第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
正弦定理的简单应用
1、6、12
利用正弦定理解三角形
3、4、5、7、9、10
判断三角形的形状
2、8、11
基础达标
1.在△ABC中,下列式子与的值相等的是( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:由正弦定理得=,
所以=,故选C.
2.在△ABC中,sin A=sin C,则△ABC是( B )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)锐角三角形 (D)钝角三角形
解析:由sin A=sin C得=,
所以a=c.
因此△ABC是等腰三角形,故选B.
3.(2014临沂高二质量抽测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:最短边为b,由正弦定理得=,
∴b==.故选C.
4.在△ABC中,若b=2asin B,则A等于( D )
(A)30°或60° (B)45°或60°
(C)120°或60° (D)30°或150°
解析:由正弦定理及b=2asin B可得
sin B=2sin A·sin B,
又sin B≠0,
∴可得2sin A=1,
∴sin A=.
又0°
∴A=30°或150°.
故选D.
5.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( B )
(A)4 (B)2 (C) (D)
解析:由正弦定理得=,
∴AC===2.
故选B.
6.(2013年高考湖南卷)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于 .?
解析:由正弦定理得,2sin Asin B=sin B,sin A=,
因为△ABC为锐角三角形,
所以A=.
答案:
7.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则∠C的大小为 .?
解析:在△ABC中,由正弦定理得=,
可得=,∴sin B=,
又a>b,∴A>B.∴B=,
∴∠C=π--=.
答案:
能力提升
8.若a,b,c是△ABC的三边长,a=2csin A,且bcos C=(2a-c)cos B,则△ABC一定是( D )
(A)钝角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)直角三角形
解析:由正弦定理及bcos C=(2a-c)cos B可得
sin Bcos C=(2sin A-sin C)cos B.
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Acos B.
即sin(B+C)=2sin Acos B.
又B+C=π-A,
∴可得sin A=2sin Acos B,
又sin A≠0,
∴cos B=.
∴B=60°.
由正弦定理及a=2csin A可得,
sin A=2sin Csin A.
∵sin A≠0,
∴sin C=.
∴C=30°或150°(舍去)
∴A=180°-B-C=90°,
故△ABC为直角三角形.
故选D.
9.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .?
解析:∵cos A=,cos B=,
∴sin A=,sin B=.
∴sin C=sin(A+B)=×+×=,
由正弦定理=,
得=,
解得c=.
答案:
10.△ABC中,其内角A、B、C所对的边a、b、c满足2b2=3ac,且B=60°,求A.
解:∵B=60°,
∴A+C=120°.
由2b2=3ac及正弦定理得,
2sin2B=3sin Asin C,
∴sin Asin C=.
又cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C
=cos Acos C-
=cos 120°
=-,
∴cos Acos C=0,
∴cos A=0或cos C=0.
∴A=90°或A=30°.
11.在△ABC中,若=≠1,试判断该三角形的形状.
解:由正弦定理及已知得==,
∴sin Bcos B=sin Acos A,
∴sin 2A=sin 2B,
∵a≠b,∴A≠B,
∴2A=π-2B,
∴A+B=,
∴C=,
∴△ABC为直角三角形.
探究创新
12.(2014周口高二期末)在锐角△ABC中,|BC|=,B=2A,则|AC|的取值范围是 .?
解析:由正弦定理得=,
∴=,
∴AC=cos A.
又△ABC是锐角三角形.
∴90°又B=2A,
∴30°∴答案:(,)
1.1.2 余弦定理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
余弦定理的简单应用
3、6
利用余弦定理解三角形
1、8
利用余弦定理判断三角形的形状
2、9
综合应用问题
4、5、7、10、11、12、13
基础达标
1.(2014济南西城高二期末)在△ABC中,a2-c2+b2=ab,则C等于( A )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°
解析:cos C===,∴C=30°.故选A.
2.在△ABC中,若sin2A+sin2B(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)不能确定
解析:由正弦定理及sin2A+sin2B可知a2+b2所以C为钝角,三角形为钝角三角形.故选A.
3.在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于( A )
(A)32-16 (B)32+16
(C)16 (D)48
解析:由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos C=42+42-2×4×4×=32-16.
4.(2014新余高二期末)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于( D )
(A)- (B)- (C) (D)
解析:cos A==,
∴·=||||·cos A=3×2×=.故选D.
5.(2014莱州高二期末)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg,则A等于( C )
(A)90° (B)60° (C)120° (D)150°
解析:由已知得(a+c)(a-c)=b(b+c),
a2-c2=b2+bc,
cos A===-,
∴A=120°.故选C.
6.(2013福建师大附中高二期中)已知三条线段的大小关系为:2<3解析:∵三条线段能构成钝角三角形,
∴应有解得答案:7.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为 .?
