第三章 不等式
3.1不等关系与不等式式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
用不等式(组)表示不等关系
1、10、11
不等式的性质
2、3、8、9
比较大小
4、6
用不等式性质求范围
5、7
用不等式性质证明不等式
12
基础达标
1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题中x不低于95即x≥95,y高于380即y>380,z超过45即z>45.故选D.
2.(2014清远高二期末)已知a>b,c>d,且c,d不为0,那么下列不等式一定成立的是( C )
(A)ad>bc (B)ac>bd
(C)a+c>b+d (D)a-c>b-d
解析:由a>b,c>d得a+c>b+d,故选C.
3.(2014济南历城高二期末)已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是( C )
(A)a>b?ac2>bc2 (B)>?a>b
(C)?> (D)?>
解析:由a>b,ab<0得a>0,b<0,∴>,故选C.
4.(2013泰安高二检测)若A=x2-2x,B=-6x-4,则A、B的大小关系是( B )
(A)A≤B (B)A≥B
(C)A=B (D)与x的值有关
解析:∵A-B=(x2-2x)-(-6x-4)=x2+4x+4=(x+2)2≥0,∴A≥B.故选B.
5.若角α,β满足-<α<β<,则α-β的取值范围为( A )
(A)-π<α-β<0 (B)-π<α-β<π
(C)-<α-β<0 (D)-<α-β<
解析:∵-<α<β<,
∴-<α<,-<-β<,α-β<0,∴-π<α-β<0.故选A.
6.(2013青岛高二检测)已知|a|<1,则与1-a的大小关系为 .?
解析:-(1-a)=+a-1=
=,
∵|a|<1,即-1
0,a2≥0,
∴≥0,故≥1-a.
答案:≥1-a
7.若-10解析:∵-10∴-10<|a|+b<18.
答案:(-10,18)
能力提升
8.(2014临沂高二质量抽测)若a>b>c且a+b+c=0,则下列结论正确的是( C )
(A)ab>bc (B)ac>bc
(C)a2>b2 (D)b2>c2
解析:由a>b>c,且a+b+c=0得c<0,a>0,
又a+c=-b,∴a>a+c=-b>0,
∴a2>b2,故选C.
9.给出四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.其中能推出<成立的是 .?
解析:由①a<00,所以<;由②0>a>b,有>0,故有>;由③a>0>b,有>0>;由④a>b>0,得<.
答案:①②④
10.某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约:生产此产品的工人数不超过200人;每个工人年工作时间约计2100 h;预计此产品明年销售量至少80000袋;每袋需用4 h;每袋需用原料20 kg;年底库存原料600 t,明年可补充1200 t.试根据这些数据预测明年的产量x(写出不等式(组)即可)为 .?
解析:由题意可得
答案:
11.在首届青年技工大赛上,要求参赛者用铁锤以均匀的力敲击长铁钉入木板,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N+).已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个例子中提炼出一个不等式组 .?
解析:设钉子长度为m(m>0),由题意得,第二次钉子没有全部钉入木板;第三次全部钉入木板.
得(k∈N+),
即(k∈N+).
答案:(k∈N+)
12.(1)a(2)已知a>b,<,求证:ab>0.
证明:(1)由于-==,
∵a∴b+a<0,b-a>0,ab>0,
∴<0,
故<.
(2)∵<,
∴-<0,
即<0,
而a>b,∴b-a<0,∴ab>0.
3.2 一元二次不等式及其解法
【选题明细表】
知识点、方法
题号
一元二次不等式的概念
1
一元二次不等式的解法
2、3、7、10、11
三个“二次”的关系
5、8、9、13
分式不等式的解法
4、6
实际应用题
12
基础达标
1.下列不等式中是一元二次不等式的是( C )
(A)a2x2+2≥0
(B)<3
(C)-x2+x-m≤0
(D)x3-2x+1>0
解析:选项A中,a2=0时不符合;选项B是分式不等式;选项D中,最高次数为三次;只有选项C符合.故选C.
