3.2 函数的奇偶性 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
函数的奇偶性
函数图象在定义域的某个区间上 “上升 ” 或“ 下降” 的性质
奇偶性
单调性
复习回顾
高中数学
关于 y
f (x ) = x2
课前大家已经画好了几个函数的图象， 请大家观察 f (x ) = x2 和 g(x ) = x 这两个函数的图象， 有什么共同的特征吗？
轴对称
g (x ) = x
一 【 问题1.1】
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x … -3 -2 -1 0 1 2 3
…
f (x) = x2 … 9 4 1 0 1 4 9
…
g (x ) = x … 3 2 1 0 1 2 3
…
可以发现，
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等.
例如对函数 f (x ) = x2 ， 有 f (-3) = 9 = f (3) ，f (-2) = 4 = f (2) .
高中数学
x … -3 -2 -1 0 1 2 3
…
f (x) = x2 … 9 4 1 0 1 4 9
…
g (x ) = x … 3 2 1 0 1 2 3
…
我们发现表格中列出的点具有上述性质， 那么表 格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？
比如 f (- 1.3) = f (1.3) 吗？
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一 【 问题1.2】
我们能否类比研究函数单调性， 用符号语言表
述“ 函数图象关于 y 轴对称 ”这 一 特征呢？
一般地， 设函数 f (x) 的定义域为I， 如果 "x I ，
都有-x I， 且f (-x) = f (x) ， 那么函数f (x) 就叫
做偶函数 .
高中数学
事实上，"x R ， f (-x) = (-x)2 = x2 = f ( x)
具备这样特征的函数， 我们称为偶函数 .
一 【 问题1.3】
刚才两个函数图象关于 y 轴对称， 那以下这两个函数图象有什么共同特征吗？
二 【 问题2.1】
关于原点对称
f (x ) = x
g (x ) =
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1
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3
…
f (x) = x … -3 -2 -1 0 1 2 3
…
g (x) = 1 x … 1 3 1 2 -1 1 1 2 1 3
…
例如对函数g(x ) = ， 有 g (-3) = - = -g (3) ，g (-2) = - = -g (2) .
高中数学
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值也是 一对相反数，
x … -3 -2 -1 0 1 2 3
…
f (x) = x … -3 -2 -1 0 1 2 3
…
g (x) = 1 x … 1 3 1 2 -1 1 1 2 1 3
…
同样地， 表格中没有出现的其它点也符合上述规律,
例如 f (- 1.3) = -f (1.3),
具备这样特征的函数， 我们称为奇函数 .
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类比偶函数定义， 大家能否用符号语言严谨地
表述“ 函数图象关于原点对称 ”这 一 特征呢？
一般地， 设函数 f (x) 的定义域为I， 如果 "x I ，
都有-x I， 且 f (-x) = -f (x) ， 那么函数f (x) 就 叫做奇函数 .
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二 【 问题2.2】
, 设函数f ( x ) 的定义域为 I ， 如果 "x I ， 都有
, 且 f ( - x ) = f ( x ) ， 那么函数f ( x ) 就叫做偶函
, 设函数f ( x ) 的定义域为 I ， 如果 "x I ， 都有
, 且f ( - x ) = -f ( x ) ， 那么函数f ( x ) 就叫做奇函
如何理解定义中的“ "x I ， 都有 - x I ”？
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一般地
- x I
数 .
一般地
- x I
数
三 【 问题3.1】
如何理解定义中的“ "x I ， 都有 - x I ”？
奇函数， 偶函数的定义域必须关于原点对称.
三 【 问题3.1】
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, 设函数f ( x ) 的定义域为 I ， 如果 "x I ， 都有
, 且 f ( - x ) = f ( x ) ， 那么函数f ( x ) 就叫做偶函
, 设函数f ( x ) 的定义域为 I ， 如果 "x I ， 都有
, 且f ( - x ) = -f ( x ) ， 那么函数f ( x ) 就叫做奇函
定义中“ " ” 可以删去吗？ 为什么？
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一般地
- x I
数 .
一般地
- x I
数
三 【 问题3.2】
定义中“ v ” 可以删去吗？ 为什么？
显然不可以， 函数的奇偶性体现了函数的整体性质，
即它要求定义域中的任意 一 个自变量都具有这样的
特性.
三 【 问题3.2】
高中数学
奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？
相同点：
① 定义域关于原点对称；
② 都是函数的整体性质.
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三 【 问题3.3】
奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？
不同点：
① 当自变量取一对相反数时， 偶函数的函数值相等，
而奇函数的函数值是 一对相反数；
② 偶函数的图象关于 y 轴对称， 而奇函数的图象关
于原点对称.
