人教A版（2019）高数必修第一册 5.6.2不同函数增长的差异 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
不同函数增长的差异
在我们学习过的 一 次函数 、 二 次函数 、 反比例函数 、 幂
函数 、 指数函数 、 对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？
情境引入
高中数学
情境引入
h(x) = loga x(a >1)
g (x) = ax (a >1)
f(x) = kx(k > 0)
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3
y = x
y =
y = x
虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异， 这种差异
正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.
下面就来研究 一 次函数 f (x ) = kx + b, k > 0 ， 指数函数g(x ) = ax (a > 1)，
对数函数 h(x) = loga x(a >1) 在定义域内增长方式的差异.
我们采用由特殊到 一般， 由具体到抽象的研究方法.
情境引入
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分析： (1) 在区间(-∞ ,0)上， 指数函数 y=2x值恒大于0， 一 次函数 y=2x
值恒小于0， 所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
以函数 y=2x 与 y=2x为例研究指数函数 、 一 次函数增长方式的差异.
探究一：
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x y=2x
y=2x
0 1
0
0.5 1.414
1
1 2
2
1.5 2.828
3
2 4
4
2.5 5.657
5
3 8
6
· · · · · ·
· · ·
以函数 y=2x 与 y=2x为例研究指数函数 、 一 次函数增长方式的差异.
(2) 借助信息技术， 在同 一直角坐标系内列表 、 描点作图如下：
y=2x
y=2x
y
O
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x
综上： 虽然函数y=2x 与y=2x都是增函数， 但是它们的增长速度不
同， 函数y=2x的增长速度不变， 但是y=2x 的增长速度改变， 先慢 后快.
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(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
结论 一： 函数y=2x 与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)；
结论二： 在区间(0, 1)上， 函数y=2x 的图象位于y=2x之上；
结论三： 在区间(1,2)上， 函数y=2x 的图象位于y=2x之下； 结论四： 在区间(2,3)上， 函数y=2x 的图象位于y=2x之上.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
O
1 2 x
(1,2)
(2,4)
请大家想象 一 下， 取更大的x值， 在更大的范围内两个函数图象的关系？
想象： 随着自变量取值越来越大， 函数y=2x 的图象几乎与x 轴垂直， 函
数值快速增长， 函数y=2x的增长速度保持不变， 和y=2x 的增长相比几乎
微不足道.
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总结 一： 函数 y=2x与 y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数 y=2x与 y=2x在[0,+∞)上都是单调递增， 但它们的增长速度
不同， 而且不在 一 个“档次 ”.
随着x 的增大，y=2x 的增长速度越来越快， 会超过并远远大于y=2x的
增长速度.
尽管在x 的 一 定范围内， 2x<2x， 但由于y=2x 的增长最终会快于y=2x
的增长， 因此， 总会存在 一 个x0， 当x>x0 时， 恒有2x>2x.
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总结二： 一般地指数函数 y=ax(a>1)与 一 次函数 y=kx(k>0)的增长都
与上述类似.
即使k值远远大于a值， 指数函数 y=ax(a>1)虽然有 一段区间会小于
y=kx(k>0)， 但总会存在 一 个x0， 当x>x0 时，y=ax(a>1)的增长速度会大 大超过 y=kx(k>0)的增长速度.
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x 0 5 10 15 20 25
30
y1 5 130 505 1130 2005 3130
4505
y2 5 90 1620 29160 524880 9447840
170061120
y3 5 30 55 80 105 130
155
例1. 三个变量y1，y2，y3 随变量x 变化的数据如下表：
其中关于x呈指数增长的变量是 y2 .
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分析： (1) 在区间(-∞ ,0)上， 对数函数 y=lgx没意义， 一 次函数值恒小于
0， 所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
x 为例研究对数函数 、 一 次函数增长方式的差异.
探究二：以函数 y=lgx与y =
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10
1
x y=lgx
1
y = 10 x
0 不存在
0
10 1
1
20 1.301
2
30 1.477
3
40 1.602
4
50 1.699
5
60 1.778
6
· · · · · ·
· · ·
以函数 y=lgx与y = x 为例研究对数函数 、 一 次函数增长方式的差异.
(2) 借助信息技术， 在同 一直角坐标系内列表 、 描点作图如下：
y = x
y=lgx
y
6
5
4
3
2
1
O
10 20 30 40 50 60 x
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(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
总结 一： 虽然函数 y=lgx与 y = x 在(0,+∞)上都是单调递增， 但它们的
增长速度存在明显差异.
在(0,+∞)上增长速度不变， y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.
, 而函数y=lgx的图象越来
越平缓， 就像与x轴平行 一样.
的图象离x轴越来越远
y
6
5
4
3
2
1
O
随着x 的增大，
10 20 30 40 50 60 x
1 y = 10 x
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1
x
10
1
x
10
y=lgx
y =
y =
例如： lg10= 1， lg100=2， lg1000=3， lg10000=4；
10 = 1， 100 = 10， 1000 = 100， 10000 = 1000.
这表明， 当x>10， 即y>1，y=lgx 比 y = x 相比增长得就很慢了.
y
6
5
4
3
2
1
O
10 20 30 40 50 60 x
1 y = 10 x
y=lgx
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思考： 将y=lgx放大1000倍， 将函数y= 1000lgx与 y =
律吗？ 先想象 一 下， 仍然有.
y
14770
12660
10550
8440
6330
4220
2110
O
2110 4220 6330 8440 10550 12660 14770 16880 18990 21100 23210 25320 27430 29540 31650 33760 35870 37980 40090 42200 44310 46420 48530 50640 52750
比较， 仍有上面规
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1
x
10
x
总结二： 一般地， 虽然对数函数y = loga x(a >1) 与 一 次函数 y=kx(k>0)在
(0,+∞)上都是单调递增， 但它们的增长速度不同.