2.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x>0},
B={x|-(A)A∩B= (B)A∪B=R
(C)B?A (D)A?B
解析:∵A={x|x>2或x<0},因此A∪B={x|x>2或x<0}∪{x|-3.(2014日照高二期末)不等式3+5x-2x2≤0的解集为( C )
(A){x|x>3或x<-}
(B){x|-≤x≤3}
(C){x|x≥3或x≤-}
(D)R
解析:-2x2+5x+3≤0,2x2-5x-3≥0,
(2x+1)(x-3)≥0,
∴x≥3或x≤-.故选C.
4.不等式≥0的解集是( B )
(A){x︱-≤x≤}
(B){x︱-≤x<}
(C){x︱x>或x≤-}
(D){x︱x≥或x≤-}
解析:原不等式可化为
解得-≤x<,
故其解集为{x︱-≤x<}.
故选B.
5.(2013曲阜师大附中高三期中考试)不等式ax2+bx+2>0的解集是（-,）,则a-b等于( A )
(A)-10 (B)10
(C)-14 (D)14
解析:由题意知方程ax2+bx+2=0的两根是x1=-,x2=,且a<0.
则有
解得
∴a-b=-12+2=-10.故选A.
6.函数f(x)=lg（+3）的定义域是 .?
解析:依题意有+3>0,
即>0,x(3x+1)>0,
∴x>0或x<-.
即函数定义域为{x︱x>0或x<-}.
答案:{x︱x>0或x<-}
7.(2013珠海高二检测)满足不等式0≤x2-2x≤15的x的取值范围是 .?
解析:原不等式等价于
解得-3≤x≤0或2≤x≤5.
答案:[-3,0]∪[2,5]
能力提升
8.(2014德州高三联考)若不等式ax2+bx+1>0的解集是（-,）,则≥0的解集为( B )
(A)(-∞,0)∪（,+∞）
(B)（0,]
(C)(-∞,0)∪[,+∞)
(D)[0,]
解析:由题知-,是方程ax2+bx+1=0的两根.
∴-×=,∴a=-6.
-+=-,∴b=1.
∴≥0的解集为(0,].故选B.
9.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是 .?
解析:由题表得方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,
∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-3).
将(-3,6)代入二次函数得a=1>0,
∴不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.
答案:{x|x<-2或x>3}
10.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 .?
解析:f(1)=12-4×1+6=3,不等式即为f(x)>3.
①当x≥0时,不等式即为
解得
即x>3或0≤x<1;
②当x<0时,不等式即为
解得-3综上,原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞).
答案:(-3,1)∪(3,+∞)
11.解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-3x+5>0;
(3)-6x2-x+2≥0;
(4)2x2-4x+7<0.
解:(1)法一 原不等式可化为(2x+1)(x-2)>0,
即(x+)(x-2)>0,
所以不等式的解集为{x︱x<-或x>2}.
法二 ∵Δ=(-3)2-4×2×(-2)=25>0,
∴方程2x2-3x-2=0有两个不同实根,分别是-,2,
∴原不等式的解集为{x︱x>2或x<-}.
(2)∵Δ=(-3)2-4×5=9-20<0,且其对应函数的图象开口向上,
∴x2-3x+5>0的解集为R.
(3)法一 原不等式可化为6x2+x-2≤0,即(2x-1)(3x+2)≤0,可化为(x-)(x+)≤0,所以原不等式解集为{x︱-≤x≤}.
法二 原不等式可化为6x2+x-2≤0,
∵Δ=12-4×6×(-2)=49>0,
∴方程6x2+x-2=0有两个不同实根,分别是-,,
∴原不等式的解集为{x︱-≤x≤}.
(4)∵Δ=(-4)2-4×2×7=-40<0,且其对应函数的图象开口向上,
∴不等式2x2-4x+7<0的解集为.
12.某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加费,为了既增加国家收入,又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率.据市场调查,若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时,每年的销售量减少10P万件,据此,问:
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元,求P的范围;
(2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定P值?
(3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P值?
解:税率为P%时,销售量为(80-10P)万件,
销售金额为f(P)=80(80-10P),
税金为g(P)=80(80-10P)·P%,
其中0(1)由
解得2≤P≤6.
