四川省雅安天立学校腾飞高中2023-2024学年高一上学期11月教学质量检测数学试题（含解析）

雅安天立学校腾飞高中2023级2023-2024学年度上期11月教学质量测试
数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第ⅠⅠ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校 班级 姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 试题卷上答题无效.
3.考试结束后将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设全集，集合，则的子集的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
5.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ）
A.①，②，③，④
B.①，②，③，④
C.①，②，③，④
D.①，②，④，④
7.已知，且，则（ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
8.若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.下列函数是幂函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.以下运算结果等于2的是（ ）
A. B. C. D.
11.下列各组函数是同一函数的是（ ）
A.与
B.与
C.与
D.与
12.若不等式的解集是，则以下正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.的解集为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域是__________.
14.已知函数，则的值域为__________.
15.设函数则__________.
16.若函数是指数函数，则实数的值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）（1）计算：；
（2）若，求的值.
18.设集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（12分）已知且，
（1）求最小值；
（2）求的最小值.
20.（12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理 施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
21.（12分）定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示：
（1）请在坐标系中补全函数的图象；
（2）比较与的大小.
22.（12分）（1）证明：函数为奇函数的充要条件是.
（2）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
①求函数的图象的对称中心.
②类比上述推论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广的结论.
答案
一 单选题
1.【答案】C
【分析】根据且求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
2.【答案】D
【分析】先求得，再去求的子集的个数即可.
【详解】全集，集合，
则，共2个元素，其子集为
所以的子集的个数是
故选：D.
3.【答案】C
【分析】根据奇偶性的判断即可排除，根据值域即可排除.
【详解】对于定义域为，但是是偶函数，故A错误，
对于，所以是非奇非偶函数，错误，
对于定义域为，但是是奇函数，且值域为，故正确，
对于中，由于，故值域不为，故D错误，
故选：C
4.【答案】A
【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法即可判断作答.
【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是“”.
故选：A
5.【答案】A
【分析】解出不等式，再利用集合关系，即可判断.
【详解】因为，
所以或，
则 或，
故“”是“的充分不必要条件，
故选：A.
6.【答案】A
【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像.
【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①；
幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②；
幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③；
幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④；
故选：A.
7.【答案】D
【分析】利用换元法，求出的解析式，在利用，求出即可.
【详解】令，则，所以，
所以函数的解析式为，又因为，
所以，解得.
故选：D.
8.【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】由题意可得，解得，所以实数的取值范围为.
故选：A.
二 多选题
9.【答案】BC
【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可得出答案.
【详解】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为
是指数函数，不是幂函数，选项错误；
是幂函数，选项B正确；
是幂函数，选项C正确；
不是幂函数，选项错误；
故选：BC.
10.【答案】BCD
【分析】根据根式运算化简各项即可.
【详解】对于，不合题意；
对于，符合题意；
对于，符合题意；
对于D，，符合题意.
故选：BCD
11.【答案】AC
【分析】根据函数的定义域 对应关系和值域等知识确定正确选项.
【详解】选项，与定义域相同 对应关系相同 值域也相同，选项是同一函数.
B选项，的定义域为的定义域为，不是同一函数.
选项，和的定义域都为，对应关系相同，值域也相同，选项是同一函数.
选项，的值域为的值域为，不是同一函数.
故选：AC
12.【答案】ABC
【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解.
【详解】解：不等式的解集是，开口向下，故A正确；
是方程的个两根，，故B正确；
根据对称轴和可推出，带入选项中的式子可得，故C正确；
是方程的个两根，
当，故解得错误；
故选：ABC
三 填空题
13.【答案】且
【分析】求使函数有意义的的范围即为定义域，逐项求解即可.
【详解】解：由题意得，解得且，
故函数的定义域为且.
故答案为：且
14.【答案】
【分析】根据二次函数的性质求值域.
【详解】因为的对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以的值域为，
故答案为：.
15.【答案】1
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.
【详解】当时，，
则.
故答案为：1
16.【答案】2
【分析】根据指数函数的概念列式可得.
【详解】因为函数是指数函数，
所以且，
解得.
故答案为2
【点睛】本题考查了指数函数的概念，属于基础题.
四 解答题
17.【答案】（1）；（2）23
【分析】（1）进行指数式运算可得，（2）将两边同时平方可得到的值，再将平方可求出的值，再用立方和公式将分解，代入 的值，即可求出的值.
【详解】（1）原式.
（2）因为，所以，得.
所以，得.
所以，
所以.
18.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）当时，可以求出，然后由补集 交集的概念即可得解.
（2）由题意，从而列出不等式组即可求解.
【详解】（1）由题意当时，，此时或，
又因为，
所以.
（2）由题意，
所以当且仅当，解不等式组得，
所以实数的取值范围为.
19.【答案】（1）8
（2）
【分析】（1）由基本不等式直接得出不等关系后可得最小值.
（2）利用已知凑配出定值后，由基本不等式得最小值.
【详解】（1）由已知，解得，当且仅当即时等号成立，
所以最小值是8；
（2）由已知，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值是.
20.【答案】（1）；
（2）4千克，480元.
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可.
【详解】（1）依题意，又，.
（2）当时，，开口向上，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为.
当时，，
当且仅当时，即时等号成立.
当时，.
当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元.
21.【答案】（1）图见解析；（2）.
【分析】（1）根据奇函数的图象特征可作出函数的图象；
（2）结合图象可得出与的大小关系.
【详解】（1）因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如下图所示：
（2）观察图象，知.
【点睛】本题考查奇函数图象的补全，同时也考查了奇函数图象的应用，解题的关键就是要根据奇函数的图象特征作出函数的图象，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
22.【答案】（1）证明见解析；（2）①；②结论见解析
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质与判定，结合充要条件的证明方法即可得证；
（2）①利用推广结论，结合奇函数的性质求得，从而得解；②类比推论即可得解.
【详解】（1）当是奇函数时，易知的定义域为，所以，即，则，充分性成立；
当时，，易知的定义域为，
又，所以是奇函数，必要性成立；
综上，函数为奇函数的充要条件是
（2）①不妨设的图象的对称中心为，
则为奇函数，易知的定义域为，
而
，
所以，解得，
则，易知其为奇函数，满足题意，
所以，即的图象的对称中心为.
②函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.