2024中考数学总复习课件：第17讲 等腰三角形（31张PPT）

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2024中考数学总复习课件
第17讲 等腰三角形
真题小试
命题点1 等腰三角形的性质与判定
1.（2022·江西）已知点 在反比例函数 的图象上，
点 在 轴正半轴上.若 为等腰三角形，且腰长为5，则
的长为_ ______________.
5， 或
2.（2021·江西）如图，在 中， ，
， 平分 交 于点 ， 于点
，求证： .
证明： 平分 ，
.
， .
为等腰三角形.
， .
命题点2 等边三角形的性质与判定
（第3题）
3.（2023·江西）将含 角的直角三角板和直尺按如图所示
的方式放置，已知 ，点 ， 表示的刻度分别为
， ，则线段 的长为___ .
2
（第4题）
4.（2021·江西）如图，在边长为 的正六边形 中，
连接 ， ，其中点 ， 分别为 和 上的动点.若以
， ， 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则
该等边三角形的边长为___________.
9，10或18
要点归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
1.性质
（1）等腰三角形的两个底角相等.（简称为“____________”）
（2）等腰三角形____________线、____________线及底边上的高互相重合.
（简称为“三线合一”）
（3）等腰三角形是轴对称图形.
2.判定
（1）有两条边______的三角形是等腰三角形；
（2）有两个角______的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.
等边对等角
顶角的平分
底边上的中
相等
相等
温馨提示：
1.“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等的应用极为广泛，但一定要注
意前提条件是在同一个三角形中.
2.①已知等腰三角形的一个角，求其他角的度数时，要对该角是顶角还是底角
进行分类讨论；②已知等腰三角形的一条边长，求其他边的长度时，要对该边是腰
还是底进行分类讨论，此外还要考虑三角形的三边关系.
回归教材：
1.（北师大八下P9随堂练习第1题改编）如图，在 中，
， 分别平分 ， ，过点 作直线 ，
交 ， 于点 ， .当 的位置及大小变化时，线段
和 的大小关系为( )
B
A. B.
C. D.不能确定
2.（人教八上P77练习第1题改编）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提
出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽
的棒 ， 组成，两根棒在点 处相连并可绕 转动， 点固定，
，点 ， 可在槽中滑动.若 ，则 的度数是
( )
D
A. B. C. D.
知识点二 等边三角形的性质与判定
1.性质
（1）等边三角形的三条边都______；
（2）等边三角形的三个角都是_ ___；
（3）对称性：等边三角形是________图形，有___条对称轴.
相等
轴对称
3
2.判定
（1）三条边都______的三角形是等边三角形；
（2）三个角都______的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是 的______三角形是等边三角形.
难点突破：等边三角形的三个判定定理的前提不同，判定定理（1）和（2）是
在三角形的条件下，判定定理（3）是在等腰三角形的条件下.
相等
相等
等腰
回归教材：
3.（人教八上P93复习题13第11题改编）如图，等边三角形
的边长为 ，动点 从点 出发以 的速度沿边 向
点 匀速运动，过点 作 ，交边 于点 ，以 为
边作等边三角形 ，使点 ， 在 的异侧，当点 落在
边上时，点 需移动___ .
1
典例精析
考点一 等腰三角形的性质与判定
例1 如图，在 中， .在 边上取点 ，使得
，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，延长
交 于点 ，连接 .
（1）求证： 为等腰三角形.
证明： ， ，
.
垂直平分 .
.
为等腰三角形.
（2）若 ， ， ，求 的长.
解： ， ，
.
.
，
.
， ， ，
.
.
，
.
.
过点 作 于点 .
.
. .
方法指导 证明等腰三角形的方法有两种：一种是利用等腰三角形的定义（有两边相等的三角形是等腰三角形）；另一种是从角入手，利用“等角对等边”.在用“等角对等边”证明两条线段相等时，往往通过计算角的度数或利用角的关系得到角相等.
针对训练1 如图，在正方形 中， 为 的中点，连
接 .将 沿 翻折，得到 ，延长 交 的
延长线于点 .
（1）求证： 是等腰三角形.
证明：在正方形 中， ，
.
根据翻折，得 .
.
.
是等腰三角形.
（2）若 ，求 的长度.
解：设 .
，
.
为 的中点，
.
根据翻折，得 ， .
，
.
.
在 中，根据勾股定理，
得 .
解得 . .
考点二 等边三角形的性质与判定
例2 如图，已知 是等边 中 边上的一点.
（1）过点 作 ，求证： 为等边三角形.
证明： 是等边三角形，
.
，
.
.
为等边三角形.
（2）连接 ，以 为顶点作 ， 交 的邻补角的平分线于点
，连接 ，那么 是什么特殊三角形？请证明你的结论.
解： 是等边三角形.理由如下：
是等边三角形， 为等边三角形，
， ， .
.
， 平分 的邻补角，
.
， ，
.
.
.
， 为等边三角形.
方法指导 解答这类题，既要熟悉等边三角形的性质，即三边相等、三角相等，又要掌握等边三角形的判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②有两角等于 的三角形是等边三角形；③有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.
考点三 等腰三角形存在性问题
例3 如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，点
在 轴上，且 是等腰三角形，则点 的坐标除了
之外，还可能为_ ___________________.
, 或
方法指导 等腰三角形的存在性分类讨论，可以利用“两圆一线”找出第三点的位
置，然后再运用勾股定理构造方程分别计算.所谓“两圆”是指分别以 ， 为圆心，
的长为半径的两个圆，“一线”是指两圆的公共弦的垂直平分线.在本题中，点
的位置即为“两圆一线”与 轴的交点（注意：舍去不合题意的点）.
针对训练2 在 中， ， ， ，过点 的直线把
分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面
积是_ _______________.
， 或4.8
谢谢