(2)∵f(P)=80(80-10P)(2≤P≤6)为减函数,
∴当P=2时,厂家获得最大的销售金额.
(3)∵0g(P)=80(80-10P)·P%=-8(P-4)2+128,
∴当P=4时,国家所得税金最多,为128万元.
探究创新
13.(2014潍坊高二期末)已知函数f(x)=x2-2ax+b2的最小值为0,若关于x的不等式f(x)解析:f(x)=(x-a)2+b2-a2,则b2-a2=0.
∴f(x)=x2-2ax+a2.
由f(x)设x1,x2是方程x2-2ax+a2-c=0的两根,
则有x1+x2=2a,x1x2=a2-c.
∴|x1-x2|===4.
∴c=4.
答案:4
【选题明细表】
知识点、方法
题号
分式不等式
1、12
含参不等式
2、7、9、11
恒成立问题
4、6、8、10、13
三个“二次”的关系
3、5、12
基础达标
1.(2014南阳高二期末)不等式<的解集是( D )
(A)(-∞,2) (B)(2,+∞)
(C)(0,2) (D)(-∞,0)∪(2,+∞)
解析:由<得,-<0,
即<0,
∴>0解得x>2或x<0.故选D.
2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( A )
(A)-4≤a≤4 (B)-4(C)a≤-4或a≥4 (D)a<-4或a>4
解析:依题意应有Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4,
故选A.
3.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-,-],则不等式x2-bx-a<0的解集是( A )
(A)(2,3)
(B)(-∞,2)∪(3,+∞)
(C)(,)
(D)(-∞,)∪(,+∞)
解析:依题意知a<0且方程ax2-bx-1=0的两根是-和-.
所以解得
则不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,
故其解集为{x|24.(2014锦州高二期末)若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是( A )
(A)(-∞,2] (B)(1,+∞)
(C)(-∞,2) (D)[1,+∞)
解析:x2-1>kx-k对于x∈(1,2)恒成立.
∴k∴k≤2.故选A.
5.(2013年高考重庆卷)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意知x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-8a2,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又x2-x1=15,可得36a2=152,又a>0,则a=.故选A.
6.不等式x2+mx+>0恒成立时,m的取值范围是 .?
解析:依题意有Δ=m2-2m<0,即0答案:07.(2014济南高二检测)不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集为?,则实数a的取值范围是 .?
解析:∵x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集为,
∴Δ=4+4(a2-2a-4)<0,
∴a2-2a-3<0,
∴-1答案:(-1,3)
能力提升
8.(2014菏泽高二期末)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,]恒成立,则a的最小值是( C )
(A)0 (B)-2 (C)- (D)-3
解析:ax≥-(x2+1),a≥-(x+)对一切x∈(0,]恒成立,
当0∴a≥-,故选C.
9.若关于x的不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,则m的取值范围是 .?
解析:假设原不等式的解集为空集,当m=0时,原不等式化为1<0,此时不等式无解,满足要求.
当m≠0时,即
∴0综上可得0≤m≤4.
故当原不等式的解集不是空集时,有m<0或m>4.
答案:m<0或m>4
10.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围是 .?
解析:已知函数定义域为R.
即-1≥0在R上恒成立.
也即x2-2ax-a≥0恒成立,
所以有Δ=(-2a)2-4(-a)≤0,
解得-1≤a≤0.
答案:[-1,0]
11.(2014济南历城高二期末)已知a2-3a<0,解关于x的不等式x2-(a+3)x+3a<0.
解:由a2-3a<0可得0x2-(a+3)x+3a=0的两根为3与a,
且由以上知0所以不等式的解集为{x|a12.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式>0(c为常数).
解:(1)由题知a>0,且1,b为方程ax2-3x+2=0的两根,
即
∴a=1,b=2.
(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0,
当c>2时,其解集为{x|x>c或x<2},
当c<2时,其解集为{x|x>2或x当c=2时,其解集为{x|x≠2}.
探究创新
13.(2013鄄城一中高三期中测试)在R上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1对任意实数x成立,则( C )
(A)-1(C)-解析:由题意可知,(x-a)?(x+a)=(x-a)(1-x-a),
∴原不等式可化为(x-a)(1-x-a)<1.