随着x 的增大， 一 次函数 y=kx(k>0)保持固定的增长速度， 而对数 函数 y = loga x(a >1) 的增长速度越来越慢.
不论a值比k值大多少， 在 一 定范围内，loga x (a >1)可能会大于kx， 但 由于loga x (a >1)的增长会慢于kx 的增长， 因此总存在 一 个x0， 当x>x0 时， 恒有 log a x < kx .
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例2． 函数的图象如图所示 .
（ 1 ） 试根据函数的增长差异指出
曲线C1， C2 分别对应的函数；
（2 ） 比较两函数的增长差异(以两
图象交点为分界点， 对 f (x ) , g (x) 的大小进行比较).
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例2． 函数的图象如图所示 .
（ 1 ） 试根据函数的增长差异指出
曲线C1， C2 分别对应的函数；
（2 ） 比较两函数的增长差异(以两
图象交点为分界点， 对 f (x ) , g (x) 的大小进行比较).
解：（ 1 ） C1 对应的函数为g(x)＝0.3x－ 1， C2 对应的函数为f(x)＝lg x.
（2 ） 当xf(x)； 当x1g(x)；
当x>x2 时， g(x)>f(x)； 当x ＝x1 或x ＝x2 时，f(x)＝g(x) .
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探究三：
(1)画出 一 次函数 y = 2x ， 对数函数y = lg x 和指数函数y = 2x 的图象，
并比较它们的增长差异.
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总结 一： 虽然函数 y = 2x， 函数 y = lg x与 y = 2x在(0,+∞)上都是单调递
增， 但它们的增长速度存在明显差异.
y = 2x 在(0,+∞)上增长速度不变， 函数 y = lg x与 y = 2x 在(0,+∞)上
的增长速度在变化.
函数 y = 2x 的图象越来越陡， 就像与 x轴垂直 一样； 函数 y = lg x
的图象越来越平缓， 就像与 轴平行 一样.
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(2)概括 一 次函数 y = kx (k > 0) ， 对数函数y = loga x (a >1)和指数函数 y = bx (b >1) 的增长差异.
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总结二： 一般地， 虽然 一 次函数y = kx (k > 0)， 对数函数 y = loga x (a >1)和指数函数
y = bx (b >1)在(0,+∞)上都是单调递增， 但它们的增长速度不同.
随着x 的增大， 一 次函数 y = kx (k > 0保持固定的增长速度， 而指数函数 y = bx (b>1的增长速度越来越快； 对数函数 y = loga x (a > 的增长速度越来越慢.
不论b值比k值小多少， 在 一 定范围内，bx 可能会小于kx， 但由于bx 的增长会快 于kx 的增长， 因此总存在 一 个x0， 当 x > x0 时， 恒有bx > kx；
同样， 不论a 值比k值大多少， 在 一 定范围内，loga x (a > 1)可能会大于kx， 但由
于loga x (a >1) 的增长会慢于kx的增长， 因此总存在 一 个x0 ， 当 x > x0 时， 恒有 loga x < .kx .
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总结二： 一般地， 虽然 一 次函数y = kx (k > 0)， 对数函数 y = loga x (a >1)
和指数函数 y = bx (b >1) 在(0,+∞)上都是单调递增， 但它们的增长速度 不同.
随着x 的增大， 一 次函数 y = kx (k > 0保持固定的增长速度， 而指 数函数 y = bx (b >1的增长速度越来越快； 对数函数 y = loga x (a > 的 增长速度越来越慢.
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（3 ） 讨论交流“ 直线上升 ”“ 对数增长 ”“指数爆炸 ” 的含义 .
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直线上升： 增长速度不变， 是 一 个固定的值；
对数增长： 增长速度越来越慢， 图象越来越平缓， 就像与x 轴平行 一样；
指数爆炸： 增长速度越来越快， 以相同倍数增加， 图象越来越陡， 最终就
像与 x轴垂直 一样.
（3 ） 讨论交流“ 直线上升 ”“ 对数增长 ”“指数爆炸 ” 的含义 .
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例3. 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是（ ） .
A. y = ex B. y = ln x
C. y = x2 D. y = e-x
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例3. 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是（ ） .
A. y = ex B. y = ln x
C. y = x2 D. y = e-x
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由特殊到 一般， 由具体到抽象研究了 一 次函数f(x)=kx+b ，k>0， 指数 函数 g(x)=ax(a>1) ， 对数函数 h(x) = loga x(a >1) 在定义域上的不同增长方式.
以后会经常用到“ 直线上升 ” 、 “指数爆炸 ” 、 “ 对数增长 ”.
把握了不同函数增长方式的差异， 就可以根据现实问题的增长情况， 选择
合适的函数模型刻画现实问题的变化规律， 学以致用.
课堂小结
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通过这节课， 同学们有什么感悟呢？
希望每位同学遇到困难都不要轻言放弃， 如同 指数函数 一般， 即使 一 开始进步缓慢， 但这正是积 淀的过程， 不断的积累， 最终 一 定会走向卓越， 成 就自己
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