5.3 用待定系数法求二次函数的表达式 课件（共33张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.3 用待定系数法求二次函数的表达式
第5章 二次函数
教学目标
01
区分二次函数表达式的三种形式，能根据已知条件选取合适的形式去设表达式
02
掌握待定系数法求二次函数表达式的一般步骤
设一般式
求二次函数的表达式
Q1-1：已知二次函数y=ax2的图像经过点(2,-16)，求这个函数的表达式
解：将(2,-16)代入y=ax2，得：4a=-16，
解一元一次方程得：a=-4，
∴这个函数的表达式为y=-4x2。
01
问题引入
解：将(-1,5)和(2,8)代入y=ax2+c，得：????+????＝????????????+????＝????，
解二元一次方程组得：????＝????????＝????，
∴这个函数的表达式为y=x2+4。
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Q1-2：已知二次函数y=ax2+c的图像经过点(-1,5)和(2,8)，求这个函数的表达式
01
问题引入
Q1-3：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-1,10)、(1,4)、(0,3)，求这个函数的表达式
解：将(-1,10)、(1,4)、(0,3)代入y=ax2+bx+c，得：?????????+????＝????????????+????+????＝????????＝????，
解三元一次方程组得：????＝????????＝?????????＝????，
∴这个函数的表达式为y=4x2-3x+3。
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01
问题引入
Q2-1：已知二次函数的含参表达式（如y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx+c等）和图像上点的坐标，如何将表达式求出来？
直接代入已知点的坐标，解关于参数的方程（组）
01
问题引入
Q2-2：若未知二次函数的含参表达式，只知二次函数图像上点的坐标，又该如何？
先设出二次函数的含参表达式
Q3【Q1-3的变形】：已知二次函数的图像经过点(-1,10)、(1,4)、(0,3)，求这个函数的表达式
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)——一般式
01
问题引入
将(-1,10)、(1,4)、(0,3)代入y=ax2+bx+c，得：?????????+????＝????????????+????+????＝????????＝????，
解三元一次方程组得：????＝????????＝?????????＝????，
∴这个函数的表达式为y=4x2-3x+3。
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注意：设表达式时，a≠0莫忘写！
待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一设
设二次函数的表达式
一般式
y=ax2+bx+c(a≠0)
二代
代入已知点的坐标
三解
解方程（组），求得系数
待定系数法
02
知识精讲
例1、(1)已知抛物线y=ax2+bx+2过点A(-1,-1)，B(1,3)，求此抛物线的表达式
解：将(-1,-1)，(1,3)分别代入y=ax2+bx+2，得：?????????+????＝????? ????+????+????＝???? ，
解得：????＝????? ????＝ ????，
∴此抛物线的表达式为y=-x2+2x+2。
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03
典例精析
例1、(2)已知二次函数y=2x2+bx+c的图像经过点(1,1)与(-1,9)，
求此函数的表达式
解：将(1,1)与(-1,9)分别代入y=2x2+bx+c，得：????＝????+????+???? ????＝?????????+???? ，
解得：????＝????? ????＝ ????，
∴此函数的表达式为y=2x2-4x+3。
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03
典例精析
例1、(3)如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图像经过点A和点B，
求该二次函数的表达式
解：由图像可知：A(-1,-1)，B(3,-9)，
将A(-1,-1)，B(3,-9)分别代入y=ax2-4x+c，
得：????+????+????＝????? ?????????????????+????＝????? ，
解得：????＝???? ????＝?????，
∴该二次函数的表达式为y=x2-4x-6。
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03
典例精析
例2、一个二次函数的图像经过(-1,-1)，(0,0)，(1,9)三点，求这个二次函数的表达式
知识精讲
03
典例精析
已知任意三点坐标，设一般式
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将(-1,-1)，(0,0)，(1,9)分别代入，得：????＝?????????????+????＝????? ????+????+????＝???? ，
解得：????＝???? ????＝???? ????＝????，∴这个二次函数的表达式为y=4x2+5x。
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设顶点式
求二次函数的表达式
Q1-1：已知二次函数y=a(x-h)2+k的顶点为(2,-5)，且图像过点(1,-14)，
求此函数的表达式
解：由题意可得：y=a(x-2)2-5，
将(1,-14)代入，得：a(1-2)2-5=-14，
解得：a=-9，
∴此函数的表达式为y=-9(x-2)2-5，即y=-9x2+36x-41。
01
问题引入
Q1-2：已知二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为直线x=1，且过点(3,0)和(0,3)，求此函数的表达式
解：由题意可得：y=a(x-1)2+k，
将(3,0)和(0,3)分别代入，得：????(?????????)????+????＝???? ????(?????????)????+????＝???? ，
解得：????＝????? ????＝????，
∴此函数的表达式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3。
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01
问题引入
Q2-1【Q1-1的变形】：求以(2,-5)为顶点，且图像过点(1,-14)的二次函数的表达式
由题意可得：y=a(x-2)2-5，
将(1,-14)代入，得：a(1-2)2-5=-14，
解得：a=-9，
∴此函数的表达式为y=-9(x-2)2-5，即y=-9x2+36x-41。
01
问题引入
解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0)——顶点式
先设出含参表达式
Q2-2【Q1-2的变形】：求对称轴为直线x=1，且过点(3,0)和(0,3)的二次函数的表达式
01
问题引入
解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0)——顶点式
由题意可得：y=a(x-1)2+k，
将(3,0)和(0,3)分别代入，得：????(?????????)????+????＝???? ????(?????????)????+????＝???? ，
解得：????＝????? ????＝????，
∴此函数的表达式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3。
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待定系数法
02
知识精讲
待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一设
设二次函数的表达式
一般式
y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0)
二代
代入已知点的坐标
三解
解方程（组），求得系数
例1、(1)已知抛物线的顶点为(1,-4)，且经过点(3,0)，求该抛物线的表达式
解：设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
由题意可得：y=a(x-1)2-4，
将(3,0)代入，得：a(3-1)2-4=0，
解得：a=1，
∴该抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3。
03
典例精析
已知顶点+另一点坐标，设顶点式
即顶点坐标(3,-1)
例1、(2)已知二次函数的图像过(0,7)，当x=3时，y最小值=-1，求这个二次函数的表达式
03
典例精析
已知顶点+另一点坐标，设顶点式
解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
由题意可得：顶点坐标为(3,-1)，则y=a(x-3)2-1，
将(0,7)代入，得：a(0-3)2-1=7，
解得：a=????????，
∴此二次函数的表达式为y=????????(x-3)2-1，即y=????????x2-????????????x+7。
?
