陕西省西安市部分学校百师联盟2023-2024学年高三上册数学开学联考试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．（2023高三上·西安开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由得，解得或，所以或，
又 ，所以
故答案为：C.
【分析】先求出集合B，再按交集的定义运算即可.
2．（2023高三上·西安开学考）已知复数是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】先利用复数的乘法算出，再结合共轭复数的定义即可得到答案.
3．（2023高三上·西安开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】诱导公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：由辅助角公式得，
所以.
故答案为：B.
【分析】直接利用辅助角公式计算化简即得.
4．（2023高三上·西安开学考）函数为自然对数的底数在的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由题，f(x)的定义域为R，，
所以f(x)是偶函数，故排除AC，
又，故排除D.
故答案为：B.
【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.
5．（2023高三上·西安开学考）已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：因为，所以，
又 为定值 ，所以，所以，，
所以.
故答案为：A.
【分析】先由求得，由及得到，结合得到，再由等差数列的性质可得.
6．（2023高三上·西安开学考）如图，在棱长为的正方体中，点在对角线上移动，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：因为，平面，平面，所以平面，
所以M到平面的距离等于B到平面的距离，
故，又.
故答案为：C.
【分析】利用平面，得到M到平面的距离等于B到平面的距离，将问题转化为求，再利用等体积法可得答案.
7．（2023高三上·西安开学考）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
又焦距为4，，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题得到，结合焦距为4可得t的值，再利用离心率公式计算可得答案.
8．（2023高三上·西安开学考）已知实数，满足，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为指数函数是减函数，，所以，
又在上递增，，所以，所以 ，故A正确；
对于B：因为，所以，又在上递增，所以 ，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D： 当时，，，不满足 故D错误；
故答案为：AB.
【分析】利用幂函数及指数函数的单调性可判断A，利用正弦函数的单调性可判断B，举特殊值可判断CD.
9．（2023高三上·西安开学考）某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 设恰有两种饮品没人购买为事件A，
四位同学到店每人购买一杯饮品共有种不同情况，
恰有两种饮品没人购买共有种不同情况，
由古典概型的概率计算公式可得所求概率.
故答案为：A.
【分析】先求出基本事件总数，再求出事件A所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式可得答案.
10．（2023高三上·西安开学考）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
，解得，
，解得
故答案为：A.
【分析】根据题意，倒着依次计算即可.
11．（2023高三上·西安开学考）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题可得，，
因为，所以 ，故B错误；
又，，且在上递减，
所以 ， ，
故答案为：D.
【分析】本题解题关键是两点分布的期望和方差公式，结合二次函数的性质可得答案.
12．（2023高三上·西安开学考）已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解： 因为，
所以或，
，，令得，令得，
所以在递减，在递增，而在上递增，
作出f(x)的大致图像，如图所示，
方程有个不同的实根，所以，
解得.
故答案为：D.
【分析】先将已知转化为和根共有6个，作出f(x)的大致图形，数形结合可得答案.
二、非选择题（共90分）
13．（2023高三上·西安开学考）已知为实数，，，则向量在向量方向上的投影向量为 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先计算出，再利用投影向量的定义可得答案.
14．（2023高三上·西安开学考）已知的展开式中的常数项为 用数字作答．
【答案】240
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由二项式展开式知，通项为，
令，得，所以常数项为.
故答案为：240.
【分析】先求出二项式的通项公式，再令可得答案.
15．（2023高三上·西安开学考）已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是
【答案】或
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
故答案为：或.
【分析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，结合渐近线的斜率和焦点到渐近线的距离分别算出a，b，可得其方程.
16．（2023高三上·西安开学考）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：由 ，平面 可知两两互相垂直，
所以三棱锥可看作是长方体的一部分，其外接球的半径为体对角线的一半，
所以，当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的外接球表面积
故答案为：.
【分析】由题得到两两互相垂直，将三棱锥看作是长方体的一部分，利用长方体外接球的半径等于体对角线的一半结合基本不等式可得答案.