即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x都成立,
所以只需Δ=(-1)2-4(-a2+a+1)<0.
解得-3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
【选题明细表】
知识点、方法
题号
二元一次不等式(组)表示的平面区域
1、9
平面区域中的整点问题
3、13
参数(范围)
2、4、6、10、12
平面区域的面积
7、8
实际应用问题
5、11
基础达标
1.(2014新余高二期末)在直角坐标系中,满足不等式|y|≥|x|的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( B )
解析:点(0,1),(0,-1)满足不等式|y|≥|x|.故选B.
2.(2014蚌埠高二期末)已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0),则实数m的取值范围是( C )
(A)(0,6) (B)(0,3) (C)(-3,3) (D)(-3,6)
解析:由题意|2×0-0+m|<3,解得-33.设点P(x,y),其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数为( A )
(A)10 (B)9 (C)3 (D)无数个
解析:作表示的平面区域,
如图所示,符合要求的点P的个数为10,故选A.
4.(2013荆州高二检测)点(1,2)和点(2,3)在直线2x-y-a=0的两侧,则a的取值范围是( C )
(A)a<0或a>1 (B)0≤a≤1
(C)0解析:由题意得(2×1-2-a)(2×2-3-a)<0,
即(-a)(1-a)<0,解之得05.完成一项装修工程,需木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2000元,设请木工x人,瓦工y人,则请工人数的限制条件是( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:排除法:∵x,y∈N*,
∴排除选项B、D.
又∵x与y的比例为2∶3,
∴排除选项A.故选C.
6.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .?
解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,当y=a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形,即△ABC;当5答案:[5,7)
7.(2014福州高二期末)在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积为 .?
解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,
A(-2,2),B(1,-1),C(1,5).
故所求面积为×6×3=9.
答案:9
能力提升
8.(2014宁德质检)若平面区域Ω:的面积为3,则实数k的值为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:平面区域Ω如图阴影部分所示.
则有3=×（-1）×2,
解得k=.故选B.
9.△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(-2,0),C(2,0),则△ABC内任意一点(x,y)所满足的条件为 .?
解析:依题意,直线AB的方程为2x-y+4=0,直线AC的方程为2x+y-4=0,直线BC的方程为y=0,因此平面区域如图阴影部分,△ABC内任一点(x,y)所满足的不等式组应为
答案:
10.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x-by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是 .?
解析:设P(1,-2)关于原点的对称点为P′(-1,2),
因为点P与点P′有且只有一个适合不等式,
所以或
得b≥-或b≤-.
答案:（-∞,-]∪[-,+∞）
11.某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工共同完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又知木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解:设家具厂每天生产甲、乙型号桌子的张数分别为x和y,它们满足的数学关系式为
分别画出不等式组中各不等式表示的区域,然后取交集,如图所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.
12.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部),如图所示.
(1)写出表示区域D的不等式组;
(2)设点B,C分别在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.
解:(1)用两点式求得直线AB,AC,BC的方程分别为:
7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.
因为原点(0,0)在区域D内,
所以表示区域D的不等式组为
(2)将B的坐标代入4x-3y-a,
得14-a.
将C的坐标代入4x-3y-a,得-18-a.
根据题意,得(14-a)(-18-a)<0.
解得-18故a的取值范围为(-18,14).
探究创新
13.(2014滁州高二期末)不等式组围成的区域中,整数点的个数是 .?
解析:先由0答案:9
3.3.2 简单的线性规划问题
【选题明细表】
知识点、方法
题号
线性规划的相关概念
1、6
线性规划的最值(或范围)问题
2、3、4、7、8、9、12
实际应用问题
5、10、11
基础达标
1.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是( C )
(A)该直线的截距 (B)该直线纵截距
(C)该直线的纵截距的相反数 (D)该直线横截距
解析:由z=3x-y得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.故选C.
