27.2.2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
27.2.2 三边成比例、两边成
比例且夹角相等判定
第二十七章 相似
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.
学习目标
重点
重点
A
B
C
D
E
回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？
新课引入
探究
一 三边成比例的两个三角形相似
任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k (k>0)倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
A′
B′
C′
C
B
A
新知学习
通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
∴
证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 AD = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴ DE = BC，A′E = AC.
∴△A′DE ≌ △ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
又 ∵ ，A′D = AB，
∴ ， .
归纳
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
∵ ，
∴ △ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
例1. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，
A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.
解：相似. 理由如下：
∵
∴ ∴△ABC ∽ △A′B′C′.
1. (一题多解)如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
求证：△ABC ∽ △DBA.
A
C
B
P
D
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC
∴△ABC ∽ △DBA.
证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1
∴AB = ， BD =2，AC= ，AD=
针对训练
2. 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是(　　)
A. ① 和 ②
B. ② 和 ③
C. ① 和 ③
D. ① 和 ④
解析：①中三边：2a 、 、
②中三边：2a 、 、5a
③中三边：2a 、 、
④中三边： 、 、5a
D
3.如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D， E， F分别是AB， BC， CA的中点
∴DE= AC ，DF= BC，EF= AB
∴
二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
探究
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A =∠A′，
量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
如图，在 △ABC 与△A′B′C′中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥ B′C′，
∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D = AB，
∴
归纳
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
思考
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不一定，如下图，显然∠C和∠C'不相等
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例2. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm，
∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm，
解：相似. 理由如下：
∵
∴ ∴△ABC ∽ △A′B′C′.
1. (一题多解)如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
求证：△ABC ∽ △DBA.
A
C
B
P
D
∵
∠ABC = ∠DBA
∴△ABC ∽ △DBA.
证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
∴AB = ， BD =2，
针对训练
2. 如图 △AEB 和 △FEC ( 填“相似”或“不相似”) .
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
3.根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似．
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
1如图，在菱形ABCD，∠ADE，∠ CDF分别交BC，AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE=∠ CDF．
随堂练习
(1)求证：CE=AF．
解：∵∠ADE=∠CDF，∴∠ADF=∠CDE，
∵四边形ABCD是菱形∴AD=CD，∠DAF=∠DCE
在△ADF和△CDE中
∠ADF=∠CDE
AD=CD
∠DAF=∠DCE
∴△ ADF ≌ △ CDE(ASA)
∴AF=CE
2.如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似
对应关系不明确,勿忘分类讨论
本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论.由于∠B 是公共角,所以点B 和点B 是对应点,要分两种情况讨论.
解：设经过 t s 后，△PBQ 与△ABC 相似，
那么 AP= 2 t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm.
因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况：
(1)当 时，△PBQ∽△ABC，此时 ，
解得 t =2.5.所以经过 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
(2)当 时，△PBQ∽△CBA，此时 ，
解得 t=1，所以经过 1 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
两边成比例
且夹角相等
三边成比例
相似三角形的
判定方法
B
A
C
B'
A'
C'
课堂小结
谢谢
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