14.3.1 提公因式法 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
人教八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.1 提公因式法
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
学习目标
重点
难点
计算并观察下列式子有什么特点？
整式的乘积
多项式
整式的乘积
多项式
新课引入
一 因式分解
探究
(1) x2 ＋ x= ; (2) x2 － 1= .
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
根据整式的乘法，可以联想得到
x2 ＋ x= x(x ＋1),
x2 － 1=(x ＋1) (x － 1).
新知学习
归纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋ )　　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
选择【D】
【解析】∵ 不是整式，∴a2＋1＝ a(a＋ )不是因式分解，故A错误；
∵(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，∴不是因式分解，而是整式乘法，故B错误；
∵a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，∴不是因式分解，故C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，∴是因式分解，故D正确．
归纳
因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式，即互逆运算.
整式乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是积化和差;
因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是和差化积.
因式分解
整式乘法
积化和差
和差化积
二 用提公因式法分解因式
探究
pa+pb+pc
公共的因式 p
我们看多项式 pa+pb+pc.
公因式 p
多项式各项都含有的公共的因式 ， 叫做这个多项式的公因式.
由p(a+b+c)=pa+pb+pc，可得pa+ pb + pc=p(a+b+c).
这样就把pa+ pb + pc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式p，另一个因式a+b+c是pa+ pb + pc除以p所得的商.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
归纳
思考
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？
2x2 + 6x3
系数的
最大公因数
2
x
相同
字母
字母的
最小指数
2
多项式2x2+6x3的公因式是2x2
归纳
确定多项式的最大公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
例2 把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式.我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4；两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，因此我们选定4ab2为要提出的公因式.提出公因式4ab2后，另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了.
解： 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.
针对训练
1.判断下列因式分解的对错
(1) 12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y) （ ）
(2) 3x2 - 6xy+x=x(3x-6y) （ ）
(3) -24x3+12x2-28x=4x(-6x2+3x-7) （ ）
12x2y+18xy2=6xy(2x + 3y)
3x2 - 6xy+x=x(3x-6y+1)
-24x3+12x2-28x=-4x(6x2-3x+7)
×
×
×
用提公因式法分解因式应注意的问题：
归纳
（1）多项式是几项，提公因式后也剩几项.
（2）当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号
内第一项的系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
例3 把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式.
分析：b+c是这两个式子的公因式，可以直接提出.
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
探究
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
（1）(a-b) =___ (b-a)； （2）(a-b)2 =___(b-a)2；
（3）(a-b)3 =___ (b-a)3；
（4）(a-b)4 =___(b-a)4；
（5）(-a-b) =____ (a+b)；
（6）(-a-b)2 =___ (a+b)2；
-
-
-
+
+
（7）(-a-b)3 =___(a+b)3；
-
（8）(-a-b)4 =___(a+b)4.
+
+
归纳
（1）a-b与b-a互为相反数.
（2）a+b与-a-b互为相反数.
(a-b) =(b-a) （n是偶数）
(a-b) =-(b-a) （n是奇数）
(-a-b) =(a+b) （n是偶数）
(-a-b) =-(a+b) （n是奇数）
1.把下列各式分解因式：
(1)y(x+1)+y (x+1) . (2)6(m-n) -12(n-m) .
针对训练
解：y(x+1)+y (x+1)
=y(x+1)(1+xy+y)
解：6(m-n) -12(n-m)
=6(m-n) -12(m-n)
=6(m-n) [(m-n) -2]
=6(m-n) (m-n-2)
1.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)(-2)101+(-2)100.
解：1.992+1.99×0.01
=1.99×(1.99+0.01)
=3.98；
解：(-2)101+(-2)100
=(-2)100 ×(-2)+(-2)100
=(-2)100 ×(-2+1)
=2100 ×(-1)
=-2100.
随堂练习
2.19992+1999 能被1999整除吗？能被2000整除吗？
解：∵19992+1999 =1999×(1999+1)
=1999×2000；
∴ 19992+1999 能被1999整除；也能被2000整除.
3.先因式分解，再计算求值：
4x(m-2)-3x(m-2)2，其中x=1.5，m=6
解：4x(m-2)-3x(m-2)2
= x(m-2)[4-3(m-2)]
= x(m-2)(10-3m)
将x=1.5，m=6代入x(m-2)(10-3m) 中，得
1.5×(6-2)(10-3×6)=-48.
5.观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；
…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，
若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是(　　)
A．2S2－S B．2S2＋S
C．2S2－2S D．2S2－2S－2
【分析】∵2100＝S，
∴2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200
＝S＋2S＋22S＋…＋299S＋2100S
＝S(1＋2＋22＋…＋299＋2100)
＝S(1＋2100－2＋2100)＝S(2S－1)＝2S2－S
【答案】A
提公
因式法
因式分解
提公因式法
把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
正确找出多项式的最大公因式的步骤：
1.定系数；
2.定字母；
3.定指数.
课堂小结
谢谢
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