人教A版（2019）高数必修第一册 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
函数 y =Asin(ωx+φ)的图象（2）
高中数学
复习回顾
问题 1：研究参数A ， ， 对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影
响是按怎样的思路展开研究的？
从局部到整体 .
问题 2：研究参数 对函数y = sin（x+φ)图象的影响时 ，是怎
样进行研究的？
y = sin x 与 y = sin（x + 特殊到 一 = sin x 与 y = sin（x + ）
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y
般
6
π)
从
问题 3：类比参数 对函数y = sin（x+φ)图象影响的研究
过程，你计划怎样研究参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ) 图象的影响？
从特殊到 一般 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
探究新知
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追问：（ 1 ） 结合筒车模型，ω 取不同值表示什么含义？
o取不同值表示质点以不同的角速度做匀速圆周运动 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
探究新知
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追问：（ 2 ） 若给 ω 赋特殊值， 你认为给 φ 取哪个特殊
值比较合适？
不妨设 = ， 固定 的值 ， 改变参数ω( ω>0），研究函
数y = sin( ωx+ ）与y = sin（x+ ）图象之间的变换关系 .
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1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
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问题 4：若取ω=2 ，动点M 1 以Q1 为起点 ，在单位圆O1 上
以角速度ω=2按逆时针方向运动 ，经过x s后运动到点P1，
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
那么点P1 的纵坐标是什么？
φ= ，ω=2
sin（2x+ ）
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φ= ，ω=2
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
追问：此时 ，以（x , y）为坐标描点H ，点H 的轨迹对应的
y = sin（2x+ ）
函数解析式是什么？
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问题 s：函数y = sin（2x+ ）与y = sin（x+ ）的图象之间存
在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和 函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
y = sin（2x+ ）
y = sin（x+
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）
从匀速圆周运动的变化规律看 ， 两个动点都以Q1 为起
点 ， 以 ω= 1和ω=2的不同角速度绕单位圆逆时针方向运动， 到达同一位置点P .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
y = sin（2x+ ）
y = sin（x+
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）
当 ω= 1时到达点P 的时间为x s，因为ω=2时动点的转速
是 ω= 1时的2倍 ，所以 ， 当 ω=2时到达点P的时间为 x s .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
y = sin（2x+ ）
y = sin（x+
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）
对应地，设G（x , y）是函数y = sin（x+ ）图象上的一点，
那么K（ x, y）就是函数y = sin（2x + ）图象上的相应点 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
y = sin（2x+ ）
y = sin（x
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+ ）
问题 ‘：我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何
从函数y = sin（x+ ）的图象得到函数y = sin（2x + ）的图象？
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
y = sin（2x+ ）
y = sin（x
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+ ）
总结：函数y = sin（2x + ）的图象是把函数y = sin(x + )的图象
上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到的 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
y = sin（2x+ ）
y = sin（x
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+ ）
总结：函数y = sin（2x + ）的图象是把函数y = sin(x + )的图象
上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到的 . 并且 ， y = sin（2x + ）的周期为π , 是y = sin（x+ ）的周期的 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
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问题 7：如果ω取 ，3， 时，对应的函数y = sin( ωx+ ）的图
象与y= sin（x+ ）的图象之间存在怎样的变换关系？
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
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分析： 当 ω= 时 ，动点的转速是ω=1时的 ， 以Q1 为起点 ，到
达点P 的时间是ω=1时的2倍 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
E（2x, y）
y = sin（ x+ ）
6
π
2
1
G（x, y）
y = sin（x+ ）
6
π
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分析 ：所以把y= sin（x+ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变），就得到y= sin（ x+ ）的图象 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
E（2x, y）
y = sin（ x+ ）
6
π
2
1
G（x, y）
y = sin（x+ ）
6
π
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分析 ：所以把y= sin（x+ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变），就得到y= sin（ x+ ）的图象 .
并且，y = sin（ x+ ）的周期是4π , 是y = sin（x+ ）的周期的2倍 .
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
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总结：一般地，函数y = sin( ωx+φ)的周期是 , 把y = sin（x+φ)
图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0< ω＜1时） 到原来的 倍（纵坐标不变），就得到 y = sin( ωx+φ)的图象 .
问题 8：结合上面的研究过程 ，你能给出ω( ω>0）的变化对函
数y = sin( ωx+φ)图象影响的一般化结论吗？
1．探索参数ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响 .
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问题 9：（ 1）结合筒车模型 ， A取不同值表示什么含义？
分析： A代表质点做匀速圆周运动的运动半径 ， A取不同值表
示质点以不同的运动半径做匀速圆周运动 .
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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问题 9：（2）若给 A赋特殊值，你认为给 ，ω取哪个特殊值比
较合适？
分析：为了研究方便，不妨设 = ， ω=2 ，固定 ， ω的值 ，改
变参数A（A＞0），研究函数y = Asin（2x+ ）与y = sin（2x+ ）的图象 之间的变换关系 .
