四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】 甲摸一个球有种情况，不放回，甲摸一个后不放回，乙再摸一个球有种情况，所有可能的结果数 种结果.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
2．某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A．6000人 B．6240人 C．6300人 D．6400人
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
3．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；空间向量的概念
【解析】【解答】对于①，当与的夹角为 满足，所以①错误；
对于②，因为向量既有大小又有方向，长度相等任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；
对于③，由，得到，所以或，所以③错误；
对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量基本概念及数量积的运算，逐项判断即可.
4．某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为
成绩分组/分
人数/人 4 25 50 15 6
A．59 B．59.4 C．69 D．69.4
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
5．若，，，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
【答案】A
【知识点】相互独立事件
6．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角
7．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
二、多选题
9．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件与相互独立，则与也相互独立
B．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C．若，，与相互独立，则
D．若，，则与互为对立事件
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
11．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A．从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B．从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C．存在点，使直线与所成的角为
D．不存在点，使平面
【答案】A,B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系
三、填空题
13．某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为 ．
【答案】/
【知识点】古典概型及其概率计算公式
14．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ．
【答案】250
【知识点】分层抽样方法
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
【答案】0.236
【知识点】相互独立事件
16．已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】平面向量的综合题
四、应用题
17．某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
【答案】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求的长．
【答案】（1）因为点为的中点，所以，
所以；
（2）因为点在线段上且，
所以，
所以，
所以，
因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面
所以，，，
则，
，
．
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
19．药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
【答案】（1）由题设可得如下表格，
产品编号
2 4 8 3 6 5 3 2 1 6
又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；
（2）由题意，一等品中随机抽取2件产品有
，共15种，
其中事件为，共10种
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
20．如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）连接，，
由于，，
所以，
由余弦定理得，
，，
，，，
，
由于，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，，平面，
平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，取，，
，取，，
，
设二面角的平面角为，
，即二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法；余弦定理
21．某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【答案】（1）由频率分布直方图可知的频率为，
所以组的纵轴为，
所以频率分布直方图如下所示：
又，，
所以第分位数位于，且，
所以入围分数应设为分；
（2）依题意抽取人，抽取人，
从人中随机选人一共有中选法，其中人都是的有中选法，
设事件：“至少有1名学生成绩不低于”，则；
（3）依题意甲能参加冬令营的概率，
乙能参加冬令营的概率，
丙能参加冬令营的概率，
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
22．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．
（1）若，，求证：，，，四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1），，，
，所以，，，四点共面.
（2）平面，
上的所有的点到平面的距离都相等，
同理上所有的点到的距离也相等，
，
，
点在平面的射影落在上，过点作，过点作，
平面，
，又与是平面内两条相交直线，
平面，，在直角三角形中，，
，解得，
又在直角三角形中，，，
在直角三角形中，可得，
；
（3）设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，，
，，，，
由，可求得，，
，，
设为平面的法向量，
，取，，，
，
，，
设，，
，
设直线与平面所成角的为，
，
，，
．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面所成的角
1 / 1四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
2．某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A．6000人 B．6240人 C．6300人 D．6400人
3．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为
成绩分组/分
人数/人 4 25 50 15 6
A．59 B．59.4 C．69 D．69.4
5．若，，，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
6．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件与相互独立，则与也相互独立
B．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C．若，，与相互独立，则
D．若，，则与互为对立事件
11．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A．从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B．从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C．存在点，使直线与所成的角为
D．不存在点，使平面
三、填空题
13．某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为 ．
14．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ．
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
16．已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ．
四、应用题
17．某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求的长．
19．药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
20．如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21．某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
22．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．
（1）若，，求证：，，，四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】 甲摸一个球有种情况，不放回，甲摸一个后不放回，乙再摸一个球有种情况，所有可能的结果数 种结果.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
2．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；空间向量的概念
【解析】【解答】对于①，当与的夹角为 满足，所以①错误；
对于②，因为向量既有大小又有方向，长度相等任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；
对于③，由，得到，所以或，所以③错误；
对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量基本概念及数量积的运算，逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
5．【答案】A
【知识点】相互独立事件
6．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角
7．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
8．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
10．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
11．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
12．【答案】A,B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系
13．【答案】/
【知识点】古典概型及其概率计算公式
14．【答案】250
【知识点】分层抽样方法
15．【答案】0.236
【知识点】相互独立事件
16．【答案】/
【知识点】平面向量的综合题
17．【答案】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
18．【答案】（1）因为点为的中点，所以，
所以；
（2）因为点在线段上且，
所以，
所以，
所以，
因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面
所以，，，
则，
，
．
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
19．【答案】（1）由题设可得如下表格，
产品编号
2 4 8 3 6 5 3 2 1 6
又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；
（2）由题意，一等品中随机抽取2件产品有
，共15种，
其中事件为，共10种
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
20．【答案】（1）连接，，
由于，，
所以，
由余弦定理得，
，，
，，，
，
由于，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，，平面，
平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，取，，
，取，，
，
设二面角的平面角为，
，即二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法；余弦定理
21．【答案】（1）由频率分布直方图可知的频率为，
所以组的纵轴为，
所以频率分布直方图如下所示：
又，，
所以第分位数位于，且，
所以入围分数应设为分；
（2）依题意抽取人，抽取人，
从人中随机选人一共有中选法，其中人都是的有中选法，
设事件：“至少有1名学生成绩不低于”，则；
（3）依题意甲能参加冬令营的概率，
乙能参加冬令营的概率，
丙能参加冬令营的概率，
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
22．【答案】（1），，，
，所以，，，四点共面.
（2）平面，
上的所有的点到平面的距离都相等，
同理上所有的点到的距离也相等，
，
，
点在平面的射影落在上，过点作，过点作，
平面，
，又与是平面内两条相交直线，
平面，，在直角三角形中，，
，解得，
又在直角三角形中，，，
在直角三角形中，可得，
；
（3）设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，，
，，，，
由，可求得，，
，，
设为平面的法向量，
，取，，，
，
，，
设，，
，
设直线与平面所成角的为，
，
，，
．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面所成的角
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