27.2.3 两角相等判定 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
27.2.3 两角相等判定
第二十七章 相似
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
重点
难点
学习目标
探究
一 两角分别相等的两个三角形相似
C
A
B
A'
B'
C'
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题：
新知学习
上节课我们学习了有哪些判定三角形相似的方法？
三边成比例的两个三角形相似．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
新课引入
下来我们探究一下证明两个三角形相似的新方法
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
这两个三角形是相似的.
C
A
B
A'
B'
C'
又∵ A′D = AB，∠A =∠A′，
∴△A′DE ≌ △ABC，
∴△ABC ∽ △A′B′C′ .
问题二 试证明△ABC∽△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′ 的延长线）上，截取 A′D = AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有 △A′DE ∽ △A′B′C′，∠A′DE =∠B′.
∵∠B =∠B′，
∴∠A′DE =∠B.
归纳
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90 ° .
又∠C = 90 °，∠A = ∠A，
∴ △AED ∽ △ABC.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D. 求 AD 的长.
D
A
B
C
E
∴
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
1．如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已标注，则对图(1)，(2)中的两个三角形，下列说法正确的是(　　)
针对训练
A．都相似
B．都不相似
C．只有(1)相似
D．只有(2)相似
A
证明：∵ 在 △ ABC 中，∠A = 40 ° ，∠B = 80 ° ，
∴ ∠C = 180 °－∠A－∠B = 60 °.
∵ 在 △DEF 中，∠E = 80 °，∠F = 60 °.
∴ ∠B = ∠E，∠C = ∠F.
∴ △ABC ∽ △DEF.
2.如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80 °，∠F = 60 °．求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
3．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边DC、BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠ DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（ ）．
A．只有甲与乙 B．只有乙与丙
C．只有甲与丙 D．甲与乙与丙
D
解：∵∠ AFB=72°
∴∠BAF=18°，∠EAF=90° -∠BAF-∠ DAE=36°
∴∠DAE=∠EAF=∠CEF
∵∠ADE=∠AEF=∠ECF
∴△DAE∽△EAF∽△CEF，故选D
证明：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线
∴CD=AD，∠ACD=∠A
∵DE//AC
∴∠ ACD=∠CDE，∠A=∠CDE
∵∠ACB=90°，CE⊥CD
∴∠ACB=∠DCE
∴△ABC∽△ DEC
4.如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．求证：△ABC∽△ DEC．
5．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（ ）.
A． B． C． D．6
A
解：在△ADC和△ ACB中
∵∠ACD=∠ B，∠A=∠A
∴△ADC∽△ACB，AC:AB=AD:AC
∴
∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5
∴AC =5×2=10
∴AC=
思考
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
二 判定两个直角三角形相似
例2 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°，
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
分析：要证 Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′ ，
可设法证
若设
则只需证
∴
∴
C
A
A'
B
B'
C'
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
证明：设 = k ，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′.
由勾股定理，得
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
1.如图，Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高.
求证：(1)△ACD ∽ △ABC；
证明：(1)∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC = 90°.
又∵∠A = ∠A，∴△ACD ∽ △ABC.
在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴∠ADC = ∠ACB.
A
B
C
D
∟
针对训练
证明：(2)∵CD 是斜边 AB 上的高，
∴∠CDB = 90°.
求证： (2)△CBD ∽ △ABC.
又∵∠B = ∠B，∴△CBD ∽ △ABC.
在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴∠CDB = ∠ACB.
A
B
C
D
∟
2. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .
18
D
B
C
A
∟
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
3. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：
D
C
A
B
E
F
判定两三角形相似的思路：
(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；
(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例；
(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；
(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．
(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例，或斜边、一直角边对应成比例．
归纳
1.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上的一点 QP⊥AP 交 DC 于点 Q，设 BP =x，△ADQ 的面积为 y.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠B=∠C=90°， ∠BAP +∠APB =90°.
∵ QP⊥AP
∴∠QPC +∠APB =90°， ∠BAP =∠QPC，
∴△ABP ∽△PCQ
∴ ，即 ，
∴ (0随堂练习
(2)点 P 在何位置时，△ADQ 的面积最小？最小面积是多少？
解：(2) ∵
∴当 x =2 时，y 最小，且最小值为6
即当点 P 是 BC 的中点时
△ADQ 的面积最小，最小面积为6
2.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥ AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
证明： ∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ B=90°，AD//BC
∴∠ AMB=∠ EAF
∵EF⊥AM
∴∠AFE=90°，∠B=∠AFE
∴△ABM∽△EFA
(1)求证：△ABM∽△EFA
(2)若AB=12，BM=5，求DE的长．
解： ∵∠B=90°，AB=12，BM=5
∴AM= ，AD=12
∵F是AM的中点
∴
∵△ABM∽△ EFA
∴ ，即 ，AE=16.9
∴DE=AE-AD=4.9
3.(武汉中考节选)已知 AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点 E，分别交 AM，BN 于D，C 两点，如图.求证：AB2 =4AD·BC.
证明：如图,连接 OC,OD
∵ AM 和 BN 是⊙O 的两条切线
∴ AM⊥AB, BN⊥AB, AM//BN, ∠ADE +∠BCE = 180°
∵ DC 切⊙O 于点E
∴∠DOC =90°，∠AOD +∠COB = 90°
∵∠AOD+∠ADO =90°
∴ ∠ADO =∠COB
∵∠OAD =∠OBC =90°
∴△AOD∽△BCO，
∵ OA =OB = AB
∴ ，即 AB =4AD·BC
课堂小结
谢谢
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