解析:由余弦定理可得49=AC2+25-2×5×AC×cos 120°,
整理得AC2+5·AC-24=0,
解得AC=3或AC=-8(舍去),
再由正弦定理可得==.
答案:
能力提升
8.在△ABC中,已知A=30°,且3a=b=12,则c的值为( C )
(A)4 (B)8 (C)4或8 (D)无解
解析:由已知得a=4,b=4,所以根据余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即16=48+c2-2×4·c·,整理得c2-12c+32=0,解得c=4或8,故选C.
9.在△ABC中,若B=60°,b2=ac,则其形状是 .?
解析:由余弦定理可得cos 60°=,
即=,于是a2+c2-ac=ac,
∴(a-c)2=0,因此a=c,
又B=60°,所以△ABC是等边三角形.
答案:等边三角形
10.在△ABC中,若AB=10,AC=6,BC=14,则·= .?
解析:因为cos A==
=-,
所以·=||||cos A=10×6×（-）=-30.
答案:-30
11.(2014三门峡高二期末)在锐角△ABC中,a、b、c是角A、B、C的对边,且a=2csin A.
(1)求角C的度数;
(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b.
解:(1)由正弦定理得sin A=2sin Csin A,
∵A、C是锐角,
∴sin C=,故C=60°.
(2)S=absin C=,
∴ab=6.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,
∴(a+b)2=25,
∴a+b=5.
12.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知=.
(1)求的值;
(2)若cos B=,△ABC的周长为5,求b的长.
解:(1)由正弦定理可设===k,
则==,
所以=,
即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B,
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).
又A+B+C=π,所以sin C=2sin A,因此=2.
(2)由=2,得c=2a.
由余弦定理及cos B=,
得b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2×=4a2,
所以b=2a.
又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2.
探究创新
13.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acos A,则sin A∶sin B∶sin C为( D )
(A)4∶3∶2 (B)5∶6∶7
(C)5∶4∶3 (D)6∶5∶4
解析:∵a、b、c为连续的三个正整数,
且A>B>C,可得a>b>c,
∴ ①
又∵3b=20acos A,
∴cos A= ②
由余弦定理可得cos A= ③
由②③可得= ④
联立①、④得,7c2-13c-60=0,
解得c=4或c=-(舍去).
则a=6,b=5,
故由正弦定理可得
sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4.
故选D.
1.2 应用举例
【选题明细表】
知识点、方法
题号
测量距离问题
1、2、3
测量高度问题
7、8
测量角度问题
4、6、9、11
其他问题
5、10
基础达标
1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为
4 m,A=30°,则其跨度AB的长为( D )
(A)12 m (B)8 m (C)3 m (D)4 m
解析:由正弦定理得=,
由题意得C=120°,B=30°,
∴AB===4(m).
故选D.
2.如图,为了测量A、B两点间的距离,在地面上选择适当的点C,测得AC=100 m,BC=120 m,∠ACB=60°,那么A、B的距离为( B )
(A)20 m (B)20 m
(C)500 m (D)60 m
解析:由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°
=1002+1202-2×100×120×
=12400,
∴AB=20(m),故选B.
3.(2014濮阳高二期末)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( B )
(A)a km (B)a km
(C)a km (D)2a km
解析:由题意得∠ACB=120°,
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,
∴AB=a.故选B.
4.在静水中划船的速度是每分钟40 m,水流的速度是每分钟20 m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( B )
(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
解析:如图,
∵sin∠CAB==,
∴∠CAB=30°,故选B.
5.(2014临沂质量抽测)一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为( B )
(A)20(+)海里/时
(B)20(-)海里/时
(C)20(+)海里/时
(D)20(-)海里/时
解析:由题意得∠SNM=105°,∠NSM=30°,
∴=,
MN==,
货轮速度v===20(-).故选B.
6.张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ.继续前进10 m至D点,测得顶端A的仰角为4θ,则θ等于 .?
解析:画出示意图,在△ABE中,
AC=BC=30 m,CD=DA=10 m,
∴cos∠ACD=cos 2θ==?θ=15°.
答案:15°
7.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB= .
?
解析:由题意可知在△BCD中,
∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,
则∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°.
由正弦定理可得
BC===15.
又在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,
∴AB=BC·tan∠ACB=15×=15(米).
答案:15 米
能力提升
8.如图,某城市的电视台发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°,则这座电视台发射塔的高度CD为 .
?
解析:AB==84,
tan∠CAB===.
由=tan(45°+∠CAB)==.
得CD=169.
答案:169米
9.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?
解:设甲船沿直线行驶与乙船同时到C点,
则A、B、C构成△ABC,如图.设乙船速度为v,则甲船速度为v,设到达C处用时为t.
由题意,BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°.
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°,
∴3v2t2=a2+v2t2+avt.
∴2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-(舍去)或vt=a.
