人教A版（2019）高数必修第一册 4.5函数模型的应用 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
函数模型的应用（2）
(1)
y ＝kx＋b(k，b 为常数 ，k≠0)
(2)
y ＝ax2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，
a≠0)
温故知新
我们曾经用过的函数模型：
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(3)
y ＝bax ＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0
且 a≠1)
(4)
y ＝mlogax ＋n(m，a，n 为常数，m≠0，
a>0 且 a≠1)
(5)
y ＝axn＋b(a ， b 为常数 ， a≠0)
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而在实际问题中，有的能应用已知的函
数模型解决，有的需要根据问题的条件建立
函数模型加以解决 .
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学以致用
例 1 假设你有一笔资金用于投资 ，现有三种投资
方案供你选择 ， 这三种方案的回报如下：
方案一： 每天回报 40元；
方案二：第一天回报 10元 ，以后每天比前一
天多回报 10元；
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方案三：第一天回报 0.4元，以后每天的回报比
前一天翻一番 .
请问 ，你会选择哪种投资方案？
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问题 1 请初步选择一种你认为合适的投资方案 .
追问 1：你能根据例题提供的三种投资方案的描述，
分析出其中的常量、 变量及其相互关系 ， 并建立三种投资 方案所对应的函数模型吗？
方案一 ：每天回报 40元；
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问题 1 请初步选择一种你认为合适的投资方案 .
追问 1：你能根据例题提供的三种投资方案的描述，
分析出其中的常量、 变量及其相互关系 ， 并建立三种投资 方案所对应的函数模型吗？
方案一 ：每天回报 40元；
设第 x 天所得回报是 y 元，则方案一可以用函数 y＝40
（x∈N+）进行描述 .
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方案二：第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报
10元；
方案二可以用函数 y＝ 10x（x∈N+）进行描述 .
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方案三：第一天回报 0.4元，以后每天的回报比前一天
翻一番 .
方案三可以用函数 y=0.4 ×2x- 1（x∈N+）进行描述 .
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追问 2：三个方案的本质是三个不同的函数模型，
如何选择一个标准来比较它们的差异，从而选择合适的 函数模型？
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三种方案所得回报的增长情况:
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追问 3：根据表格提供的数据，你对三种投资方案
分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识呢？
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追问 4：你能借助计算工具作出函数图象，并根据
图象描述一下三种方案的特点吗？
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100
80
60
40
20
140
120
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10
12
O
y
2
4
8
6
x
请同学们根据图象描述一下三种方案的特点.
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请同学们根据图象描述一下三种方案的特点.
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问题 2 仅仅分析每天的回报数就能准确作出选
择吗？关于三种投资方案的选择 ，你应当如何判断？
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问题 2 仅仅分析每天的回报数就能准确作出选
择吗？关于三种投资方案的选择 ，你应当如何判断？
追问：根据刚刚的分析 ，我们是否应作这样的选
择 ：投资 5 天以下选方案一 ，投资 5～8 天选方案二， 投资 8 天以上选方案三呢？
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我们就要思考：划分天数的标准是什么？这种
划分正确吗？
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我们就要思考：划分天数的标准是什么？这种
划分正确吗？
刚刚我们绘制的表格和图象都可以直观看出三
种函数模型的增长差异 ，但要具体到投资的天数 ， 回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据 ， 我们还要去计算累计的回报数 .
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
30
方案 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 …
1200
方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 …
4650
方案三 0 1 2.8 6 12 25.2 50.8 102 204 409 818.8 …
429496729
请同学们观察累计回报表 .
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
30
方案 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 …
1200
方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 …
4650
方案三 0 1 2.8 6 12 25.2 50.8 102 204 409 818.8 …
429496729
上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数
增长模型 ，增长变化存在很大差异 .
