福建省厦门市第六中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

厦门市第六中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
满分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，只有一项符合题目要求，每小题5分，共40分）
1．两条平行直线与之间的距离是
A．0 B．2 C．1 D．
2．焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为
A． B． C． D．
3．从出发的光线，经平面反射后到达点，则光线所行走的路程为
A．3 B．4 C． D．
4．已知椭圆上一点到左焦点的距离为6，是的中点，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为
A． B．2 C． D．
6．在中，，，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
条件 方程
①周长为10
②面积为10
③中，
则满足条件①、②、③的点轨迹方程按顺序分别是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
7．已知点，点，点在圆上，则使得的点的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分，共20分）
9．已知直线的倾斜角为，且直线经过点，则下列结论中正确的是
A．直线的一个方向向量为 B．直线与直线垂直
C．直线在轴上的截距等于 D．点到直线上的点的最短距离是1
10．在空间直角坐标系中，是坐标原点，，，，下列选项中，正确的有
A． B．平面的一个法向量是
C．的面积是 D．点到直线的距离是
11．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，若点是椭圆上异于长轴端点的一个动点，，下列结论中正确的有
A．的周长为15
B．过椭圆上一点的切线方程为
C．的最大值为12
D．若是直线与椭圆相交弦的中点，则方程为：
12．已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是
A．四边形面积的最小值为
B．的最小值为
C．若是圆的一条直径，则的最小值为7
D．直线恒过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__________．
14．已知点在椭圆上运动一点在圆上运动，则的最大值为__________．
15．已知经过点且法向量为的平面的方程是．现知道平面的方程为，则过与的直线与平面所成角的余弦值是__________．
16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为1的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为__________；三棱锥体积的最大值是__________．
四、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，．
（1）求平行四边形的顶点的坐标；
（2）在中，求边上的高线所在直线方程．
18．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程．
19．如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，，设，，．
（1）用，，表示，；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
20．已知椭圆的左顶点为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为点，与圆的另一个交点为点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，．
（1）若，求二面角的大小；
（2）若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
22．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标．
厦门市第六中学2023-2024学年高二上学期期中考试
（数学答案）
一、单项选择题
1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A
二、多项选择题
9．BD 10．BCD 11．BD 12．ABD
三、填空题
13． 14． 15． 16．；
四、解答题
17．【详解】设线段中点为，则点坐标为，
设点坐标为，由已知得为线段中点，有，
解得，
所以
（2）因为直线的斜率为，
所以边上的高线所在直线的斜率为，
故边上的高线所在直线的方程为，
即为；
18．【详解】（1），的中点为，，
所以线段的中垂线方程为，
由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解，解之得．
所以圆心的坐标是，
又因为圆的半径，
所以圆的标准方程是．
（2）设所求直线方程为，
圆心到直线的距离，
所以，即，
所以所求直线方程为．
19．【详解】（1）三棱柱中，点是的中点，
，
，
（2），，，，，
，
，
．
所以异面直线与所成角的余弦值是．
20．【详解】（1）由题意，可知，．
则，．
椭圆的标准方程为．
（2）由题意，假设存在直线使得，可设直线的斜率为．
则直线．
，即点为线段中点，
根据圆的性质，可知，且平分．
根据题意画图如下：
则．
在中，．
联立直线与椭圆方程，可得：
消去，整理得．
则．
，．
．
，整理，得．很明显矛盾，
故直线不存在．
21．由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面．
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，是线段的中点，
则，，，，，
（1）若，则，，面的一个法向量为，
设面的法向量为，
则，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，
设二面角的平画角为，因为为锐角，
所以，
所以二面角的大小为．
（2）因为点在线段上，而，
设，其中，
则，从而，
于是，
而，
由知，即，
所以，解得，故的最大值为．
22．【详解】（1）由题意得，
由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，
可知：，
又，解 ：，，，
所以椭圆的方程为：．
（2）设与轴交于点，则，
当的斜率为0时，显然不适合题意；
当的斜率不存在时，直线为，
四边形为矩形，
，交于线段的中点，
当直线的斜率存在且不为0时，设，，
直线为：，联立；
得，
，
，，
设，，则，
，
联立，得，
将，代入整理得．
将代入，得
综上，直线、交于定点．