17．（2023高三上·西安开学考）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有，，，四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为，，若为奇数即为中奖.
（1）求某顾客甲获奖的概率；
（2）求随机变量的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：设事件：某顾客甲获奖，即为奇数，则，
所以某顾客甲获奖的概率为，
（2）解：由题意，的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）每位顾客从盒中一次性抽取两个小球共有种不同取法，为奇数，则一定一奇一偶，所以有种可能，结合古典概型的概率计算公式可得答案；
（2）先列出随机变量X的所有可能取值，再算出相应取值时的概率，列出分布列，结合期望公式计算可得答案.
18．（2023高三上·西安开学考）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）解：证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：作于点，易知平面，
在中，，
则，．
如图以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
由知平面，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
，
取，得，
，，
由题可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）先证明 平面 ，从而证明到，再由已知易得 ，结合线面垂直、面面垂直的判断定理证明即得；
（2）作于点，易知平面，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得为平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，结合二面角的向量坐标公式可得答案.
19．（2023高三上·西安开学考）如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点与在同一平面内满足，，．
（1）求；
（2）若的面积为，求线段的长．
【答案】（1）解： ，
由正弦定理得，
即
，
，
又，，
则，即，
，即，
，即，
，解得；
（2）解：的面积，
，即，解得，
由余弦定理得，
，
平分，
由余弦定理得，
．
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将变形为，去分母结合及三角恒等变换公式化简可得到；
（2）利用可得，再由余弦定理算得AC，及，在中用余弦定理即可算得AD.
20．（2023高三上·西安开学考）已知函数，且．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则，
所以，
又，
则切线方程为，化简得；
（2）解：由，可得在上恒成立，
令，则，
对于，，
故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上，，单调递减，在上，，单调递增，
故，即，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当m=1时，先求出及，再利用导数的几何意义可得切线方程；
（2）不等式恒成立等价于在上恒成立， 令，只需求得g(x)的最小值大于等于0即可， 在求g(x)的最小值时需采用隐零点办法得到即 ，利用导数的办法求得，结合m与x0的关系可得答案.
21．（2023高三上·西安开学考）已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点、与、不重合，求证：直线过定点．
【答案】（1）解：由题设，则，，
又，
故，整理得，
解得．
所以抛物线的标准方程为；
（2）证明：若直线不过点，如图，
设，，
由题意可知直线的斜率存在且不为，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
由直线过定点，可得，
同理直线的方程为，
过焦点，可得，
的方程，过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，即，
又因为，
所以，
令，解得，
故直线恒过定点，
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，
显然直线过点；
综上，直线过定点．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设，利用 以及距离公式化简可得p，从而得到抛物线方程；
（2）当直线不过点时，设， ，利用斜率公式可得，有点斜式及直线过定点得到（*），同理由直线AM的方程及AM过(1，0)得到，由直线BN的方程及BN过(1，0)得到，直线的方程为，结合可得，结合（*）式可得定点当直线过点，当直线过点，求出AB方程易得其过定点.；
22．（2023高三上·西安开学考）在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求射线和曲线的极坐标方程；
（2）若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积．
【答案】（1）解：将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，
将，代入得，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）解：由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
因为，，
所以，
所以．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用直角坐标转化为极坐标公式，代入化简即可；
（2）将代入中可得P的极径，将代入中可得Q的极径，再利用计算即可得到答案.
23．（2023高三上·西安开学考）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为，且，求证：．
【答案】（1）解：当时，函数，
当时，由得；
当时，由无解；
当时，由得．
综上，不等式的解集为．
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立，故取到最小值，
所以，即．
所以
，
当且仅当时，即，等号成立，即成立．
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】(1)利用零点分段法将x分为，，三种情况讨论即可；
（2）由三角不等式得到m=a+2，从而有，将改写成，利用基本不等式中“1”的替换可得证明.