∴BC=a,在△ABC中AB=BC=a,
∴∠BAC=∠ACB=30°,60°-30°=30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船,此时乙船行驶了a海里.
10.如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B、D两点的仰角分别为60°,60°,AC=0.1 km,试探究图中哪两点间距离与BD相等,并求BD(计算结果精确到0.01 km,≈1.414,≈2.449)
解:在△ACD中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,
∴CD=AC,
又∵∠BCD=180°-60°-60°
=60°=∠ACB,
∴△ACB≌△DCB,
∴AB=DB.
在△ABC中,∠ABC=75°-∠ACB=15°.
由正弦定理得AB=·sin 60°
=(km).
∴BD=≈0.33(km).
即A、B两点距离与BD相等,BD约为0.33 km.
探究创新
11.(2013年高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的长;
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,
所以sin A=,sin C=.
从而sin B=sin[π-(A+C)]
=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=×+×
=.
由正弦定理=,
得AB=·sin C=×=1040(m).
所以索道AB的长为1040 m.
(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,
此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,
所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50).
由于0≤t≤,
即0≤t≤8,
故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理=,
得BC=·sin A=×=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min,
由题意得-3≤-≤3,
解得≤v≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.
【选题明细表】
知识点、方法
题号
三角形面积公式的应用
1、2、3、6、7
三角恒等式的证明
9
三角形中的综合问题
4、5、8、10、11
基础达标
1.在△ABC中,已知BC=3,AC=4,∠ACB=135°,则△ABC面积等于( B )
(A)6 (B)3 (C)3 (D)3
解析:S△ABC=·BC·AC·sin∠ACB
=×3×4×
=3,
故选B.
2.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积为220,则AB的长度为( C )
(A)49 (B)51 (C)55 (D)49
解析:S△ABC=AC×AB×sin 60°
=×16×AB×
=220,
解得AB=55.
故选C.
3.(2014洛阳高二期末)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为( C )
(A) (B) (C) (D)2
解析:∵(a+b)2-c2=4,
∴a2+b2-c2=4-2ab,
∴cos C===-.
∴ab=4,
∴S△ABC=absin C=.故选C.
4.如图,已知锐角三角形ABC中,||=3,||=2,△ABC的面积为,则·的值为( A )
(A)3 (B)-3
(C)2 (D)-2
解析:由已知可得=·||·||×sin A,
所以sin A==,
又因为△ABC为锐角三角形,
所以A=60°,
于是·=||||cos A=3×2×cos 60°=3,
故选A.
5.(2014南阳高二期末)已知锐角△ABC中,A=2B,AC=2,则BC的范围为( A )
(A)(2,2) (B)(,)
(C)(,) (D)[2,2]
解析:由正弦定理得=,
∴=,
∴BC=4cos B,
又△ABC是锐角三角形,
∴90°∴30°∴∴26.(2014清远高二期末)在△ABC中,已知A=135°,AB=1,AC=,则
△ABC的面积为 .?
解析:S△ABC=AB·AC·sin A
=×1××sin 135°=.
答案:
7.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为 .?
解析:由题意设△ABC三边长分别为a-4,a,a+4,
则cos 120°=,
解得a=10或a=0(舍),
则S△ABC=×6×10×sin 120°=15.
答案:15
能力提升
8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则该三角形的周长为 .?
解析:∵a-b=4,
∴a>b,
又∵a+c=2b,
∴b+4+c=2b,
∴b=4+c,
∴a>b>c.
∴最大角为A,
∴A=120°,
∴cos A==-,
∴b2+c2-a2=-bc,
∴b2+(b-4)2-(b+4)2=-b(b-4),
即b2+b2+16-8b-b2-16-8b=-b2+4b,
∴b=10,
∴a=14,c=6.
故周长为30.
答案:30
9.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,
求证:-=-.
证明:左边=-
=-
=--+
=--+
=-
=右边,
所以等式成立.
10.(2013年高考湖北卷)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.
解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,
得2cos2 A+3cos A-2=0,
即(2cos A-1)(cos A+2)=0.
解得cos A=或cos A=-2(舍去).
因为0(2)由S=bcsin A=bc×=bc=5,得bc=20.
又b=5,所以c=4.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,
故a=.
又由正弦定理,得sin Bsin C=sin A·sin A=·sin2 A=×=.
探究创新
11.(2014宿州质检)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,△ABC的面积S满足S=bccos A.
(1)求角A的值;
(2)若a=,设角B的大小为x,用x表示c,并求c的取值范围.
解:(1)在△ABC中,由S=bccos A=bcsin A,
得tan A=,
∵0∴A=.
(2)由a=,A=及正弦定理得
===2,
∴c=2sin C=2sin(π-A-B)=2sin(-x),
∵A=,∴0∴0<-x<,
∴00<2sin(-x)≤2,
即c∈(0,2].