即顶点坐标(3,4)
例1、(3)已知二次函数的图象过(4,-3)，当x=3时，y最大值=4，求这个二次函数的表达式
03
典例精析
已知顶点+另一点坐标，设顶点式
解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
由题意可得：顶点坐标为(3,4)，则y=a(x-3)2+4，
将(4,-3)代入，得：a(4-3)2+4=-3，
解得：a=-7，
∴此二次函数的表达式为y=-7(x-3)2+4，即y=-7x2+42x-59。
例2、已知二次函数的图象经过点A(1,-2)和B(0,-1)，且对称轴为x=1，求这个二次函数的表达式
03
典例精析
已知对称轴+其他两点坐标，设顶点式
解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
由题意可得：y=a(x-1)2+k，
将(1,-2)和(0,-1)分别代入，得：????(?????????)????+????＝????? ????(?????????)????+????＝?????，
解得：????＝???? ????＝?????，∴此函数的表达式为y=(x-1)2-2，即y=x2-2x-1。
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根据例题总结——设二次函数的表达式时两种形式的选择：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}形式
一般式
顶点式
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
使用条件
已知任意三点的坐标
已知顶点+另一点坐标
已知对称轴+其他两点坐标
03
典例精析
设交点式
求二次函数的表达式
Q1：已知抛物线过(-2,0)、(1,0)、(0,2)三点，这条抛物线的表达式
解：设这条抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将(-2,0)，(1,0)，(0,2)分别代入，得：?????????????????+????＝????????+????+????＝???? ????＝???? ，
解得：????＝????? ????＝????? ????＝????，
∴这条抛物线的表达式为y=-x2-x+2。
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01
问题引入
Q2：注意观察(-2,0)、(1,0)、(0,2)这三个点的坐标，含参表达式还可以设成其他形式吗？
01
问题引入
【分析】
(-2,0)、(1,0)
抛物线与x轴的两个交点的坐标
令y=-x2-x+2=0，即-(x+2)(x-1)=0，解得：x=-2或x=1
∴形式如y=a(x+2)(x-1)的抛物线必过(-2,0)、(1,0)两点
反之，过(-2,0)、(1,0)两点的抛物线可设成y=a(x+2)(x-1)的形式
二次函数的交点式
02
知识精讲
若抛物线过(x1,0)、(x2,0)两点，
则抛物线可设成y=a(x-x1)(x-x2)的形式——即交点式
已知抛物线过(-2,0)、(1,0)、(0,2)三点，这条抛物线的表达式
——要求设交点式
由题意可得：y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+2)(x-1)，
将(0,2)代入，得：a(0+2)(0-1)=2，
解得：a=-1，
∴这条抛物线的表达式为y=-(x+2)(x-1)，即y=-x2-x+2。
解：设这条抛物线的表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)——交点式
注意：
求出的交点式必须化成一般式！！！
02
知识精讲
待定系数法
02
知识精讲
待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一设
设二次函数的表达式
一般式
y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0)
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
二代
代入已知点的坐标
三解
解方程（组），求得系数
例、已知抛物线过(-1,0)、(5,0)、(3,16)三点，求该抛物线的表达式
03
典例精析
已知与x轴的两个交点+另一点坐标，设交点式
解：设抛物线的表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，
由题意可得：y=a(x+1)(x-5)，
将(3,16)代入，得：a(3+1)(3-5)=16，
解得：a=-2，
∴该抛物线的表达式为y=-2(x+1)(x-5)，即y=-2x2+8x+10。
再次强调：
求出的交点式必须化成一般式！！！
根据例题总结——设二次函数的表达式时三种形式的选择：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}形式
一般式
顶点式
交点式
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
使用条件
已知任意三点的坐标
已知顶点+另一点坐标
已知与x轴的两个交点+另一点坐标
已知对称轴+其他两点坐标
03
典例精析
课后总结
根据例题总结——设二次函数的表达式时三种形式的选择：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}形式
一般式
顶点式
交点式
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
使用条件
已知任意三点的坐标
已知顶点+另一点坐标
已知与x轴的两个交点+另一点坐标
已知对称轴+其他两点坐标
待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一设
设二次函数的表达式
一般式
y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0)
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
二代
代入已知点的坐标
三解
解方程（组），求得系数
若抛物线过(x1,0)、(x2,0)两点，则抛物线可设成y=a(x-x1)(x-x2)的形式——即交点式