2.(2014德州联考)设实数x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为( A )
(A)-2 (B)1 (C)8 (D)13
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由z=3x-2y得y=x-,平移直线y=x,
经过A(0,1)时,-最大,此时z最小,
z最小=3×0-2×1=-2.故选A.
3.(2014泉州质检)若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为( C )
(A)-6 (B)4 (C)6 (D)8
解析:如图点(x,y)在阴影部分区域内,
设2x-y=z,
则y=2x-z.
当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.
z最大=2×2-(-2)=6.故选C.
4.(2012年高考新课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( A )
(A)(1-,2) (B)(0,2)
(C)(-1,2) (D)(0,1+)
解析:由△ABC是等边三角形易知C(1+,2).由图
当目标函数线l过区域内点C时,z取最小值,
zmin=-(1+)+2=1-,
过区域内点B时,z取到最大值,
zmax=-1+3=2,∴z的取值范围是(1-,2).故选A.
5.在“节能补贴”活动中,某厂要将100台彩电运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装彩电20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装彩电10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( B )
(A)2000元 (B)2200元
(C)2400元 (D)2800元
解析:设需甲型货车x辆,乙型货车y辆,
由题意知
作出其可行域如图.
可知目标函数z=400x+300y
在点A处取得最小值,
zmin=400×4+300×2=2200.故选B.
6.(2014珠海高二期末)实数x、y满足不等式组则目标函数z=x-y取得最大值时的最优解为 .?
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,
由z=x-y得y=x-z.
当直线过点A(1,0)时,-z最小,此时z最大.
答案:(1,0)
7.(2012年高考上海卷)满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y-x的最小值是 .?
解析:图象如图所示.
由y-x=z得y=x+z,
由图象知过C点z最小,
而C(2,0),
∴zmin=0-2=-2.
答案:-2
能力提升
8.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( B )
(A) (B) (C)1 (D)2
解析:由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC内部及边界部分,由目标函数z=2x+y的几何意义为直线l:y=-2x+z在y轴上的截距,知当直线l过可行域内的点B(1,-2a)时,目标函数z=2x+y的最小值为1,则2-2a=1,a=.故选B.
9.(2013年高考浙江卷)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= .?
解析:作出可行域如图阴影部分所示.
由图可知当0≤-k<时,
直线y=-kx+z经过点
M(4,4)时z最大,
所以4k+4=12,
解得k=2(舍去);
当-k≥时,直线y=-kx+z经过点(0,2)时z最大,
此时z的最大值为2,不合题意;
当-k<0时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时z最大,
所以4k+4=12,解得k=2,符合题意.
综上可知,k=2.
答案:2
10.(2013年高考湖北卷)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( C )
(A)31200元 (B)36000元 (C)36800元 (D)38400元
解析:设租用A型车x辆,B型车y辆(x,y∈N),租金为z,
则
即
画出可行域,则目标函数z=1600x+2400y=800(2x+3y)在点N(5,12)处取得最小值36800,故选C.
11.某公司的仓库A存有货物12 t,仓库B存有货物8 t.现按7 t、8 t和5 t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店,从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元;从仓库B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.则应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少?
解:设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x t,y t.
则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)t.
仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为
(7-x)t,(8-y)t,[5-(12-x-y)]t,
总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126,
约束条件为
即
作出可行域,如图所示.
作直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,
当直线过A(0,8)时,z=x-2y+126取得最小值,
zmin=0-2×8+126=110,
即x=0,y=8时,总运费最少.
即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0 t、8 t、4 t,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7 t、0 t、1 t,此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.
探究创新
12.设实数x,y满足不等式组若x,y为整数,则3x+4y的最小值是( B )
(A)14 (B)16 (C)17 (D)19
解析:作出可行域,如图所示,设3x+4y=z,
则y=-x+,
由
得点A为(3,1),
而点A(3,1)不在可行域内,
又x,y为整数,平行移动直线y=-x,
则当过点(4,1)时,z=3x+4y取最小值为16.
故选B.