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例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备
制定一个激励销售人员的奖励方案： 在销售利润达到
10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y (单位：万 元)随销售利润 x（单位： 万元） 的增加而增加 ，但奖 金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%．现 有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y= 1.002x ， 其 中哪个模型能符合公司的要求？
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问题 3 根据题目条件 ，你认为应该选择哪
个奖励模型才符合公司的要求？
追问 1： 公司提出的要求与函数的什么性质
有关？这对选择函数模型有什么帮助？
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这个例题提供了三个不同增长方式的奖励模型，按
要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润
的关系．由于公司总的利润目标 1000万元，所以销售人
员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是 ，只需
在区间［10， 1000］上 ，寻找并验证所选函数是否满足 两条要求：第一 ，奖金总数不超过5万元 ，即最大值不 大于 5；第二 ，奖金不超过利润的 25％ ，即 y≤ 0.25x .
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追问 2： 函数图象能直观反映函数的性质特
征 ，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的
要求 ．为此 ，你能否作出函数图象 ，并通过观察 作出初步的判断吗？
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解： 借助信息技术画出函数 y = 5 , y=0.25x，
y=log7x+1，y= 1.002x 的图象 .
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观察图象发现 ，在区间 ［ 10 ， 1000］上 ，模型
y=0.25x，y= 1.002x 的图象都有一部分在直线 y = 5的 上方 ，只有模型 y=log7x+1 的图象始终在 y = 5的下 方，这说明只有按模型 y=log7x+1 进行奖励时才符合 公司的要求 .
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问题 4 你能说明选择模型的理由，并给出本题的
解答吗？
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下面通过计算确认上述判断 .
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元 .
对于模型 y＝0.25x ，它在区间［ 10 ， 1000］上单
调递增，而且当 x＝20时，y＝5，因此，当 x＞20时，
y＞5，所以该模型不符合要求；
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对于模型 y= 1.002x，由函数图象，并利用信息
技术，可知在区间（805 ，806）内有一个点x0 满足 1000x0 = 5，由于它在区间［ 10，1000］上单调递增 ， 因此当x > x0 时，y >5，所以该模型也不符合要求 .
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对于模型 y=log7x+1 ， 它在区间［ 10 ， 1000］ 上单
调递增 ， 而且当 x＝ 1000 时，y=log71000+1≈4.55＜5 ， 所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求 .
再计算按模型 y=log7x+1 奖励时 ，奖金是否不超过
利润的 25％，即当 x ∈［ 10，1000］时，是否有 y ≤0.25x ， 即 y=log7x+1 ≤0.25x 成立 .
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令f(x) = log7 x +1- 0 .25x ，x ∈［10 ，1000］，利用
信息技术画出它的图象 .
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课堂小结
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如
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下 ：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是
“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）； 根据增 长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为
数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函
数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这
一过程中 ， 往往需要利用信息技术帮助画图、 运算等 .
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课后练习
1．若等腰三角形的周长为 20 ，底边长 y 是关于腰 长 x 的函数 ，则它的解析式为( )
A．y ＝20－2x(x ≤10)
B．y ＝20－2x(x＜10)
C．y ＝20－2x(5≤x ≤10)
D．y ＝20－2x(5＜x＜10)
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2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4000 辆 次，存车费为：电动自行车 0.3 元/辆，普通自行车 0.2 元/辆 ．若该天普通自行车存车 x 辆次 ，存车费总收入 为 y 元 ，则 y 与 x 的函数关系式为( )
A．y ＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y ＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y ＝－0. 1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y ＝0. 1x＋1 200(0≤x≤4 000)
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3 ．某为了能在规定时间内完成预期的运输量Q0 ，某运
输公司提出了五种运输方案 ，每种方案的运输量 Q 与时 间 t 的关系如下图所示．运输效率（单位时间内的运输量） 逐步提高的图象编号是 .
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同学们感受到数学模型在科学 、 社会、
工程技术诸多领域的作用了吗？
因为喜欢数学而学习数学， 因为学习
数学更喜欢数学.
我们 一起加油！
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