27.2.5 相似三角形应用举例 课件（共28张PPT）
文档属性
| 名称 | 27.2.5 相似三角形应用举例 课件（共28张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-29 21:17:36 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
27.2.5 相似三角形应用举例
第二十七章 相似
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
学习目标
重点
难点
金字塔
亚马逊河
在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量金字塔的高度和河流的宽度吗？
新课引入
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
新知学习
例1 如图，木杆 EF 长 2m，它的影长 FD 为 3m，测得 OA 为 201m，求金字塔的高度 BO.
解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽ △DEF.
∴ ，
= 134 (m).
∴
因此金字塔的高度为 134m.
归纳
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
思考
还可以有其他测量方法吗？
A
F
E
B
O
┐
┐
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
C
入射光线
反射光线
∠EAC=∠BAC
∠EAF=∠BAO
∠EAF=∠EAO
入射角=反射角
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
“在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度
表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距
针对训练
1. 在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m，这栋楼的高度是多少？
解：设这栋楼的高度是 x m．
由题意得
解得 x = 54.
因此这栋楼的高度是 54m.
2. 如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚底下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时 ∠LMK 等于∠SMT 吗？如果王青身高 1.55m，她估计自己眼睛离地面 1.50m，同时量得 LM = 30cm，MS = 2m，这栋大楼有多高？
解：根据题意，
∵∠KLM =∠TSM = 90°，∠KML =∠TMS ，
∴△KLM ∽△TSM，
∴ 即
∴TS = 10 ( m )
所以这栋大楼高为 10m．
入射角等于反射角
二 利用相似三角形测量宽度
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45m，
ST = 90m，QR = 60m，请根据这些数据，计算
河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ × 90 = (PQ + 45) × 60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90m.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P，
∴△PQR∽△PST.
即 ，
45m
90m
60m
思考
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD = 80m，DC = 30m，EC = 24m，求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
解：∵ ∠ADB = ∠EDC，
∠ABC = ∠ECD = 90°，
∴ △ABD ∽ △ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 64.
因此，两岸间的大致距离为 64m.
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
归纳
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
针对训练
1.如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（ ）
A.120m
B.100m
C.75m
D.25m
B
三 利用相似解决有遮挡物问题
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽ △CEK.
∴ ，
即
解得 EH = 8.
针对训练
1.如图，路灯灯柱OP的长为8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到达点B处，人影的长度变短了多少？
解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y，
∵AD//OP，BC//OP，
∴△ ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴
则 ，
∴x-y=3.5，
故变短了3.5米．
随堂练习
1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
22.5
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，则EF
长度为河宽，
∵AB∥CD，∴△PDC∽△PBA，∴
∴ ，即EF=22.5
A F B
C E D
P
如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．
(1)设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式．
解：∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴ 即 ，
∴
H
(2)当t为何值时，△APQ与△ABC相似.
解：当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
∴ ，
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴ ，
∴当t为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时△APQ∽△ABC相似．
利用相似三角形测量宽度
表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距
利用相似解决有遮挡物问题
利用相似三角形测量高度
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
相似三角形
应用举例
课堂小结
谢谢
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27.2.5 相似三角形应用举例
第二十七章 相似
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
学习目标
重点
难点
金字塔
亚马逊河
在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量金字塔的高度和河流的宽度吗？
新课引入
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
新知学习
例1 如图，木杆 EF 长 2m，它的影长 FD 为 3m，测得 OA 为 201m，求金字塔的高度 BO.
解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽ △DEF.
∴ ，
= 134 (m).
∴
因此金字塔的高度为 134m.
归纳
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
思考
还可以有其他测量方法吗？
A
F
E
B
O
┐
┐
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
C
入射光线
反射光线
∠EAC=∠BAC
∠EAF=∠BAO
∠EAF=∠EAO
入射角=反射角
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
“在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度
表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距
针对训练
1. 在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m，这栋楼的高度是多少？
解：设这栋楼的高度是 x m．
由题意得
解得 x = 54.
因此这栋楼的高度是 54m.
2. 如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚底下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时 ∠LMK 等于∠SMT 吗？如果王青身高 1.55m，她估计自己眼睛离地面 1.50m，同时量得 LM = 30cm，MS = 2m，这栋大楼有多高？
解：根据题意，
∵∠KLM =∠TSM = 90°，∠KML =∠TMS ，
∴△KLM ∽△TSM，
∴ 即
∴TS = 10 ( m )
所以这栋大楼高为 10m．
入射角等于反射角
二 利用相似三角形测量宽度
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45m，
ST = 90m，QR = 60m，请根据这些数据，计算
河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ × 90 = (PQ + 45) × 60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90m.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P，
∴△PQR∽△PST.
即 ，
45m
90m
60m
思考
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD = 80m，DC = 30m，EC = 24m，求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
解：∵ ∠ADB = ∠EDC，
∠ABC = ∠ECD = 90°，
∴ △ABD ∽ △ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 64.
因此，两岸间的大致距离为 64m.
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
归纳
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
针对训练
1.如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（ ）
A.120m
B.100m
C.75m
D.25m
B
三 利用相似解决有遮挡物问题
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽ △CEK.
∴ ，
即
解得 EH = 8.
针对训练
1.如图，路灯灯柱OP的长为8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到达点B处，人影的长度变短了多少？
解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y，
∵AD//OP，BC//OP，
∴△ ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴
则 ，
∴x-y=3.5，
故变短了3.5米．
随堂练习
1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
22.5
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，则EF
长度为河宽，
∵AB∥CD，∴△PDC∽△PBA，∴
∴ ，即EF=22.5
A F B
C E D
P
如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．
(1)设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式．
解：∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴ 即 ，
∴
H
(2)当t为何值时，△APQ与△ABC相似.
解：当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
∴ ，
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴ ，
∴当t为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时△APQ∽△ABC相似．
利用相似三角形测量宽度
表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距
利用相似解决有遮挡物问题
利用相似三角形测量高度
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
相似三角形
应用举例
课堂小结
谢谢
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