课件24张PPT。章末总结网络建构专题归纳网络建构专题归纳名师导引:已知两边及其一边的对角, 用正弦定理求解,但应注意准确判断解的情况,也可以用余弦定理求解.规律方法 在已知两边和其中一边的对角解三角形时,一是要注意判断解的个数,二是要注意大边对大角这一性质.题型二 判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
解:法一 由正弦定理,
得2sinB=sinA+sinC.
∵B=60°,
∴A+C=120°,
即A=120°-C,
代入上式,得2sin60°=sin(120°-C)+sinC,规律方法 在边角混合条件下判断三角形的形状时,可考虑利用正、余弦定理将条件转化为角角关系结合三角公式求解,亦可将条件转化为边边关系,分解因式求解,但其原则是能够转化,且转化后能顺利实施.名师导引:(1)条件中已知两边a、c及其边a对角的余弦值,故应先求出角A的正弦值,再由正弦定理求sin C,进而利用余弦定理求边b;(2)先求出cos 2A,sin 2A再由和角公式求值.名师导引:(1)根据向量的坐标运算,结合正弦定理可证;(2)由向量的坐标运算,结合余弦定理求解.规律方法 以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中的一类热点题型.在具体解题中,除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外,也要根据条件,合理选用三角函数公式,达到简化解题的目的.题型四 利用正、余弦定理解决实际应用问题
【例5】 (2013福建师大附中期中)攀岩运动是一项刺激而危险的运动.示意图如图所示,点A、C分别为两名攀岩者所在位置,点B为山的拐角处,且斜坡AB的坡角为θ,点D为山脚,某人在地面上的点E处测得A、B、C的仰角为α、β、γ,ED=a,求: (1)点B、D间的距离及点C、D间的距离;
(2)在点A处攀岩者距地面的距离h.名师导引:(1)如何求BD、CD?(分别在Rt△BDE、Rt△CDE中求BD、CD)
(2)在△ABE中,∠AEB、∠EAB分别等于多少?
(∠AEB=α-β,∠EAB=π-(α+θ))
(3)要求h,应先求哪个量?如何求?(应先求AE,在△ABE中应用正弦定理求解)规律方法 解决实际问题的关键是根据问题所提供的信息画出图形,建立数学模型,通过解三角形,得到距离或角度,然后根据距离或角度与其他知识的联系,运用相应的数学思想和方法求解.点击进入检测试题课件43张PPT。第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:已知△ABC的外接圆的半径为R,△ABC中∠A所对的边BC长为a,∠B所对的边AC长为b,∠C所对的边AB长为c.
(1)△ABC为直角三角形时如图(1)所示,C=90°,则AB=2R.a=2RsinA,b=2RsinB,C=2R=2RsinC.(2)△ABC为锐角三角形时,如图(2).连结AO并延长交☉O于点D,连结CD.
则∠B=∠D,AD=2R,AC⊥DC,
在Rt△ADC中,b=2RsinD,
∴b=2RsinB.
同理可得a=2RsinA,c=2RsinC.(3)△ABC为钝角三角形时,如图(3)所示.
连结BO并延长交☉O于点E,连结AE,
则BE=2R,AB⊥AE,∠E+∠C=180°.
在Rt△ABE中,c=2RsinE=2Rsin(180°-C)=2RsinC.
易证a=2RsinA,b=2RsinB.想一想 根据实例你能得出三角形中边角之间的关系式吗?知识探究——自主梳理 思考辨析2.解三角形
一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的 ,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
3.正弦定理的应用
正弦定理主要用于解决下列两类问题:
(1)已知△ABC两角和任意一边,求其他两边和一角.
(2)已知△ABC两边和其中一边的对角,求另外一边的对角和其他的边角元素思考2:在△ABC中,若A>B,是否有sinA>sinB?反之,是否成立?拓展提升:在△ABC中,已知a,b和A时三角形解的情况:
见附表题型探究——典例剖析 举一反三题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,
求A,b,c.跟踪训练1-1:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.题后反思 已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时对解的情况进行讨论(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.题型三 利用正弦定理判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状.