1 / 1陕西省西安市部分学校百师联盟2023-2024学年高三上册数学开学联考试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．（2023高三上·西安开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·西安开学考）已知复数是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·西安开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·西安开学考）函数为自然对数的底数在的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三上·西安开学考）已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·西安开学考）如图，在棱长为的正方体中，点在对角线上移动，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·西安开学考）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·西安开学考）已知实数，满足，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高三上·西安开学考）某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·西安开学考）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高三上·西安开学考）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高三上·西安开学考）已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题（共90分）
13．（2023高三上·西安开学考）已知为实数，，，则向量在向量方向上的投影向量为 ．
14．（2023高三上·西安开学考）已知的展开式中的常数项为 用数字作答．
15．（2023高三上·西安开学考）已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是
16．（2023高三上·西安开学考）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 ．
17．（2023高三上·西安开学考）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有，，，四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为，，若为奇数即为中奖.
（1）求某顾客甲获奖的概率；
（2）求随机变量的分布列与数学期望．
18．（2023高三上·西安开学考）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（2023高三上·西安开学考）如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点与在同一平面内满足，，．
（1）求；
（2）若的面积为，求线段的长．
20．（2023高三上·西安开学考）已知函数，且．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
21．（2023高三上·西安开学考）已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点、与、不重合，求证：直线过定点．
22．（2023高三上·西安开学考）在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求射线和曲线的极坐标方程；
（2）若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积．
23．（2023高三上·西安开学考）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由得，解得或，所以或，
又 ，所以
故答案为：C.
【分析】先求出集合B，再按交集的定义运算即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】先利用复数的乘法算出，再结合共轭复数的定义即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】诱导公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：由辅助角公式得，
所以.
故答案为：B.
【分析】直接利用辅助角公式计算化简即得.
4．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由题，f(x)的定义域为R，，
所以f(x)是偶函数，故排除AC，
又，故排除D.
故答案为：B.
【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.
5．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：因为，所以，
又 为定值 ，所以，所以，，
所以.
故答案为：A.
【分析】先由求得，由及得到，结合得到，再由等差数列的性质可得.
6．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：因为，平面，平面，所以平面，
所以M到平面的距离等于B到平面的距离，
故，又.
故答案为：C.
【分析】利用平面，得到M到平面的距离等于B到平面的距离，将问题转化为求，再利用等体积法可得答案.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
又焦距为4，，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题得到，结合焦距为4可得t的值，再利用离心率公式计算可得答案.
8．【答案】A,B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为指数函数是减函数，，所以，
又在上递增，，所以，所以 ，故A正确；
对于B：因为，所以，又在上递增，所以 ，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D： 当时，，，不满足 故D错误；
故答案为：AB.
【分析】利用幂函数及指数函数的单调性可判断A，利用正弦函数的单调性可判断B，举特殊值可判断CD.
9．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 设恰有两种饮品没人购买为事件A，
四位同学到店每人购买一杯饮品共有种不同情况，
恰有两种饮品没人购买共有种不同情况，
由古典概型的概率计算公式可得所求概率.
故答案为：A.
【分析】先求出基本事件总数，再求出事件A所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式可得答案.
10．【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
，解得，
，解得
故答案为：A.
【分析】根据题意，倒着依次计算即可.
11．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题可得，，
因为，所以 ，故B错误；
又，，且在上递减，
所以 ， ，
故答案为：D.
【分析】本题解题关键是两点分布的期望和方差公式，结合二次函数的性质可得答案.
12．【答案】D
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解： 因为，
所以或，
，，令得，令得，
所以在递减，在递增，而在上递增，
作出f(x)的大致图像，如图所示，
方程有个不同的实根，所以，
解得.
故答案为：D.
【分析】先将已知转化为和根共有6个，作出f(x)的大致图形，数形结合可得答案.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先计算出，再利用投影向量的定义可得答案.
14．【答案】240
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由二项式展开式知，通项为，
令，得，所以常数项为.
