2.3.6 拓展：直线系方程-人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（含答案）

直线系方程
1.平行直线系
以斜率为（常数）的直线系：（为参数）；
平行于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)
2.垂直直线系
垂直于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)
3.定点直线系
1.过定点（，）的直线系方程：
① ，不能表示；
② （A，B不同时为0）
2.过两条直线，交点的直线系方程为：
① (是参数但不包括)
② (为参数，且不同时为0)；
考点一：定点问题
1. 若直线l1：y=k（x-4）与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点（ ）
A．（0，2） B．（0，4） C．（－2，4） D．（4，－2）
2.已知 满足，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
3.求过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线方程．
4.证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.
5. 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
6.已知3a+2b=1，求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点，并求该定点坐标.
7.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
8.已知直线与关于直线对称，直线⊥，则的斜率是______.
直线系方程
1.平行直线系
以斜率为（常数）的直线系：（为参数）；
平行于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)
2.垂直直线系
垂直于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)
3.定点直线系
1.过定点（，）的直线系方程：
① ，不能表示；
② （A，B不同时为0）
2.过两条直线，交点的直线系方程为：
① (是参数但不包括)
② (为参数，且不同时为0)；
考点一：定点问题
1. 若直线l1：y=k（x-4）与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点（ ）
A．（0，2） B．（0，4） C．（－2，4） D．（4，－2）
1. A 直线l1：y=k（x-4）恒过定点（4，0），点（4，0）关于点（2，1）对称的点的坐标为（0，2）
2.已知 满足，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
2.将a=1-2b代入直线方程，得（1-2b）x+3y+b=0，将x=，y=-代入满足方程，故选C.
3.求过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线方程．
解法一：解方程组得交点P（0，2）
∵k3＝ ， ∴kl＝－ ， 由点斜式得l：y－2＝－x ，即4x＋3y－6＝0．
解法二：设所求直线l：4x＋3y＋C＝0
由解法一知：P(0，2）代入方程，得C＝－6 ，∴l：4x＋3y－6＝0．
解法三：设所求直线l：(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0
整理得(λ＋1)x＋(λ－2)y－2λ＋4＝0
∵l⊥l3 ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0
∴λ＝11 ，∴l的方程为：(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0
即4x＋3y－6＝0．
4.证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.
4.（恒等式法）直线方程化为:,
∵∈R， ∴，解得，，，
∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.
5. 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
5.设所求直线方程为：，
当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：；
当所求直线不过原点时，令=0，解得=，
令=0，解得=，
由题意得，=，解得，
此时，所求直线方程为：.
综上所述，所求直线方程为：或.
6.已知3a+2b=1，求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点，并求该定点坐标.
6.由3a+2b=1 得：b=(1-3a)
代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0
整理得(2x –-1)+a(x -)=0
由， 得交点(1， ) ∴直线过定点(1， ).
7.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
7.解：(1)经过已知两直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝＝.
8.已知直线与关于直线对称，直线⊥，则的斜率是______.