名师导引:已知条件等式中既含有边,又含有角,应怎样进行转化?(应将边化为角,或者将角化为边,但考虑到等式中是角的余弦值,不宜将角化为边,因此应将边化为角)题后反思 根据边角关系判断三角形形状的途径:
①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.跟踪训练3-1:在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)
=sin2C,则△ABC是 三角形.?答案:直角备选例题达标检测——反馈矫正 及时总结1.在△ABC中,下列关系一定成立的是( )
(A)a>bsin A (B)a=bsin A
(C)a正弦定理表达了三角形的边和角的关系,是解三角形的重要工具.利用正弦定理可以解以下两类三角形:
(1)已知两角和任一边,求未知边和角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角,此类问题有两解、一解、无解的情况,需要进行讨论.点击进入课后作业课件36张PPT。1.1.2 余弦定理新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:在△ABC中,AC=2,BC=3,C=60°,解三角形.想一想 上述实例能否用正弦定理求解?若不能,你能用所学过的平面向量的知识求出边AB吗?知识探究——自主梳理 思考辨析1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
即a2= ,b2= ,
c2= .b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C思考1:如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcos A,bsin A),试根据两点间的距离公式证明余弦定理.提示:BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2
=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A,
即a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证:b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC. 思考2:(1)若△ABC为钝角三角形,且A>90°,则三边a,b,c满足什么关系?
(2)若△ABC的三边a,b,c满足a2>b2+c2,则△ABC是什么三角形?3.余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论,并结合正弦定理,可以解决的三角形问题有:
(1)已知两边和它们的 解三角形;
(2)已知三角形的三边解三角形.夹角题型探究——典例剖析 举一反三题型一 余弦定理的简单应用
【例1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .?名师导引:先化简条件,再用余弦定理的推论求解.题后反思 在利用余弦定理解三角形时,应注意巧用“整体代入”,减少化简量,优化表述过程.答案:4题后反思 (1)三角形中,已知两边及一角解三角形有两种情况.
①三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出第三边的长,这样可免去判断取舍的麻烦.二是直接运用正弦定理,先求角再求边.
②已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另两角.
(2)已知三边或三边的比例关系,可由余弦定理的推论直接求解.题型三 利用余弦定理判断三角形形状
【例3】 在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.
名师导引:已知条件中,既有边的关系又有角的关系,可以用边化角或用角化边来判断.题后反思 判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解、配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.备选例题【例2】 设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.达标检测——反馈矫正 及时总结1.(2013福州高二期中)在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则角A等于( )
(A)60° (B)45° (C)120° (D)30°CB 3.在△ABC中,a=2,b=5,c=4,则△ABC的形状为 .?答案:钝角三角形4.在△ABC中,已知A=60°,最大边长和最小边长恰好是方程x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为 .?
解析:设最大边长为m,最小边长为n,
则m+n=7,m·n=11,
由于A=60°,所以夹A的两边一边最大,一边最小,
∴a2=m2+n2-2mncos 60°=(m+n)2-3mn=49-33=16,
∴a=4,即第三边长为4.
答案:4课堂小结
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题.
(1)已知两边和一角,解三角形.
(2)已知三边求三角形的任意一角.
2.判断三角形的形状,当所给的条件是边角混合关系时,基本解题思路:用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系,再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系;若统一为边之间的关系,再利用代数方法进行恒等变形、化简,找到边之间的关系.点击进入课后作业点击进入周练卷课件37张PPT。1.2 应用举例第一课时/正、余弦定理在实际中的应用 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:李明出校门向南前进200米,再向东走了200米,回到自己家中.
想一想 李明家在学校的哪个方向?能否用角度进一步确定其方位?
(东南方向;能,南偏东45°)知识探究——自主梳理 思考辨析1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线上方的角称为 ,视线在水平线下方的角称为 .如图(1).
2.方位角
指从正北方向按 时针转到目标方向线所成的水平角,如方位角是45°,指北偏东45°,即东北方向.
3.方向角
从指定方向到目标方向线所成的水平角,如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图(2)所示.仰角俯角顺4.基线
在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做 .一般来说,基线越长,测量的精确度 .