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三 【 问题3.3】
偶函数定义中的 f ( - x ) = f ( x ) 和奇函数定义中的
f ( - x ) = -f ( x ) 还有其他等价的数学表达形式吗？
三 【 问题3.4】
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有些时候， 我们可以把两个函数值移到等号 一 边，
得到奇（偶 ） 函数定义的等价形式：
设函数 f ( x ) 定义域为 I ， 则有：
f ( x ) 是偶函数 "x I , - x I ， 且 f ( - x ) - f ( x ) = 0
f ( x ) 是奇函数 "x I , - x I ， 且 f ( - x ) + f ( x ) = 0
上述的形式在判断某些函数的奇偶性时非常有用.
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例1 判断下列函数的奇偶性：
（1 ） f ( x ) = x 4 ；
解： 函数 f ( x ) 定义域为 R ，"x R ， 都有- x R ，
且 f ( - x ) = ( - x )4 = x 4 = f ( x ) ，
所以函数 f ( x ) 是偶函数.
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显然不是， 此时函数 g( x ) 的定义域为 ( 0, + ) ，
不关于原点对称， 所以函数 g( x ) 不具有奇偶性.
如果函数改为 g( x ) = x 4 ( x > 0) ， 那么 g( x ) 还是偶函数吗？
四 【 问题4.1】
高中数学
同学们可以从刚刚我们解决问题的过程中
归纳 一 下证明函数的奇偶性有哪些步骤吗？
四 【 问题4.2】
高中数学
根据奇（偶 ） 函数的定义判断 一 个函数的奇偶性，
我们可以按如下步骤进行：
第 一 步， 求出函数的定义域 .
第 二 步， 判断定义域是否关于原点对称， 若否， 则函
数不具有奇偶性， 结束判断； 若是， 则进行第三步.
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第三步， "x I（ I 为定义域）， 计算 f ( - x ) ， 若 f ( - x ) = f ( x ) ， 则 f ( x ) 为偶函数；
若 f ( - x ) = -f ( x ) ， 则 f ( x ) 为奇函数； 若 f ( - x ) f ( x ) 且 f ( - x ) -f ( x ) ， 则 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数；
若 f ( - x ) = f ( x ) 且 f ( - x ) = -f ( x ) ， 则 f ( x ) 既是奇函数也是偶函数.
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特别地， 证明 一 个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中
任意 一 个自变量都成立，
但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出 一 个反例即可.
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（1 ） f ( x ) = x 4
（2 ） f ( x ) = x + （ 3 ） f ( x ) = （4 ） f ( x ) = 0 .
判断下列函数的奇偶性：
;
1
x ；
;
例1
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（2 ） f ( x ) = x + - ；
解： 函数 f ( x ) 定义域为{x x 0 }， "x {x x 0 } ， 都有 - x {x x 且 f ( - x ) = ( - x ) + ( -1x ) = - x + 所以函数 f ( x ) 是奇函数.
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x
1
0} ，
= -f ( x ) ，
判断下列函数的奇偶性：
例1
判断下列函数的奇偶性：
（ 3 ） f ( x ) = ；
解： 函数 f ( x ) 定义域为{x x 0 }，
$x0 = 4 {x x 0 }，- x0 = -4 {x x 0 } ，
所以函数 f ( x ) 是既不是奇函数也不是偶函数.
例1
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判断下列函数的奇偶性：
（4 ） f ( x ) = 0 .
解： 函数 f ( x ) 定义域为 R ，"x R ， 都有- x R ， 且 f ( - x ) = 0 = f ( x ) = -f ( x ) ，
所以函数 f ( x ) 既是奇函数也是偶函数.
例1
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解： 函数 f ( x ) 定义域为 R ，"x R ， 都有- x R ， 且 f ( - x ) = ( - x )3 + ( - x ) = - (x 3 + x) = -f ( x ) ， 所以函数 f ( x ) 是奇函数.
（1 ） 判断函数 f ( x ) = x 3 + x 的奇偶性.
例2
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关于原点
对称
奇函数
（2 ） 下图是函数 f ( x ) = x 3 + x 图象的 一部分， 你能根据 函数 f ( x ) 的奇偶性画出它在y 轴左侧的图象吗？
例2
高中数学
如果已经确定了函数f ( x ) 具有奇偶性， 那么我们可以只研究这个函数在 一半
定义域上的图象及性质， 再借助函数的奇偶性得到整个定义域上的图象及性质.
（3 ） 一般地， 如果知道f ( x ) 为偶（奇） 函数， 那么我们可以怎样简化对它的研究？
例2
高中数学
上节课我们研究了函数的单调性， 今天我们探究
了函数的奇偶性， 那么函数的奇偶性有什么作用？
小结
高中数学
如果 一 个函数具有奇偶性， 那么我们可以利用它在图象上的对称性，
更加简洁地得到这个函数的图象； 并且可以与函数的单调性 一起， 去研究
这个函数更多的性质.
小结
高中数学