公比为q,第n项an与第m项am(n>m)有何关系?
提示:an=am·qn-m.a1qn-1题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等比数列的判断与证明
【例1】 (12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.(2)由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.
∴an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.………………………………………12分(3)通项法:an=a1qn-1(其中a1、q为非零常数,n∈N*)?{an}为等比数列.题型二 等比数列的通项公式及其应用
【例2】 在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.答案: (1)B (2)28-n题型三 等比中项的应用
【例3】 已知等比数列{an}中,a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1与a5的等比中项.于是a5=a1q4=16.
设a1与a5的等比中项为G,则G2=16,故G=±4.
即a1与a5的等比中项为±4.题后反思 在等比数列中当两个数异号时,不存在等比中项,当两个数同号时,它们存在两个互为相反数的等比中项,本题中,a1与a5的等比中项就是±a3,注意不要漏解.跟踪训练3-1:已知等差数列{an}中,a1=9,d=1.若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8备选例题【例2】 数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列,记bn=a2n-1+a2n(n∈N*).
(1)求a3,a4,a5,a6的值;
(2)求证:{bn}是等比数列.达标检测——反馈矫正 及时总结1.下面四个说法:
①由第一项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;
②常数列b,b,b,…,b一定为等比数列;
③等比数列{an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;
④等比数列中,各项与公比都不为零.
正确说法的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:由等比数列的定义知③、④正确.故选C.C(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)2C A 4.在等比数列{an}中,a1=2,a5=162,则数列{an}的公比q= .?
解析:∵a5=a1q4,
∴162=2q4,
∴q4=81,
∴q=±3.
答案: ±3课堂小结3.等比数列的通项公式an=a1qn-1共涉及a1,q,n,an四个量,已知其中三个量可求得第四个量.点击进入课后作业课件26张PPT。第二课时/等比数列的性质及应用 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:给出以下几个等比数列{an}:
(1)1,2,4,8,…,公比q=2;(3)1,-3,9,-27,…,公比q=-3;
(4)2,2,2,2,…,公比q=1.想一想 选取实例中等比数列中的某一个,在其每一项上都乘以同一个非零常数,得到的数列是否还是等比数列?将其每一项变为原来项的倒数,得到的数列是等比数列吗?将其每一项平方,得到的数列是等比数列吗?
(都是等比数列)知识探究——自主梳理 思考辨析等比数列常见性质
若{an}、{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则
(1)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am (n>m);
(2)k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an;
(3)若m,p,n(m、n、p∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列;
(4)an=a1qn-1=a2qn-2=…=am (n>m);an-m+1qn-m题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等比数列性质的应用
【例1】 (1)在等比数列{an}中,若a2=2,a6=12,则a10= ;?
(2)在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于 .?答案: (1)72 (2)-213跟踪训练1-1:(1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
(2)(2013海口调研)在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9·a10·a11等于( )
(A)48 (B)72 (C)144 (D)192题型二 等比数列与等差数列的综合问题
【例2】 (12分)(1)有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8;后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数;
(2)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则成等差数列,求这四个数.跟踪训练2-1:(1)(2013广州高二检测)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a2,a5成等比数列,则a2等于( )
(A)-4 (B)2 (C)3 (D)-3
(2)有四个数,前三个数依次成等比数列,它们的和为19,后三个数依次成等差数列,它们的和为12,则这四个数为 .?答案: (1)C (2)9,6,4,2或25,-10,4,18题型三 等比数列的实际应用
【例3】 某工厂2013年1月的生产总值为a万元,计划从2013年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元?
名师导引: (1)2013年2月的生产总值为多少万元?(a+a×m%=a(1+m%))
(2)2013年3月的生产总值为多少万元?由此知每月的生产总值构成什么数列?(a(1+m%)2,等比数列)
(3)从2013年1月到2014年8月一共有多少个月?(20个月)题后反思 有关增长率问题,通常用等比数列来建立模型求解.跟踪训练3-1:某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?解:根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x,
x+d,(d>0),
则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,解得x=90,d=10,
故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35
=3×90+35
=305(台),
即该厂第一季度实际生产电脑305台.备选例题【例1】 如图所示的树形图为:第一层是一条与水平线垂直的线段,长度为1;第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段,重复前面的作法至第n层,设题中树形图(从下而上)新生各层高度所构成的数列为{an}.
(1)试求a2,a3,a4;
(2)求an.【例2】 设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;达标检测——反馈矫正 及时总结1.已知{an}、{bn}都是等比数列,那么( )
(A){an+bn},{an·bn}都一定是等比数列
(B){an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列
(C){an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列
(D){an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列
解析:两个等比数列的乘积仍是一个等比数列.
故选C. CC2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为( )
(A)100 (B)-100 (C)10000 (D)-100004.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为 .?解析:设插入的6个正数分别为b2,b3,b4,b5,b6,b7,
则有b2b7=b3b6=b4b5=1×2,
∴b2b3b4b5b6b7=8.
答案:8课堂小结1.在解决与等比数列有关的计算问题时,我们首先想到的方法是通法,即通过解方程组求两个基本量首项a1和公比q,求解过程中要注意整体代换思想的运用,但有些问题合理地选择性质求解,可以减少运算量,提高解题效率.
2.解数列的实际应用问题时,首先要分清是等差数列,还是等比数列;是求某一项,还是求某些项的和,再用相应的公式求解.点击进入课后作业课件27张PPT。2.5 等比数列的前n项和第一课时/等比数列的前n项和 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:八戒西天取经后,担任了高老庄集团的董事长,因急需大量的资金投入,于是找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万连续一个月(30天),但从投资的第一天起,第一天必须还给我1元,第二天还给我2元,第三天还给我4元……”八戒心里打起了小算盘:“第一天:支出1元,收入100万;第二天:支出2元,收入100万;第三天:支出4元,收入100万!哇!发财了!”心里越想越美,再看看悟空的表情,心里又犯了嘀咕:“这猴子老欺负我,会不会又在耍我?”想一想 (1)悟空在一个月中一共投资给八戒多少钱?