【选题明细表】
知识点、方法
题号
线性目标函数的最值(范围)问题
1、6
非线性目标函数的最值(范围)问题
2、3、5、7、8、12
参数(范围)问题
4、9、10
最优整数解问题
11
基础达标
1.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y-4的最大值为( C )
(A)-4 (B)-1 (C)1 (D)5
解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线2x+y=0,平移该直线,当平移后得到的直线经过该平面区域内的点(2,1)(该点是直线x+y-3=0与y=1的交点)时,相应直线在y轴上的截距最大,此时2x+y-4取得最大值,最大值是1,故选C.
2.(2014济南历城高二期末)已知则x2+y2的最大值为( D )
(A)1 (B)4
(C) (D)13
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
点A(2,3)与原点(0,0)距离最大.
∴x2+y2的最大值为13,选D.
3.(2014洛阳高二期末)设实数x,y满足不等式组则的取值范围是( B )
(A)[0,] (B)[,]
(C)[0,] (D)[,]
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,点A(-3,0)与点(x,y)
连线的斜率为,
则kAC≤≤kAB,
而kAC==,kAB==.
故选B.
4.(2012年高考福建卷)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( B )
(A)-1 (B)1 (C) (D)2
解析:如图所示,作出可行域,由可解得A(1,2),要使y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则直线x=m过点A时,m为最大取值,
∴m的最大值为1.故选B.
5.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( A )
(A)-1 (B)-1 (C)2-1 (D)-1
解析:如图,可行域为阴影部分,A(0,-2).
当P取(-1,0)时,|PQ|min=|PA|-1=-1.故选A.
6.(2012年高考湖北卷)若变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是 .?
解析:作出不等式组所表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界).
可知当直线z=2x+3y经过的交点M(1,0)时,z=2x+3y取得最小值,且zmin=2.
答案:2
7.(2014濮阳高二期末)若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是 .?
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
设t=x+2y,则y=-x+.
当x=0,y=0时t最小=0.
z=3x+2y的最小值为1.
答案:1
能力提升
8.(2014马鞍山质检)已知a>0,b>0,且满足2(A)(,) (B)(,16)
(C)(1,16) (D)(,4)
解析:不等式表示的可行域如图阴影部分所示.
点O到AB的距离d==.
OD=4.
∴9.(2014日照高二期末)已知x,y满足约束条件如果(2,)是z=ax-y取得最大值时的最优解,则实数a的取值范围是 .?
解析:画出可行域如图,将目标函数化为直线的斜截式方程y=ax-z,当目标函数的斜率大于等于3y-x=2的斜率时,直线y=ax-z在点(2,)处截距最小,即a≥时,(2,)是目标函数z=ax-y取得最大值时的最优解.
答案:[,+∞)
10.(2013山东省实验中学高二期中)已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为 .?
解析:作出可行域,如图所示
作出直线l0:ax+y=0,
∵a>0,
∴要使仅在点(3,0)处取得最大值,则应有<-,
即-a<-,∴a>.
答案:a>
11.(2013福建师大附中高二期中)福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查,得出下表:
资金
每台空调或冰箱所需资金(百元)
月资金最多
供应量(百元)
空调
冰箱
进货成本
30
20
300
工人工资
5
10
110
每台利润
6
8
问:如果根据调查得到的数据,该商场应该怎样确定空调和冰箱的月供应量,才能使商场获得的总利润最大?总利润的最大值为多少元?
解:设每月调进空调和冰箱分别为x,y台,总利润为z(百元)则由题意,得
即
目标函数是z=6x+8y,画图易知在点P处z取得最大值,
又根据得P(4,9),zmax=6×4+8×9=96(百元).
所以,每月调进空调和冰箱分别为4台和9台时,总利润最大,最大值为9600元.
探究创新
12.(2013镇江一中高二期中)若函数f(x)=x2+ax+2b在区间(0,1),(1,2)内各有一个零点,求的取值范围.
解:由已知得:?
?
其表示的区域M如图所示:
表示C(1,2)与M区域中的点(a,b)连线的斜率.
∵A(-3,1),B(-1,0),kCA=,kCB=1,
从图中可知∈(,1),
所以的取值范围为(,1).