故答案为：240.
【分析】先求出二项式的通项公式，再令可得答案.
15．【答案】或
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
故答案为：或.
【分析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，结合渐近线的斜率和焦点到渐近线的距离分别算出a，b，可得其方程.
16．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：由 ，平面 可知两两互相垂直，
所以三棱锥可看作是长方体的一部分，其外接球的半径为体对角线的一半，
所以，当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的外接球表面积
故答案为：.
【分析】由题得到两两互相垂直，将三棱锥看作是长方体的一部分，利用长方体外接球的半径等于体对角线的一半结合基本不等式可得答案.
17．【答案】（1）解：设事件：某顾客甲获奖，即为奇数，则，
所以某顾客甲获奖的概率为，
（2）解：由题意，的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）每位顾客从盒中一次性抽取两个小球共有种不同取法，为奇数，则一定一奇一偶，所以有种可能，结合古典概型的概率计算公式可得答案；
（2）先列出随机变量X的所有可能取值，再算出相应取值时的概率，列出分布列，结合期望公式计算可得答案.
18．【答案】（1）解：证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：作于点，易知平面，
在中，，
则，．
如图以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
由知平面，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
，
取，得，
，，
由题可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）先证明 平面 ，从而证明到，再由已知易得 ，结合线面垂直、面面垂直的判断定理证明即得；
（2）作于点，易知平面，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得为平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，结合二面角的向量坐标公式可得答案.
19．【答案】（1）解： ，
由正弦定理得，
即
，
，
又，，
则，即，
，即，
，即，
，解得；
（2）解：的面积，
，即，解得，
由余弦定理得，
，
平分，
由余弦定理得，
．
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将变形为，去分母结合及三角恒等变换公式化简可得到；
（2）利用可得，再由余弦定理算得AC，及，在中用余弦定理即可算得AD.
20．【答案】（1）解：当时，，则，
所以，
又，
则切线方程为，化简得；
（2）解：由，可得在上恒成立，
令，则，
对于，，
故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上，，单调递减，在上，，单调递增，
故，即，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当m=1时，先求出及，再利用导数的几何意义可得切线方程；
（2）不等式恒成立等价于在上恒成立， 令，只需求得g(x)的最小值大于等于0即可， 在求g(x)的最小值时需采用隐零点办法得到即 ，利用导数的办法求得，结合m与x0的关系可得答案.
21．【答案】（1）解：由题设，则，，
又，
故，整理得，
解得．
所以抛物线的标准方程为；
（2）证明：若直线不过点，如图，
设，，
由题意可知直线的斜率存在且不为，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
由直线过定点，可得，
同理直线的方程为，
过焦点，可得，
的方程，过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，即，
又因为，
所以，
令，解得，
故直线恒过定点，
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，
显然直线过点；
综上，直线过定点．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设，利用 以及距离公式化简可得p，从而得到抛物线方程；
（2）当直线不过点时，设， ，利用斜率公式可得，有点斜式及直线过定点得到（*），同理由直线AM的方程及AM过(1，0)得到，由直线BN的方程及BN过(1，0)得到，直线的方程为，结合可得，结合（*）式可得定点当直线过点，当直线过点，求出AB方程易得其过定点.；
22．【答案】（1）解：将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，
将，代入得，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）解：由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
因为，，
所以，
所以．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用直角坐标转化为极坐标公式，代入化简即可；
（2）将代入中可得P的极径，将代入中可得Q的极径，再利用计算即可得到答案.
23．【答案】（1）解：当时，函数，
当时，由得；
当时，由无解；
当时，由得．
综上，不等式的解集为．
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立，故取到最小值，
所以，即．
所以
，
当且仅当时，即，等号成立，即成立．
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】(1)利用零点分段法将x分为，，三种情况讨论即可；
（2）由三角不等式得到m=a+2，从而有，将改写成，利用基本不等式中“1”的替换可得证明.
1 / 1