(100万×30=3000万)
(2)从第一天开始,八戒每天返还给悟空的钱数分别是多少?
构成了一个怎样的数列?
(1,2,22,…,229;构成公比为2的等比数列)
(3)八戒在一个月中应返还给悟空多少钱?你能用式子表示吗? (能.1+2+22+…+229)
(4)若记S=1+2+22+…+229,在该式等号的两边同乘以公比2,得到的式子与原式有何关系?
(2S=2+22+23+…+230,两式的右边有29项是相同的)
(5)将两式相减能否得到S?
(能,S=230-1)
(6)由问题(5)的结果推断猴子是否又在耍老猪呢?
(八戒在一个月中应还给悟空(230-1)元≈107374万元,远远大于3000万元,因此猴子把老猪耍啦)知识探究——自主梳理 思考辨析2.等比数列的前n项和的性质
(1)在公比不等于-1的等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列,即:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列,其公比为qn.(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A?数列{an}为等比数列.题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,
(1)S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
名师导引:利用等比数列的前n项和公式列方程组求解.题后反思 (1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a1与q列方程组求解.
(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元.跟踪训练1-1:(1)设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项和为( )
(A)63 (B)64 (C)127 (D)128
(2)(2014濮阳高二期末)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )题型二 等比数列的前n项和的性质
【例2】 已知等比数列{an}中,前10项和S10=10,前20项和S20=30,求S30.
名师导引: (1)由S10=10及S20=30能否求得该数列第2个10项之和?
(能,S20-S10=30-10=20)
(2)S10,S20-S10,S30-S20是否成等比数列?(是)跟踪训练2-1:在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于( )
(A)140 (B)120 (C)210 (D)520
解析:依题意,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列,
即402=20(a5+a6),
∴a5+a6=80,
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=20+40+80=140.故选A.题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解;
(2)利用求和公式,等差中项证明.
(1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1).
由a5,a3,a4成等差数列,
得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分
即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分
由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0,
解得q1=-2,q2=1(舍去),
所以q=-2.………………………………………………………6分(2)证明:法一 对任意k∈N+.
Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)
=ak+1+ak+2+ak+1
=2ak+1+ak+1·(-2)
=0.………………………………………………………………………… 10分
所以对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.………………………………12分题后反思 等差数列与等比数列的综合是高考常见题型,解题关键是找出通项公式,利用等差、等比数列的公式、性质求解.跟踪训练3-1:已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和Tn.备选例题【例1】 某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套旧设备.
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?
(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?
下列数据供计算时参考:解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b,
由题设可知,1年后的设备为
a×(1+10%)-x=1.1a-x,
2年后的设备为
(1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…,
10年后的设备为达标检测——反馈矫正 及时总结1.在等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为( )
(A)4 (B)-4 (C)2 (D)-2A2.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( )
(A)180 (B)108 (C)75 (D)63
解析:此等比数列的中间7项和为12,令后7项和为S,
则48S=122,
所以S=3.
所以前21项和为63.故选D.D3.在等比数列{an}中,若Sn是其前n项和,且S4=3,S8=9,则S12= .?
解析:∵S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,
∴(S8-S4)2=S4(S12-S8),
即(9-3)2=3(S12-9),得S12=21.
答案:21课堂小结1.等比数列的前n项和公式共涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,其中a1和q为基本量,且五个量“知三可求二”;在解决等比数列问题中,要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题,养成良好的思维习惯.
2.在解等比数列问题时,要注意合理应用等比数列的性质.
3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型,要确定a1与项数a的实际含义,同时要搞清是求an还是求Sn的问题.点击进入课后作业课件27张PPT。第二课时/数列求和习题课 知识探究题型探究达标检测知识探究——自主梳理 思考辨析2.分组法求和
有些数列,通过适当分组,可把它拆分成等差数列和等比数列求和.
3.裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
4.错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题.题型探究——典例剖析 举一反三题后反思 当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.题型二 裂项相消法求和
【例2】 (2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;题后反思 应用裂项求和法的关键是将数列的通项分解为两项之差,且这两项一定是同一个数列的相邻(相间)的两项,然后通过正负抵消,达到化简求和的目的.题型三 错位相减法求和
【例3】 (12分) (2012年高考天津卷)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).
名师导引: (1)如何求an、bn?(由条件列方程组求出公差d、公比q即可)
(2)和式Tn有何特点?如何求Tn?(和式中的每一项均是由一等差数列和一等比数列对应项的积构成,故应用错位相减法求Tn)题后反思 (1)若cn=an·bn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{cn}的前n项和可用错位相减法求得.
(2)用错位相减法求和时应注意:①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和.②注意两式相减后所得式子第一项后是加号,最后一项前面是减号.相减后得到一个等比数列的项数多数情况下为n-1.跟踪训练3-1:(2012年高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c、k为常数),且a2=4,a6=8a3.
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.备选例题【例1】 已知数列{an}的通项公式an=(-1)n(2n-1),若其前n项和为Sn,
(1)求Sn;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.达标检测——反馈矫正 及时总结B 2.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为 .?答案:2n+1-2-n4.求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1,(a≠0)的前n项和.
解:当a=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
当a≠1时,Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1 ①
则aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an ②
①-②得(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an课堂小结1.求数列的前n项和常用方法有公式求和法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
2.用错位相减法求和时,应注意:
(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以利于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;
(2)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论.点击进入课后作业点击进入周练卷