3.4 基本不等式:≤
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对基本不等式的理解
1、2、6、8、13
利用基本不等式求最值
3、4、5、9、10
利用基本不等式证明不等式
11、12
基础达标
1.(2013新泰一中高二期中)下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( C )
(A)lg(x2+1)≥lg(2x) (B)x2+1>2x
(C)≤1 (D)x+≥2
解析:对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x<0时,不成立.对于C,x2+1≥1,∴≤1.成立.故选C.
2.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则( A )
(A)> (B)<
(C)= (D)≤
解析:∵a+d=b+c,a,b,c,d均是正数且互不相等,
∴=>.故选A.
3.(2014新余高二期末)已知a+2b=2(a,b>0),则ab的最大值为( A )
(A) (B)2 (C)3 (D)
解析:∵a>0,b>0,
∴a+2b≥2,
∴2≤2,
∴ab≤.
故选A.
4.(2013兖州市高二期中)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( B )
(A)8 (B)4 (C)1 (D)
解析:由条件可知3a·3b=()2,即3a+b=3,
∴a+b=1,∴+=（+）·(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,
故+的最小值为4.故选B.
5.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( B )
(A)16 (B)25 (C)9 (D)36
解析:(1+x)(1+y)≤[]2=[]2
=()2=25,
因此当且仅当1+x=1+y即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25,故选B.
6.若a>1,b>1,则logab+logba≥ .?
解析:∵a>1,b>1,
∴logab>0,logba>0,
于是logab+logba≥2=2,
当且仅当logab=logba,即a=b>1时等号成立.
答案:2
7.已知x、y都是正数,
(1)如果xy=15,则x+y的最小值是 ;?
(2)如果x+y=15,则xy的最大值是 .?
解析:(1)x+y≥2=2,即x+y的最小值是2;当且仅当x=y=时取最小值.
(2)xy≤()2=()2=,
即xy的最大值是.
当且仅当x=y=时xy取最大值.
答案:(1)2 (2)
能力提升
8.(2012年高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a(A)a(C)解析:设甲、乙两地相距s,则小王用时为+,
∵a又v-a=-a=>=0,∴v>a.故选A.
9.(2014清远市高二期末)若a>0,b>0,ac=1,则+的最小值为 .?
解析:+=
=2c+a≥2
=2,
当且仅当a=2c=时,等号成立.
∴+的最小值为2.
答案:2
10.(2014雅安高二期末)设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是 .?
解析:2y=x+3z≥2,
∴y≥,y2≥3xz,
当且仅当x=y=3z时取等号.
∴≥3.
答案:3
11.已知a,b,c为不全相等的三个正数,
求证:++>3.
证明:++
=+++++-3
=(+)+(+)+(+)-3,
∵a,b,c都是正数,∴+≥2,
即+≥2, ①
同理可证:+≥2, ②
+≥2. ③
①②③式两边分别相加得:
(+)+(+)+(+)≥6.④
∵a,b,c不全相等,∴①②③不能同时取到等号,
∴④取不到等号,
∴(+)+(+)+(+)>6.
即+++++>6,
∴++>3.
12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证(1+)(1+)≥9.
证明:法一 因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+=1+=2+,同理1+=2+,
故(1+)(1+)=(2+)(2+)
=5+2(+)≥5+4=9.
所以(1+)(1+)≥9(当且仅当a=b=时取等号).
法二 因为a,b为正数,a+b=1.
所以(1+)(1+)=1+++
=1++
=1+,
ab≤()2=,于是≥4,≥8,
因此(1+)(1+)≥1+8=9(当且仅当a=b=时等号成立).
探究创新
13.(2014濮阳高二期末)已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( B )
(A)2 (B)4 (C)9 (D)16
解析:(x+y)(+)
=1+a++
≥1+a+2
=(1+)2.
当且仅当=时取等号.
∴(1+)2≥9,
∴a≥4,故选B.
【选题明细表】
知识点、方法
题号
利用基本不等式求最值
1、2、6、8
利用基本不等式求解实际应用题
5、7、12
利用基本不等式求解恒成立问题
3、4
综合问题
9、10、11、13
基础达标
1.已知x,y为正实数,且x+4y=1,则xy的最大值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:∵x,y均为正实数,
且x+4y=1,
∴xy=(x·4y)≤·（）2
=·（）2=,
当且仅当x=4y即x=,y=时取等号.
