黑龙江省哈尔滨市13中2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨市13中2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 733.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 23:21:04 | ||
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文档简介
哈13中学2023-2024学年度高三上学期期中考试
（数学试卷）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在正项等比数列中，，，则的公比（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
4．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知向量，，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为由这数据得到新数据，其中，则所得新数据（ ）
A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是9 D．极差是3
10．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲 乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是（ ）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车均不超速 D．两车均超速
11．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A． B．
C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值
12．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 ．
14．已知事件与相互独立，，，则 ．
15．已知数列中，，，且，则 .
16．在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值为 .
四、解答题
17．设为等差数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和.
18．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F，分别是棱，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
(1)求变量和的样本相关系数（精确到），并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）
(2)求年销售量关于年投资额的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.（参考：）
参考：，，.
20．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
22．已知数列的首项为1，设，．
(1)若为常数列，求的值；
(2)若为公比为2的等比数列，求的解析式；
(3)数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】ABC
13.【答案】
14.【答案】0.88
15.【答案】
16.【答案】/
17.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意，得，解得 ，.
（2）由已知，故，
两式相减，得，所以 .
18.【详解】（1）因D，E，F，分别是棱，，的中点.
且图形为直三棱柱，则，得四边形为平行四边形，.
又平面，平面，则平面.
又平面ABD，，则平面平面；
（2）如图，连接DC，DF，FB.则.
.又，，则.取AB中点为G，连接DG，则
则.
设点到平面ABD距离为，注意到.
则.
设直线与平面所成角为，则.
19.【详解】（1）由题意，，，
，
，，
，，变量和的线性相关程度很强；
（2），，年销售量关于年投资额的线性回归方程为．
当时，，
所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为千件．
20.【详解】（1）由余弦定理，得，即
则，所以又，所以．
（2）由题意，，
根据余弦定理，得，则，
所以，当且仅当时取等号，所以面积，故面积S的最大值为．
21.【详解】（1）函数的定义域是，可得.
当时，可知，所以在上单调递增；当时，由得，
可得时，有，时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，要证成立，只需证成立，只需证即可.
因为，由（1）知，.令，
则，可得时，有；时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
可知，则有，所以有，所以当时，成立.
22.【详解】（1）因为为常数列，所以．
，所以．
（2）因为为公比为2的等比数列，．
所以．
所以，故．
（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，
设公差为d，则
相加得
所以．
所以恒成立，
即，恒成立，所以
故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为．
（数学试卷）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在正项等比数列中，，，则的公比（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
4．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知向量，，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为由这数据得到新数据，其中，则所得新数据（ ）
A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是9 D．极差是3
10．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲 乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是（ ）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车均不超速 D．两车均超速
11．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A． B．
C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值
12．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 ．
14．已知事件与相互独立，，，则 ．
15．已知数列中，，，且，则 .
16．在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值为 .
四、解答题
17．设为等差数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和.
18．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F，分别是棱，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
(1)求变量和的样本相关系数（精确到），并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）
(2)求年销售量关于年投资额的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.（参考：）
参考：，，.
20．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
22．已知数列的首项为1，设，．
(1)若为常数列，求的值；
(2)若为公比为2的等比数列，求的解析式；
(3)数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】ABC
13.【答案】
14.【答案】0.88
15.【答案】
16.【答案】/
17.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意，得，解得 ，.
（2）由已知，故，
两式相减，得，所以 .
18.【详解】（1）因D，E，F，分别是棱，，的中点.
且图形为直三棱柱，则，得四边形为平行四边形，.
又平面，平面，则平面.
又平面ABD，，则平面平面；
（2）如图，连接DC，DF，FB.则.
.又，，则.取AB中点为G，连接DG，则
则.
设点到平面ABD距离为，注意到.
则.
设直线与平面所成角为，则.
19.【详解】（1）由题意，，，
，
，，
，，变量和的线性相关程度很强；
（2），，年销售量关于年投资额的线性回归方程为．
当时，，
所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为千件．
20.【详解】（1）由余弦定理，得，即
则，所以又，所以．
（2）由题意，，
根据余弦定理，得，则，
所以，当且仅当时取等号，所以面积，故面积S的最大值为．
21.【详解】（1）函数的定义域是，可得.
当时，可知，所以在上单调递增；当时，由得，
可得时，有，时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，要证成立，只需证成立，只需证即可.
因为，由（1）知，.令，
则，可得时，有；时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
可知，则有，所以有，所以当时，成立.
22.【详解】（1）因为为常数列，所以．
，所以．
（2）因为为公比为2的等比数列，．
所以．
所以，故．
（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，
设公差为d，则
相加得
所以．
所以恒成立，
即，恒成立，所以
故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为．
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