5.坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做 (或叫做坡比).基线越高坡度思考:如图所示,OA、OB的方位角各是多少?如何表示OA、OB的方向角? 提示:OA的方位角为60°,OB的方位角为330°,OA的方向角为北偏东60°,OB的方向角为北偏西30°.题型探究——典例剖析 举一反三名师导引:(1)求A、B之间的距离实质就是求线段AB的长度,应把它放在哪个三角形中求解?(可放在△ABC中或△ABD中)
(2)要在△ABC中计算AB,需要知道哪些量?(由于∠ACB=75°已知,因此可求出AC与BC的长度,然后用余弦定理计算)
(3)怎样求得AC与BC的长度呢?(可在△ACD中求AC,在△BCD中求BC)题后反思 如图所示,要求出不可到达的两点A、B之间的距离,可把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形的边角问题,即转化为可测量的边角问题.跟踪训练1-1:(2014菏泽高二期末)如图所示,为了计算湖岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点,现测得AD⊥CD,AD=5 km,AB=7 km,
∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点B与C的距离.(假设A,B,C,D在同一平面内)答:两景点B与C的距离为4km.题型二 测量高度问题
【例2】 如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.(2)在△BCD中,已知CD、∠CBD,又用塔高表示了BC、BD,如何建立关于塔高的方程?(用余弦定理)
(3)怎样求得塔高AB?(解方程,据实际意义得到塔高)题后反思 本题中若无法测得D点看塔顶A的仰角,要得到塔高AB,可再测量∠BCD或∠BDC,这样在△BCD中先用正弦定理求出BC的长度,再在△ACB中求得AB=BC·tan 45°. 跟踪训练2-1:在平地上有A、B两点,A在山的正东,B在山的东南,而且在A的南偏西25°的300米的地方,在A测得山顶的仰角是30°,求山高.(精确到0.1米)答:台风向北偏西45°方向移动.题后反思 测量角度问题也就是通过解三角形求角问题,求角问题可转化为求该角的三角函数值.若是用余弦定理求得该角的余弦,则该角易确定,若用正弦定理求得该角的正弦,则需讨论解的情况.备选例题【例题】 在海岛A上有一座海拔1 km的山峰,山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处.求船的航行速度. 达标检测——反馈矫正 及时总结1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为( )
(A)α>β (B)α=β
(C)α+β=90° (D)α+β=180°
解析:根据仰角与俯角的定义知α=β.故选B.BA 3.一船从港口A出发,沿北偏东30°方向行驶了3 km到达B岛,又沿东偏南30°方向行驶了3 km到达C岛,则C岛在港口A的北偏东 方向,距港口A km.?课堂小结
1.测量距离问题:这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.
3.测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角.点击进入课后作业课件37张PPT。第二课时/正、余弦定理在三角形中的应用 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:从前一位父亲给两个儿子分一块地,地的形状如图所示,父亲将CE连接起来,左边分给弟弟,右边分给哥哥,哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟矩形地块面积小,埋怨父亲偏心眼,兄弟二人打的不可开交,这时,他们的舅舅正好路过,兄弟二人让舅舅评理,舅舅说给他们算一下各自地块的面积,他拿来皮尺和一个测角仪,测出∠CED的大小,量出CE、DE的长度及BC的长度,经过计算发现这两块地面积一样大,平息了这场争吵.知识探究——自主梳理 思考辨析bcsin A 思考:已知△ABC的三边长a,b,c如何求该三角形的面积?题型探究——典例剖析 举一反三名师导引:(1)三角形中AB、AC两边已知,欲求面积,需求出哪个量?(求角A)
(2)边AB及其对角C已知,边AC已知,因此可先求哪个角?用哪个定理?(先求边AC的对角B,用正弦定理)
(3)求得B后如何求A以及面积?(由A=180°-B-C求出A,再套用公式求面积)题后反思 在解与三角形面积有关的问题时,若选择公式后有的边或角未知,应先利用正、余弦定理求出需要的边或角,再套用公式计算.名师导引:思路一:(1)若要从等式的左边证到右边,需要如何处理?(将角化为边)
(2)将tan A,tan B化为边时,应首先将切函数化为什么形式?(化为弦函数)
(3)用什么定理可以使角与边建立联系?(正弦定理和余弦定理)思路二:(1)若要从等式右边出发证到左边,需如何处理?(将边化为角)
(2)针对式子a2+c2-b2与b2+c2-a2的特点,应采用哪个定理?(余弦定理)
(3)出现角的余弦后要与正切联系,应再利用什么定理转化?(正弦定理)题后反思 三角形中有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明,但要注意灵活运用正、余弦定理使边、角关系统一为边的关系或角的关系,使之转化为三角恒等式的证明,或转化为关于a,b,c的代数恒等式的证明,并注意三角形中有关结论的运用.名师导引:(1)由正弦定理边化角,利用两角和与差的正弦公式求解.题后反思 解决三角形的综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.备选例题达标检测——反馈矫正 及时总结B D A 课堂小结
三角形中的几何计算,实际体现了三角形的几何性质的应用.我们在利用正弦定理、余弦定理求解三角形问题时,是通过代数计算去判断三角形的边角关系的.数形结合思想是通常情况下解决数学问题的途径,如果我们能从图形中寻找出其几何关系,并构成相应的三角形,则几何图形之间的关系就可以化为解三角形的问题了.点击进入课后作业点击进入周练卷