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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问题 10： 函数y = 2sin（2x+ ）与y = sin（2x+ ）的图象之间
存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函 数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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y = 2sin（2x+ ）
y = sin（2x+ ）
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分析：在以O1 为圆心，半径分别为 1 和 2 的圆上，两个动点分
别以Q1 和T1 为起点 ， ω=2的转速经过x s后分别到达圆周上的点 P 和点T ，易得点T 的纵坐标是点P 的纵坐标的 2 倍 .
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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y = 2sin（2x+ ）
y = sin（2x+ ）
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2y
y
分析：对应地，设K（x , y）是函数y = sin（2x+ ）图象上的一点，
那么N（x , 2y）就是函数y = 2sin（2x + ）图象上的相应点 .
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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y = 2sin（2x+ ）
y = sin（2x+ ）
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2y
y
问题 11：我们找到了两个函数图象上任意点的变化 ，那么如何
从函数y = sin（2x+ ）的图象得到函数y = 2sin（2x + ）的图象？
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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y = 2sin（2x+ ）
y = sin（2x+ ）
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2y
y
总结： 函数y = 2sin（2x + ）的图象是把函数y = sin（2x+ ）的图
象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的 .
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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y = 2sin（2x+ ）
y = sin（2x+ ）
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2y
y
问题 12：如果A取 ，3 ， 时，对应的函数y = Asin（2x+ ）
的 图 象 与 y= sin（2x+ ）的 图 象 之 间 存 在 怎 样 的 变 换 关 系？ 你能给出 A（A＞0）的变化对函数y = Asin( ωx+φ)图象 影响的一般化结论吗？
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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总结： 函数y = Asin( ωx+φ)的图象 ， 可以看作是把函数
y = sin( ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1时） 或缩短（当0＜A＜1时）为原来的 A倍（横坐标不变）而得 到．从而 ，函数y = Asin( ωx+φ)的值域是［－A, A］，最大值 是A ，最小值是－A .
2 ． 探索参数A（A＞0）对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响 .
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问题 13：我们分别研究了三个参数对函数y = Asin( ωx+φ)图
象的影响．并按照路线y = sin x y = sin（x+ ） y = sin（2x+ ） y = 2sin（2x+ ），你能总结一下这个变换过程吗？
3 ．总结从正弦曲线出发 ，通过图象变换得到y= Asin( ωx+φ)的图象 .
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y = sin（2x+ 伸长到原来的2 = 2sin（2x+ ）
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6
π
y
倍
变
坐
不
纵
6 （横坐标
π)所有点的
π 所有点的横坐标缩短到原来的 1
y = sin（x+ ） 2
6 （纵坐标不变）.
3 ．总结从正弦曲线出发 ，通过图象变换得到y= Asin( ωx+φ)的图象 .
所有点向左平移 π 个单位长度 . y = sin x 6
y = sin（x+ ）
y = sin（2x+ ）
探究新知
追问： 你能总结一下从正弦函数y = sin x图象出发 ，通过图
象变换得到函数y = Asin( ωx+φ)（A＞0，ω>0）图象的过程与 方法吗？
请填写在教科书第 236 页的表格中 .
3 ．总结从正弦曲线出发 ，通过图象变换得到y= Asin( ωx+φ)的图象 .
探究新知
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y = sin（x+ = sin（ x+Q）
y = sin（ x+ ）= Asin（ x+Q）
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变
y
短
不
缩
（横坐标
＞1时） 或
倍
A
） 为原来的A
坐标伸长（当
时
纵
（当0
Q）所
＞
变）
y
长
不
伸
（纵坐标
1时）或
的
（
来
短
时）到原
横坐标缩
（
Q
3 ．总结从正弦曲线出发 ，通过图象变换得到y= Asin( ωx+φ)的图象 .
所有点向左（当φ>0时）或向右（当φ＜0时）
y = sin（x+Q）
平移 φ 个单位长度 .
探究新知
y = sin x
学以致用
练习： 已知函数y = 3sin x的图象为C .
（1） 为了得到函数y = 3sin 2x的图象 ，只要把C 上所有的点
（A）横坐标伸长到原来的2倍 ，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的2倍 ，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
高中数学
学以致用
练习： 已知函数y = 3sin x的图象为C .
（2） 为了得到函数y= 4sin x的图象 ，只要把C 上所有的点
（A）横坐标伸长到原来的 倍 ，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的 倍 ，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
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参数A ， ， 对
— 函数y = Asin( ωx +φ)
图象的影响
函数
y = Asin（ x + ）
函数 y = Asin（ x + ）的性质
现实世界中的
匀速圆周运动
课堂小结
高中数学
重点研究了 ，A 对函数 y = Asin（ x + ）图象的影响；
进 一 步体会从特殊到 一般 、 数形结合的思想方法；
发展数学抽象 、 逻辑推理以及直观想象的学科素养 .
课堂小结
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参数A ， ， 对
— 函数y = Asin( ωx +φ)
图象的影响
函数 y = Asin（ x + ）
的简单应用
现实世界中的
匀速圆周运动
函
y = Asi
x + ）
数
n (
函数 y = Asin（ x + ）的性质
课堂小结
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