故xy的最大值是,
故选C.
2.(2014淄博高二期末)已知x>1,y>1且xy=16,则log2x·log2y( D )
(A)有最大值2 (B)等于4
(C)有最小值3 (D)有最大值4
解析:∵x>1,y>1,
∴log2x>0,log2y>0.
∴log2x·log2y≤（）2=（）2=4,
当且仅当x=y=4时取等号.
故选D.
3.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)
(C)[3,+∞) (D)(-∞,3]
解析:由于x>1,
∴x-1>0,>0,
于是x+=x-1++1≥2+1=3,
当=x-1即x=2时等号成立,
即x+的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a≤3,
故选D.
4.(2014福建莆田十八中高二检测)若对所有正数x,y,不等式x+y≤a都成立,则a的最小值是( A )
(A) (B)2 (C)2 (D)8
解析:∵x>0,y>0,
∴x+y=≤=·,
当且仅当x=y时等号成立,
所以使得x+y≤a都成立的a的最小值是.故选A.
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图),若使营运的年平均利润最大,则每辆客车营运的年数为( C )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:由题图求得函数为
y=-(x-6)2+11,
则营运的年平均利润
==12-（x+）≤12-2=2,
当且仅当x=时取等号,
解得x=5.故选C.
6.(2014三门峡高二期末)已知正数a、b满足+=3,则ab的最小值为 .?
解析:+=3≥2?≥2?ab≥4.
当且仅当=,即a=6,b=时取等号.
答案:4
7.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= 吨.?
解析:总运费与总存储费用之和
f(x)=4x+×4
=4x+≥2
=160,
当且仅当4x=,
即x=20吨时,f(x)最小.
答案:20
能力提升
8.(2014南阳高二期末)已知x≥,则f(x)=有( D )
(A)最大值 (B)最小值
(C)最大值1 (D)最小值1
解析:f(x)=
=+
=+
≥2
=1.
当且仅当=,
即x=3时取“=”.
故选D.
9.(2014滁州高二期末)若关于x的不等式ax+b>0的解集为(1,+∞),则a-+1的最小值为 .?
解析:由题意可得a·1+b=0,a>0,
所以a-+1=a++1≥3,
当且仅当a=1,b=-1时取等号.
答案:3
10.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n>0,则+的最小值为 .?
解析:函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),(-2)·m+(-1)·n+1=0,
2m+n=1,m,n>0,
+=（+）·(2m+n)
=4++≥4+2
=8,
当且仅当即时等号成立.
答案:8
11.(2014锦州高二期末)(1)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证:+≥,并指出等号成立的条件;
(2)利用(1)的结论求函数f(x)=+（x∈（0,））的最小值,并指出取最小值时x的值.
(1)证明:（+）(x+y)=a2+b2+a2+b2
≥a2+b2+2
=(a+b)2,
故+≥,
当且仅当a2=b2,
即=时上式取等号.
(2)由(1)得f(x)=+≥=25,
当且仅当=,
即x=时上式取最小值,即f(x)min=25.
12.(2014德州联考)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=2米,AD=1米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长度为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
解:(1)设DN的长为x(x>0)米,
则|AN|=(x+1)米,
∵=,
∴|AM|=,
∴S矩形AMPN=|AN|·|AM|=
由S矩形AMPN>9
得>9,
又x>0得2x2-5x+2>0,
解得02.
即DN的长的取值范围是（0,）∪(2,+∞).(单位:米)
(2)矩形花坛的面积为:
y=
=
=2x++4(x>0)
≥2+4
=8.
当且仅当2x=即x=1时,
矩形花坛的面积最小为8平方米.
探究创新
13.(2014宁德质检)关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最小值是( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:由不等式的解集为(x1,x2)知方程x2-4ax+3a2=0的两根为x1,x2.
∴x1+x2=4a,x1x2=3a2,
∴x1+x2+=4a+
≥2
=.
当且仅当4a=时取等号.
故选C.
