1.1集合同步练习2023——2024学年上学期高一数学北师大版（2019）必修第一册（含解析）

1.1集合同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列表示正确的个数是（ ）
（1）
（2）
（3）若，则
（4）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
10．已知集合，，若，则实数m可以是（ ）
A． B．1 C． D．0
11．若集合，满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知全集，集合M、N的关系如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知集合，若，则 .
14．若集合满足，，且，求集合 .
15．已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 .
四、解答题
16．设集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
17．已知，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
18．已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
(1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
(2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
(3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
19．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
20．集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．
(1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明是奇数．
21．已知常数，.
(1)证明：对任意的，；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的值.
参考答案：
1．C
【分析】先由题意得或，从而分类讨论各元素的值并检验即可得解.
【详解】因为，
所以或，
若，则，此时，不满足集合的互异性；
若，则，此时，符合题意；
若，则，此时，不满足集合的互异性.
综上，.
故选：C.
2．B
【分析】根据题意，由并集的运算，即可得到结果.
【详解】因为集合，，则.
故选：B
3．D
【分析】根据元素与集合，集合与集合关系，集合的概念判断．
【详解】由空集的定义知，（1）正确；
由子集的概念空集是任何集合的子集，因此正确；
当时，，（3）正确；
集合的元素是有序实数对，是题中方程组的解，而集合是由两个实数组成的，它的元素是实数，两个集合不可能相等，（4）错误，
所以题中有3个命题正确，
故选：D．
4．A
【分析】根据集合的并集与补集运算，可得答案.
【详解】因为，所以．
故选：A.
5．B
【分析】用列举法表示集合、，即可判断.
【详解】因为，
，
所以，.
故选：B
6．D
【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围.
【详解】由题意.
故选：D
7．B
【分析】根据常见的数集及元素与集合的关系判断即可.
【详解】因为为自然数集，所以，，故A、D正确；
为实数集，所以，故B错误；
为有理数集，所以，故C正确；
故选：B
8．A
【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
则.
故选：A
9．AD
【分析】对于A，令，可判断错误；对于B，根据整数的和差还是整数可判断B正确；对于C，任取，则，结合新定义即可判断；对于D，令，，可判断错误.
【详解】对于A：由于，但是，故集合不为闭集合，故A错误；
对于B：由于整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，故B正确；
对于C：任取，则，则，
所以，，
所以集合为闭集合，故C正确；
对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合，
所以，则有，但，则不为闭集合，故D错误；
故选：AD．
10．ACD
【分析】根据集合包含关系，讨论、求参数值.
【详解】由，当时满足题设，
若，
当，则，
当，则，
显然不可能有且，
综上，或或.
故选：ACD
11．ACD
【分析】根据结合集合的交并补运算法则依次计算每个选项得到答案.
【详解】对选项A：，则，正确；
对选项B：，则，错误；
对选项C：，，则，正确；
对选项D：，则，，正确；
故选：ACD.
12．BC
【分析】由图可以判断集合间的关系，然后根据集合间的基本关系可以求集合间的基本运算.
【详解】A中，由图可知，，A错误；
B中，因为，，B正确；
C中，因为，所以，C正确；
D中，因为，所以，D错误.
故选：BC
13．
【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可．
【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此，
若，则，此时，满足题意，
故答案为：．
14．
【分析】由交集结果判断元素与集合的关系，结合包含关系确定集合.
【详解】由题设，，，又，
所以.
故答案为：
15．
【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得.
【详解】由题意知，集合的“交替和”为.
集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集.
这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个，
设为；
则这个非空子集中含元素的集合，也共有个，
这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即.
对中的任意集合，记，
则“交替和”，其中，
由，则集合的“交替和”为
，
则集合与集合的“交替和”之和为，
下面举例说明：
如集合与集合，
的“交替和”为，
的“交替和”为
，
即集合与集合的“交替和”之和为.
综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，
且每组中“交替和”之和都为，共有组.
故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可，
综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为
.
故答案为：.
【点睛】
“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见.
16．(1)
(2)
【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，
又因为，则.
（2）解：因为，则，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
因为，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据交集和并集的概念进行求解；
（2）由交集结果得到，分与，得到不等式，求出实数m的取值范围.
【详解】（1），
故，
；
（2），故，
当时，，解得，
当时，，
解得，
综上，，
所以实数m的取值范围为
18．(1)，集合A是的恰当子集；
(2)，或，.
(3)10
【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验；
（3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集，
【详解】（1）若，有，由，则，
满足，集合A是的恰当子集；
（2）是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，，满足题意；
时，，此时，，满足题意；
，或，.
（3）若存在A是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，
当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，
时，设，经检验没有这样的满足；
当时，设，经检验没有这样的满足；，
因此不存在A是的恰当子集，并且，
所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10.
19．(1)
(2)
【分析】先解一元二次不等式得集合A，再结合交集与补集的概念求结果；
由可直接判断a的范围.
【详解】（1）当时，，，
有，可得；
（2）由，，
若，则实数的取值范围为.
20．(1)不是“可分集合”，为“可分集合”
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；
（2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；
（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.
【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”，
对于，集合所有元素之和为.
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意.
综上所述，集合是“可分集合”.
（2）证明：不妨设，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，
由②③得矛盾，由②④得矛盾，
故当时，集合一定不是“可分集合”．
（3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同，
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数.
【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的定义域即可得，进而分类讨论求解不等式，即可求解，
（2）根据（1）的结论，即可得，进而可求解，
（3）根据即可求解.
【详解】（1）,
由于可得，
当时，由于，所以对任意的恒成立，故此时，满足，
当时，由于，所以，所以，可得，故此时，满足，
所以，对任意的，
（2）由（1）知，当时，，显然满足，
当时，，由于，
所以，故，
综上可知：
（3）由于，所以，，因此，所以，
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